模糊变量的期望及模糊微分方程

模糊变量的期望及模糊微分方程摘要：主要介两部分：一是几种常见的模糊变量(等可能的模糊变量，三角模糊变量，梯形 模糊变量，正态模糊变量等)的隶属函数，分布函数和密度函数，进而求其期望；二是介绍 几种模糊过程，重点说明由liu过程驱动产生的模糊微分方程，并对几种特殊的形式进行求解。关键词：模糊变量隶属函数期望liu过程模糊微分方程模糊变量及其期望1模糊变量1.1几种特使的模糊变量我们可以用隶属函数分函数或者是密度函数来刻画模糊变量。下面，我们先用隶属函 数定义几种特殊的模糊变量，然后用密度函数来求它们的期望。特殊的模糊变量：(1)等可能的模糊变量:(X)1,a x b0,其他x a,a x b b ax c三角模糊变量： (x),b x cb c 0,其他x a,a x b b a1,b x c(3)梯形模糊变量：(X)x d,c x d c d0淇他(4)指数分布模糊变量:(x) 2(1 exp：其中x 0,m(5)正态分布模糊变量:x e 1 亠(x) 2(1 exp-) 1,其中 x R, 01.2分布函数与密度函数 隶属函数的关系1.2.1可能性反演定理可能性反演定理：Cr B (sup (x) 1 sup (x)2 x Bx Bc1.2.2可信性分布函数:为模糊变量，(x) Crx,:R 0,1注：可信性分布函数既不左连续，也不右连续。 可信性分布的充要条件：(1) lim (x)0.5xlim (x)x若lim (y)例子:y x0 a 0.5 b0.5或(x)0.5,则 lim (y)y x(x)(x)2a, x 01,x02 2b,x 0(x)Crsup (y)y xx1 sup (y)y x20时，上式2a 1 1a20时,上式1 1 2 2b20时,上式1 1 2 2ba x 所以,(x) b,x1.2.3可信性密度函数：为模糊变量，若lim (x) 1,lim (x) 0,XXx(x)(y)dy,则称 为模糊变量 的密度函数.注：对于可信性密度函数(x)(1)(x)0;ii 1(3)xi(x)dx(X2)(xj.Crxx(y)dy;Crx(y)dyx于是有了卜面儿个概念：非负模糊变量:Cr00;即 Cr0 1 ；正则模糊变量:Cr0 0;连续模糊变量:Crx关于x连续;简单模糊变量:Crx1,x2 ,.，Xn0.X2联系分布函数或隶属函数，很自然的得到以下几个等价关系:(x)dx 1;(X)为简单函数.注: lim (x) 1,limxx密度函数存在。(x)0,且(x)(y)dy, (x)绝对连续，才能保证非负：Cr0 0(X)0,x0(x)0,x 0;正则：Cr0 0(X)0,x0(x)0,x 0;连续：Crx关于x连续(x)关于X连续(x)关于X连续;简单：CrX,x2,，Xn0,即在 X1,X2,.,Xn 中取(X)为简单函数ii 1ii 11.3模糊变量的期望定义:0 Crrdr0Crrdr，其中两个积分至少有 一个有限。ii 1ii 11是简单模糊变量，即a1a 2x1x2所以其中0,且iai12 max u k1 a k a i21 k mmi 1imax1 k mu k1 a k ai max u k1 a k a i max u k1 a k a i1 k m1 k m对连续性的模糊随机变量，我们有下面的定理：定理：若模糊变量的可信性密度函数 存在，且x xdx有限，则x x dx类似与概率空间，当已知分布函数时，有下面的定理: 定理：若模糊变量的分布函数满足lim x o，iim x 1且 xd x有限,xxxd x根据这个定理，我们求出几种常见的模糊变量的期望。1等可能的模糊变量x Crsup y 1y xsup yy xii 1ii 1?x12dx2三角模糊变量x Crsup yy xsup yy xx a2 b a1 x c2 b c0其他xd xbxdacxdbbxdxacxdxc ba 2b c43梯形模糊变量ii 1sup y 1 sup yy xy x2x aa x b2 b a1b x c2x d1c x d2c d0其他xd xxdac 1 dx dxdx xd 1 -b 2 c2c d1 b b c xdx 2b a a212c ddxdxc12b a a 3b 3c二模糊微分方程2.1模糊过程定义：从T ( ,P,Cr)F的一个映射，称为模糊过程.记为X(t, ) Xt( ) Xt2.1.1模糊过程的分布函数：一维可信性分布：(t,x) CrXt x;r可信性密度函数：Xt的n维可信性分布：对有限个T,(Xt1,Xt2,.,Xtn)W可信性分布:(t1,t2,.,tn,X1,X2,.,Xn) Cr X%, Xt2X2,.,Xtnxn.2.1.2几类重要的模糊过程及性质1独立的模糊过程:对tn T,若Xti,Xt2,.,Xtn独立,则称Xt为独立的模糊过程.2. 独立增量过程：对 0 t1 t2. tn,n 3,X* Xt, Xt3 X”.,Xtn Xtn1独立，则称Xt为独立增量过程. 注: Xt独立增Xt X独立增Y Xt Xt1,1 0；一般独立增量过程，规定：X0 0.3. 稳态增量过程：对t 0,Xt s Xs是同分布的,其中s为固定数.4. 模糊更新过程：X1f X2,., xn为独立同分布的模糊变量，令Sn X1 X2 . Xn,则Nt max n|Sn t为模糊更新过程.注：(1) Nt的每一条样本路径右连续，单增阶梯函数，只能取非负整数；(2) Nt的每次跳跃长度总为 15. Liu过程:G(1) Co 0;Ct具有独立增,稳态增性质；对固定的s,增量Ct s Cs为具有正态分布的模糊变量，期望为et,方差为2t2,隶属函数为lx et|12(t) 2(1 expHyrr) 1 exp(P6T)特别的，当e 0,1时,得到标准Liu过程.6. 几何 Liu过程：Yt exp(etCt).Liu过程性质：(1) Liu过程存在性; 若Ct是标准Liu过程 Ct,aCt,Ct s Cs也是标准Liu过程;aCt是标准Liu过程 Crlim Ct Cs 1;t s Liu过程 Lipschitz连续:即即 f (x) f(y)| L|x y|;Ct几乎处处可微，且不可导点稠密；Ct是有限变差函数，可求长.x2一个常用的运算结果：dx 0 1 ex122.2模糊变量序列的收敛性(1)几乎处处收敛：i为模糊变量，若CrA 1,s.tli.m | i( )()| 0,对 A,则i几乎处处收敛到依均值收敛：lim Ei0. 依可信性收敛：lim Cri 0.(4)依分布收敛：ii,，若i,对的连续点.2.3 Liu积分1个分点,用G表示标准Liu过程，Xt表示模糊过程，在ab中任意插入n a t0 t! . tn b,表示小区间的最大长度，n若limXti (Cti 1 Cti)取左端点，且为模糊变量，0 i 1bn则 aXtdCt li叫XtJCt Ct).a0 i 1EdCt 0;VdCt dt2;EdCt2 dt2;VdCt2 7dt4.s例 1：0dCtnCh ) Cs C0 Cslim1(Ct 10 v ti 1 i 1sn例2： 0CtdCt li叫 Cti (Cti 1 Cti)0 i 1bna XtdCt li叫Xti (Cti 1 Cti)0 i 12.3.1 Liu积分性质:存在性：Xt在a, b上关于t连续;Xt在a,b上绝对可积；Xt在 a,b上可积;Xt关于t单调有界.b线性性质：(kXt k2Y)dCt abc区间可加性：XtdCtXtdCtaat若Xt绝对可积XsdCt关于t连续.s分部积分公式：F (t )绝对连续 F (t)dCtkibXtdCt abXtdCt.ck2bYtdCt.asF(s)C(s)0CtdF(t).2.3.1 liu 公式定理：h(t,c)连续可微，G为标准Liu过程,Xt为未知的模糊过程， dXt Utdt VtdCt，其中Ut,Vt为绝对可积的模糊过程，hh疋乂 Yt h(t,Xt) dY dtdXt.tc称dYt dt dXt为Liu公式.tcs12例 1: CtdCtCs .0 t t 2 s例 2： SCt2dCt 】Cs3.0 t t 3 s推广Liu公式 得到多维Liu公式：(GtGt,Cmt)称为m维标准Liu过程,其中Cit为标准Liu过程, i 1,2,m, h(t,Xi,X2，,Xn)连续可微.(Xit,X2t,Xnt)为未知的模糊过程,dX1t u1dt v11dC1t . v1mdCmt dX2t u2dt v21dC1t . v2mdCmtdXnt undtVngt.VnmdCmt其中u，Vj为已知的绝对可积的模糊过程.定义:Yth(t,Xit,X2t,.,Xnt)dYthdtii Rt.称dYt如=昵为多维皿式.b把 XtdCt推广为多维Liu积分.a(Gt,C2t,.,Cmt)为m维标准 Liu积分，Vt Vijt,Vn m为n行m列矩阵集,V11t bb VpqtaVtdCtaV12tV22tdCitdC2tVn2tVnmtd5t如果ba VjjtdCjt ;hih，则dYtdth广 dXjj1,.,pj 1 X j2.4模糊微分方程定义：dXt f(t,Xjdt g(t,XjdG，其中Xt为未知模糊过程， f, g给疋,Ct为标准Liu过程，称为由Liu过程驱动的模糊微分方程.满足该式的模糊过程，则称为模糊微分方程的解.例 1. dXt adt bdCtsss等式两边同时积分，得：dXt adtbdCt0t 00tsXs X0 as b o dCt所以,Xs X0 as bCs.例 2. dXt aXtdt bXtdCt等式两边同时除以Xt,得：dXi adt bdCttXt七取积分,得：sdXsadtsbdCto x oo tIn Xs In X0 as bCs所以,Xs X0 exp(as bCs).2.4.1能求出显式解的模糊微分方程(1) 线性模糊微分方程：dXt (a bXt)dt (c dXJdCt；(2) 广义线性模糊微分方程：dXt (uit U2tXt)dt (vit V2tXJdCt；(3) 可约模糊微分方程：经过一定的变量替换，最终可以转化成广义模糊微分方程(4) 齐次模糊微分方程：dXt u2tXtdt v2tXtdCt.2.4.2求解线性模糊微分方程令Xt Ut Vt且Uo 1 则V。 Xo,dut u2tutdt v2tutdCt,dvt atdt bdCt,其中 at,bt 待定,suo0V2tdCt.广义齐次模糊微分方程的通解:ssUs uexp(0U2tdtV2tdCt)dXt utdvt vtdutUt at dt bt Ut dCt VtU2t Ut dtVt V2t Ut dCt.对比广义模糊微分方程的形式44U2tXtU2tXtUitUtbtUtV2tXtVitV2t XtbtVitUtVsVoXs Us Vss(Uo exp( o U2tdts0V2tdCt)(VsVo0晋 dt0s泸t).X例 1： dXt十 dt对比广义线性模糊微分方程，得:C11cUito,U2t,Vit,V2to,1 t 1 t带入公式得:Xt_C_1 t.例 2： dXt UtdtVtXtdCt.等式两边都乘以exp( VCt),即：exp( vtCt)dXt exp( vtCt)utdt exp( vtCt)vtXtdCt移项,得:exp( vtCt)dXt exp( vtCt )vtXtdCt exp( vtCt)utdt d(exp( vtCt)Xt exp( vtCt)dXt exp( vtCt)Xt vtdCtsexp( vsCs)Xs exp( vCo)X。exp( vtCJqdts所以,Xs exp(vsCs) xoexp( vtCJUtdt.243解的存在唯一性定理定理 1： f : RR,Lipschitz连续，则:dXt f(XJdt dG的解存在且唯一.定理2： f : RR,连续可微且| f L,则：dXt f (Xt)dt dCt的解存在且唯一.定理 3： g,Lipschitz连续,f / g,Lipschitz连续,则:dXt f (Xt)dt g(XJdG的解存在且唯一.定理 4： dXt f (t,Xt)dt g(t, Xt)dCt(1)|f(x,t) f(y,t)| |g(x,t) g(y,t)| L|x y|,即f ,g都满足Lipschitz条件； |f(x,t)| |g(x,t)| L|1 |x|,即满足线性增长条件； 则模糊微分方程的解存在且唯一且解是样本连续的参考文献：参考文献1 Baoding Liu （ 刘宝碇 ）.Uncertainty Theory （不确定理论 第三版）2 Baoding Liu （ 刘宝碇 ）.Uncertainty Theory （不确定理论 第四版）3 Xiaowei Chen （ 陈孝伟 ）. Fuzzy Differential Equations （模糊微分方程）3 Xiaowei Chen （ 陈孝伟 ）. A New Existence and Uniqueness Theorem for Fuzzy Differential Equations4 Wei Dai. Lipschitz Continuity of Liu Process5 Wei Dai. Reflection Principle of Liu Process