解析几何讲义详解(共35页)

精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解决解析几何的基本思路和流程讲义稿解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。从这个意义上讲，解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。图形：形状、位置、大小三个要素。函数解析式 （方程）点的坐标（描点） 图像（图形）点代数式因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。看见“点”想位置：（1） “点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。如点（2,3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为 2，竖直位置是相对于原点方向向上、距离为 3.（2） “点”相对于其他点或线的位置关系。点表达位置（水平位置、竖直位置）代数关系：函数关系、方程关系知道位置找关系表达关系几何关系：与其他点或线的关系知道关系找位置一、关于直线直线需要确定其形状和位置。其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角（或斜率 k，k=tg）确定，位置由直线上的一个点000(,)P xy确定。因此，直线的代数表达式（称之为直线的方程）是00()yyk xx（k 存在的前提下） 。（1）因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业就需要两个相互独立的条件。 比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等。（2）如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x 或 y 前面有字母系数） ，那么直线方程表达的就是过定点的直线集合。 （如 kx+y-2k+1=0，过定点（2，-1）的直线集合；X+ky+1=0，过定点（-1,0）的直线集合等等。（3）如果直线的位置（即直线过的点）不能确定（x 或 y 前面没有字母系数、形状确定） ，那么直线方程表达的就是平行线集合。如 x-2y+k=0，斜率为12k 的平行线集合2x+y+b=0，斜率为 k=-2 的平行线集合等等。从解决函数问题的角度说就是：看到字母想分类（这里主要分成两类） 。二、关于圆圆的本质是均匀变化，需要确定其位置和大小。其中位置由圆心确定， 大小由半径确定， 因此确定圆的方程需要三个相互独立的条件。解决圆的相关问题主要是用圆的性质， 比如弦的性质 （垂径定理：弦的中垂线过圆心。从直线和圆的位置关系上讲就是有两个公共点、代数关系：方程组有两组解） 、切线的性质（切线垂直过切点的半径。从直线和圆的位置关系上讲就是有一个公共点、代数关系：方程组有一组解） 。从图形的角度讲可以产生直角三角形等。也可以用方程或方程组解决。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（1）弦：可以看成两个点点的位置：点在直线上、点在圆上.几何关系：垂径定理（垂直关系）关系代数关系：方程关系，方程组的解（2）切点：位置：切点在切线上、切点在圆上。几何关系：与过切点的半径垂直关系代数关系：方程组有一组解。三、关于圆锥曲线（1）圆锥曲线的定义：看到焦点想定义。用定义解决问题是解决圆锥曲线问题的一个重要方法。（2）圆锥曲线和直线的位置关系问题是高考的一个热点，通常通过解方程组、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式、函数等方法解决。也是教学的难点，难点在于整个解题过程的运算量比较大，学生需要过运算关。如直线与圆锥曲线相交几何关系：既在直线上又在曲线上代数关系：满足方程，方程组的解直线和圆锥曲线相切，与直线与圆锥曲线相交类似处理。中点弦：看位置、想关系（几何关系：交点、中点。代数关系：方程组做差的直线-点差法）解决问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。四、关注直角三角形在解析几何中的应用 （勾股定理、 向量的应用）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业直线中点直角三角形（图 1）可以解决“两点间的距离、弦长公式、点到直线的距离公式”的推导。椭圆和双曲线中直角三角形可以确定椭圆或双曲线的形状。五、关注定义在圆锥曲线中的应用（看到焦点想定义）六、关注函数在解析几何中的应用（基本不等式、函数求最值）七、关注圆锥曲线中的“点” ：看见点想位置八、解析几何中的“函数关系”直线方程可以看做是一次函数圆的方程、圆锥曲线的方程如果限定 y0 或 yb0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_分析：中点弦（看见点想位置） ：点在曲线上（代入方程） ，点在直线上（直线方程没有） 。做差体现点在直线上（点差法） 。1、画图2、几何关系：M 是线段 AB 的中点，斜率为123、代数关系： “点差”产生斜率和中点。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析 设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)，点 M 是线段 AB 的中点，所以 x1x22，y1y22，且x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差可得x21x22a2（y21y22）b2，即（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b2，所以y1y2x1x2b2a2，即 kABb2a2.由题意可知， 直线 AB 的斜率为12， 所以b2a212，即 a 2b.又 a2b2c2，所以 cb，e22.5 2014辽宁卷 已知椭圆 C：x29y241， 点 M 与 C 的焦点不重合 若M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_分析：看见点想位置，涉及“中点” ，一般要想中位线，如果是直角三角形斜边的中点，要想中线（中线等于斜边的一半） 。1、画图2、几何关系：看到焦点想定义。三角形的中位线有|GF1|12|AN|，|GF2|12|BN|3、代数关系：|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.解析 取 MN 的中点为 G，点 G 在椭圆 C 上设点 M 关于 C的焦点 F1的对称点为 A，点 M 关于 C 的焦点 F2的对称点为 B，则有精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业|GF1|12|AN|， |GF2|12|BN|， 所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.6、2014山东卷 已知 ab0，椭圆 C1的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2的方程为x2a2y2b21，C1与 C2的离心率之积为32，则 C2的渐近线方程为()A. x 2y0B.2xy0C. x2y0D. 2xy0分析：1、画图2、几何关系：离心率之积为32，3、代数关系：计算离心率解析 椭圆 C1的离心率 e1a2b2a，双曲线 C2的离心率 e2a2b2a.由 e1e2a2b2aa2b2a1ba21ba232，解得ba212，所以ba22，所以双曲线 C2的渐近线方程是 y22x.故选 A.7(2013浙江高考改编)已知抛物线C：y24x，过点P(1,0)的直线l与抛物线C相切于点Q，则点Q到准线的距离为_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分析：视为函数2yx的切线问题。1、画图2、几何关系：切线、切点、曲线。切点在切线上、切点在曲线上。 3、代数关系：不妨把抛物线设为函数200022200000200122,),(42241214yyxQyykyxyyyyxyy，切点（所以导数即斜率）所以，则所求距离为 28过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_分析：眼睛盯住点中点：想中线、中位线求值：解方程关系：点在直线上、点在椭圆上1、画图。 2、几何关系：AOBa是腰长为 的等腰直角三角形，AOMa是斜边为 的等腰直角三角形精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3、代数关系：易知：,2 2a aM在椭圆上，代入椭圆方程得：22222222136134423abbcaceb a9、2014全国卷 直线 l1和 l2是圆 x2y22 的两条切线若 l1与 l2的交点为(1，3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于_分析：关注切点：切点与圆心的连线垂直切线。1、画图2、几何关系：AOPBOP与全等，APB=2OPA3、代数关系：两点简单距离公式、勾股定理、正切公式。解析 如图所示，根据题意，OAPA，OA 2，OP 10，所以 PA OP2OA222， 所以 tanOPAOAPA22212， 故 tanAPB2tanOPA1tan2OPA43，即 l1与 l2的夹角的正切值等于43.10、2014四川卷 设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分析：看见字母想分类，直线的位置确定、形状不定，研究其形状的关系（必有关系，研究直线的位置关系）1、画图2、 几何关系：（看到字母想分类） xmy0 表示过定点 A （0,0）的直线集合，mxym30 表示过定点 B（1,3）的直线集合，而且不论 m 为何值，两条直线互相垂直。ABP是直角三角形3、代数关系：勾股定理(也可以用向量处理)。4、 计算|PA| |PB|的最大值为基本不等式问题或转化为函数问题。解析 由题意可知，定点 A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点 P(x，y)落在以 AB 为直径的圆周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|PA|2|PB|225，当且仅当|PA|PB|时等号成立11 2014安徽卷 设 F1， F2分别是椭圆 E： x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分析：看见点想位置，A 点在椭圆上且水平位置确定，代入椭圆方程可得 A 点坐标。三点共线、长度关系，可以考虑121AFFBMF与相似或向量求出 B 点坐标，B 点在椭圆上代入即可。1、画图2、几何关系：AF2x 轴，121AFFBMF与相似，点 A,B 在椭圆上。F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点3、代数关系：易知 A(c，b2)，根据三角形相似可求出 B，代入椭圆方程可得 b.解析 设 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c 1b2，则可设 A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得AF13F1B，故2c3x03c，b23y0，即x053c，y013b2，代入椭圆方程可得25（1b2）919b21，解得 b223，故椭圆方程为 x23y221.122014全国卷 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y241分析：看见点想位置，关注焦点，看到焦点想定义。1、画图2、几何关系：看到焦点想定义。2Rt OF C解3、代数关系：AF1B 的周长为 4 3，勾股定理。解析 根据题意，因为AF1B 的周长为 4 3，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4 3，所以 a 3.又因为椭圆的离心率 eca33，所以 c1，b2a2c2312，所以椭圆C 的方程为x23y221.13、2014新课标全国卷 已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32， F 是椭圆 E 的右焦点， 直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分析：看见离心率想直角三角形，看见最值想基本不等式或函数。1、画图2、几何关系：Rt OBFRt OAF和边的关系,OPQ 的面积最大3、(1)解三角形可得 E 的方程(2)解方程组，利用弦长公式求 PQ，利用点到直线的距离公式求高，表达出OPQ 的面积，利用基本不等式或函数解决最值问题。解：(1)设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故可设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21，从而|PQ| k21|x1x2|精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 l 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ4tt244t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k72时等号成立，满足0，所以，当OPQ 的面积最大时，k72，l 的方程为 y72x2或 y72x2.14、2014新课标全国卷 设 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.分析：与 11 题类似。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1、画图2、几何关系：M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MN 的斜率为34，211MF FFNP与相似，且|MN|5|F1N|，3、代数关系：(1)易知 Mc，b2a ，21234MFFF(2) 直 线 MN 在 y 轴 上 的 截 距 为 2 ， 故b2a 4 ， 由211MF FFNP与相似，易知 N 的坐标。代入椭圆方程计算即可。解：(1)根据 c a2b2及题设知 Mc，b2a ，2b23ac.将 b2a2c2代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意知，原点 O 为 F1F2的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1的中点，故b2a4，即 b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y10，y00)，则切线斜率为x0y0，切线方程为 yy0 x0y0(xx0)，即 x0 xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为4x0，0，0，4y0.故其围成的三角形的面积S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知，当且仅当 x0y0 2时 x0y0有最大值 2，此时 S 有最小值 4，因此点 P 的坐标为( 2， 2)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由题意知2a22b21，a2b23a2，解得 a21，b22，故 C1的方程为 x2y221.(2)由(1)知 C2的焦点坐标为( 3，0)，( 3，0)，由此可设 C2的方程为x23b21y2b211，其中 b10.由 P( 2， 2)在 C2上，得23b212b211，解得 b213，因此 C2的方程为x26y231.显然，l 不是直线 y0.设直线 l 的方程为 xmy 3，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy 3，x26y231，得(m22)y223my30.又 y1，y2是方程的根，因此y1y223mm22，y1y23m22，由 x1my1 3，x2my2 3，得x1x2m（y1y2）2343m22，x1x2m2y1y2 3m（y1y2）366m2m22.因为AP( 2x1， 2y1)，BP( 2x2， 2y2)，由题意知APBP0，所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40，将代入式整理得2m226m46110，解得 m3621 或 m621.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因此直线 l 的方程为x(3621)y 30 或 x(621)y 30.16、 2014北京卷 已知椭圆 C：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且OAOB，试判断直线 AB 与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论分析：看见的想位置，A 在椭圆上满足其方程，B 在直线上满足其方程，OAOB，用向量表达 A、B 的坐标关系。1、画图2、几何关系：A 在椭圆上（设出坐标）、B 在直线 y2 上（设出坐标），且 OAOB3、代数关系：直线 AB 与圆 x2y22 的位置关系，圆心到直线的距离公式解决。解：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221.所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca22.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)直线 AB 与圆 x2y22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中 x00.因为 OAOB，所以OAOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.当 x0t 时，y0t22，代入椭圆 C 的方程，得 t 2，故直线 AB 的方程为 x 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2，此时直线 AB 与圆 x2y22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为 y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心 O 到直线 AB 的距离d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又 x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此时直线 AB 与圆 x2y22 相切17、 2014江西卷 如图所示，已知双曲线 C：x2a2y21(a0)的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业BFOA(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；(2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2y0y1 与直线 AF相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定值，并求此定值分析：看见点想位置，研究 A、B、F 的位置及关系。1、画图2、几何关系： （1）点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点) （2）P(x0，y0)(y00)在 C 上，直线 l：x0 xa2y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.3、代数关系： （1）ABOB，BFOA(O 为坐标原点)可以用向量处理，求出双曲线方程。 （2）解方程组求出 M、N，计算|MF|NF|为定值即可。解：(1)设 F(c，0)，因为 b1，所以 c a21.由题意，直线 OB 的方程为 y1ax，直线 BF 的方程为 y1a(x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业c)，所以 Bc2，c2a .又直线 OA 的方程为 y1ax，则 Ac，ca ，所以 kABcac2acc23a.又因为 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故双曲线 C的方程为x23y21.(2)由(1)知 a 3，则直线 l 的方程为x0 x3y0y1(y00)，即 yx0 x33y0(y00)因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点为M2，2x033y0，直线 l 与直线 x32的交点为 N32，32x033y0，则|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2.又 P(x0，y0)是 C 上一点，则x203y201，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业代入上式得|MF|2|NF|243（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所以|MF|NF|232 33，为定值18、2014四川卷 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆 C 的标准方程(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q.证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；当|TF|PQ|最小时，求点 T 的坐标分析：看见点想位置1、画图2、几何关系： （1）短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （2）F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q.3、代数关系： （1）利用短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形解三角形求出椭圆方程。 （2）设直线方程，解方程组求出精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业PQ 的中点坐标， 可以得到 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；（3）计算 TF 与 PQ 的长（弦长公式、两点间的距离公式） ，转化为函数或基本不等式处理即可。解：(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以椭圆 C 的标准方程是x26y221.(2)证明：由(1)可得，F 的坐标是(2，0)，设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m.直线 PQ 的方程是 xmy2.当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以 y1y24mm23，y1y22m23，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业x1x2m(y1y2)412m23.设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为6m23，2mm23 .所以直线 OM 的斜率 kOMm3，又直线 OT 的斜率 kOTm3，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ.由可得，|TF| m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23.所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124（44）33.当且仅当 m214m21，即 m1 时，等号成立，此时|TF|PQ|取得最小值故当|TF|PQ|最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业19、(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20 的距离为3 22.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值分析：切点、切线、曲线，处理切线问题。最值问题想基本不等式。1、画图2、 几何关系： 注意到直线l：xy20 的斜率是 1， 所以FAB是等腰直角三角形3、代数关系：FB=3 22，所以 AF=3，又因为 A（0，-2） ，所以 c=1.抛物线C的方程为x24y.【思路点拨】(1)由点到直线的距离公式，建立关于c的方程，求出c，进而写出抛物线的标准方程(2)设出A，B的坐标，利用导数的几何意义求出切线PA，PB的斜率，写出切线PA，PB的方程，通过构造方程，得到直线AB的方程(3)因为|AF|和|BF|都是抛物线上的点到焦点的距离，故可以利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，要求|AF|BF|的最小值，需要建立关于y的目标函数，然后求该函数的最小值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【尝试解答】(1)依题意，设抛物线C的方程为x24cy(c0)，由点到直线的距离公式，得|0c2|113 22，解得c1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x24y.(2)由x24y，得y14x2，其导数为y12x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y1，x224y2，切线PA，PB的斜率分别为12x1，12x2，所以切线PA的方程为yy1x12(xx1)，即yx12xx212y1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以xx1，yy1和xx2，yy2为方程x0 x2y02y0 的两组解所以直线AB的方程为x0 x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.由x0 x2y2y00，x24y，消去x并整理得到关于y的方程为y2(2y0 x20)yy200.由一元二次方程根与系数的关系得y1y2x202y0，y1y2y20.所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业y20 x202y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y020，即x0y02，所以y20 x202y012y202y052y012292，所以当y012时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为92.,20、2014全国卷 已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程分析：看见点想位置，研究 A，M，B，N 四点的位置及关系。1、画图精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2、几何关系： （1）看到焦点想定义。 （2）A，M，B，N 四点在同一圆上，转化为直角三角形。3、代数关系：DB 是 AB 的一半，BE 是 MN 的一半，点到直线的距离公式算出 ED，勾股定理即可解决。解：(1)设 Q(x0，4)，代入 y22px，得 x08p，所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.由题设得p28p548p，解得 p2(舍去)或 p2，所以 C 的方程为 y24x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 xmy1(m0)代入 y24x，得 y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24.故线段的 AB 的中点为 D(2m21，2m)，|AB| m21|y1y2|4(m21)又直线 l 的斜率为m，所以 l 的方程为 x1my2m23.将上式代入 y24x，并整理得 y24my4(2m23)0.设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则 y3y44m，y3y44(2m23)故线段 MN 的中点为 E2m22m23，2m ，|MN|11m2|y3y4|4（m21） 2m21m2.由于线段 MN 垂直平分线段 AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于|AE|BE|12|MN|，从而14|AB|2|DE|214|MN|2，即4(m21)22m2m22m2224（m21）2（2m21）m4，化简得 m210，解得 m1 或 m1，故所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.21、 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为B(2,0)， 离心率为22.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为103时，求直线MN的方程精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分析：看见离心率想直角三角形，看见字母想分类，看见点想位置。研究 M、N 位置及关系1、画图2、几何关系：（1）2AOF为等腰直角三角形（2）直线yk(x1)过定点（1,0）3、代数关系：AMN的面积为103，解方程组计算 MN 的长，点到直线的距离公式算出高即可。【思路点拨】(1)由椭圆的性质，构建方程，求a2，b2；(2)联立直线与椭圆方程， 求弦长|MN|表示出AMN的面积， 确定k得方程【尝试解答】(1)由a2，离心率e22，c222，则c 2，从而b2a2c22.所以椭圆C的方程为x24y221.(2)由ykx1，x24y221得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x24k212k2，x1x22k2412k2.所以|MN|x2x12y2y121k2x1x224x1x2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业21k246k212k2.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d|k|1k2，所以AMN的面积为S12|MN|d|k| 46k212k2.依题设，|k| 46k212k2103，k1.故直线MN的方程为xy10 或xy10.22、已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e32，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若AF2BF20，且22e32，求k的取值范围分析：看见离心率想直角三角形，看见字母想分类，看见点想位置。研究 A、B 位置及关系1、画图2、几何关系：Rt2OMF精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3、代数关系：32cea，所以0230OF M，而且 c=3【解】(1)由焦点F2(3,0)，知c3，又e32ca，a2 3.又由a2b2c2，解得b23.所以，椭圆的方程为x212y231.(2)由ykx，x2a2y2b21，得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，x1x20，且x1x2a2b2b2a2k2.又AF2(3x1，y1)，BF2(3x2，y2)所以AF2BF2(3x1)(3x2)y1y2(1k2)x1x290.即a2a291k2a2k2a2990.整理得k2a418a281a418a2181a418a2.由22e32及c3，知 2 3a3 2，12a218.所以a418a2(a29)28172,0)，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以k218，则k24或k24，因此实数k的取值范围为，24 24，.23、 椭圆ax2by21 与直线xy10 相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2 2，O为坐标原点，OC的斜率为22，求椭圆的方程分析：看见点想位置：弦的中点可以考虑“点差法” ，求 a、b 的值，找等量关系解方程组。1、画图2、几何关系：弦长、中点、斜率3、代数关系：解方程组、弦长公式、中点坐标公式、斜率公式的综合应用。【解】由ax2by21，xy10得(ab)x22bxb10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得ax21by211，且ax22by221，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，又y1y2x1x21，y1y2x1x2kOC22，代入上式可得b 2a.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业再由|AB| 1k2|x2x1| 2|x2x1|2 2，得(x1x2)24x1x24，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10 的两根，故2bab24b1ab4，将b 2a代入得a13，b23.所求椭圆的方程是x232y231.