天津市2014届高三数学一轮复习-试题选编5-数列-理-新人教A版

天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编5：数列一、选择题 （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在正项等比数列中,数列满足,则数列的前6项和是（）A0B2C3D5【答案】C （2011年高考（天津理）已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前项和,则的值为（）A-110B-90C90D110【答案】【命题立意】本小题主要考查了等差数列的通项公式、前项和公式和等比中项等基础知识,熟练运用公式进行计算. D【解析】由已知得即 解得,所以,所以 （2010年高考（天津理）已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为（）A或5B或5CD【答案】C （天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版）已知等差数列中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是（）A15B30C31D64【答案】A （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）ABCD不存在【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）已知等比数列an的首项为1,若成等差数列,则数列的前5项和为（）AB2CD【答案】A【解析】因为成等差数列,所以,即,所以,即,所以,所以,所以的前5项和,选（）A （2009高考(天津理)）设若的最小值为（）A8B4C1D【答案】B （2013届天津市高考压轴卷理科数学）设是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于（）A1B2C3D4【答案】C 【解析】因为成等比数列,所以,即,即,所以,选C （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设是等差数列an的前n项和，则的值为（）ABCD【答案】D【解析】由得，即，所以，选D（天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）在等比数列中,则（）A9B9C3D3【答案】C （天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）等差数列a中，如果，数列a前9项的和为（）A297B144C99D66【答案】C【解析】由，得。由，德。所以，选C（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知函数 数列满足,且是单调递增数列,则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）若ABC的三个内角成等差数列,三边成等比数列,则ABC是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形【答案】C 解:设三个内角为等差数列,则,所以.又为等比数列,所以,即,即,所以,所以三角形为等边三角形,选C （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）数列的前n项和为,则数列的前50项的和为（）A49B50C99D100【答案】A （天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列a满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）ABCD不存在【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选（）A（天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）已知等差数列的公差,且成等比数列,若是数列的前项的和,则的最小值为（）A4B3CD【答案】A 二、填空题（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）正项等比数列中，若，则等于_.【答案】16【解析】在等比数列中，所以由，得，即。（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个花盆(如图).设第层共有花盆的个数为,则的表达式为_.【答案】 （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）在数列中，则数列中的最大项是第 项。【答案】6或7【解析】假设最大，则有，即，所以，即，所以最大项为第6或7项。（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）若，则 .【答案】【解析】，所以，。（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）对于各数互不相等的整数数组(n是不小于3的正整数),若对任意的p,当时有,则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.若数组的逆序数为n,则数组的逆序数为_;【答案】 （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）等差数列an中,在等比数列bn中,则满足的最小正整数n是_.【答案】6 解:在等差数列中,所以,.所以在等比数列中,即.所以,.则由,得,即,所以的最小值为6. （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）等比数列中,前三项和,则公比的值为_.【答案】 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）设an是等比数列,公比,Sn为an的前n项和.记,设为数列Tn的最大项,则n0=_;【答案】4【解析】设首项为,则,所以 ,因为,当且仅当,即,时取等号,此时,有最大值,所以. （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设数列满足，(nN)，且，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】设，即，所以，即，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，所以.（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）数列a中，若a=1，（n1），则该数列的通项a=_。【答案】 【解析】因为，所以，即数列是以为首项，公比的等比数列，所以数列的通项。所以三、解答题（天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）已知等比数列an的公比q1,a1 =3,且3a2、2a3、a4成等差数列.(I)求数列an的通项公式;()设数列bn,b1=q,bn=3an-1+rbn-1(n2,nN*)(r为常数,且qr0,r3).写出b2,b3,b4;试推测出bn用q,r,n表示的公式,并用数学归纳法证明你推测的结论.【答案】 （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）已知数列满足,(1)证明:数列是等比数列,并求出的通项公式(2)设数列的前n项和为,且对任意,有成立,求【答案】解:(1)由可得, 是以2为首项,3为公比的等比数列 (2)时, 时, 设 则 综上, （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知数列的前项和(为正整数)()令,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;()令,试比较与的大小,并予以证明【答案】解:(I)在中,令n=1,可得,即 当时, . . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是. (II)由(I)得,所以 由-得 于是确定 的大小关系等价于比较的大小 由 可猜想当证明如下: 证法1:(1)当n=3时,由上述验算显示成立. (2)假设时 所以当时猜想也成立 综合(1)(2)可知,对一切的正整数,都有 证法2:当时, 综上所述,当,当时 （天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）设数列a的前n项和为S，且满足S=2-a，n=1，2，3，（1）求数列a的通项公式；（4分）（2）若数列b满足b=1，且b=b+a，求数列b的通项公式；（6分）（3）设C=n（3- b），求数列 C的前n项和T 。（6分）【答案】（1）a=S=11分n2时，S=2-a1分S=2-a1分a=a+a2a= aa=1=1分a=()1分（2）b-b=（)1分1分b-b=()+（)=1分=2-b=3-1分b=1成立1分b=3-（)（3）C=n（)1分T=1（)+2（)+n（) T=1（)+(n-1) （)+n（)=2+-n（)=2+2-（)-n（)T=8-=8-（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.（1）求+的值及+的值（2）已知，当时，+，求；（3）在（2）的条件下，设=，为数列的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.【答案】解：（）点M在直线x=上，设M.又，即，+=1. 当=时，=，+=； 当时，+=+=综合得，+. （）由（）知，当+=1时, +，k=. n2时，+， ， 得，2=-2(n-1),则=1-n. 当n=1时，=0满足=1-n. =1-n. （）=，=1+=.=2-，=-2+=2-，、m为正整数，c=1，当c=1时，13，m=1.（2010年高考（天津理）在数列中,且对任意.,成等差数列,其公差为()若=,证明,成等比数列()()若对任意,成等比数列,其公比为(i)设1.证明是等差数列;(ii)若,证明【答案】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法()证明:由题设,可得所以=2k(k+1)由=0,得于是所以成等比数列()证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得当1时,可知1,k从而所以是等差数列,公差为1()证明:,可得,从而=1.由()有所以因此,以下分两种情况进行讨论:当n为偶数时,设n=2m()若m=1,则.若m2,则+所以(2)当n为奇数时,设n=2m+1()所以从而综合(1)(2)可知,对任意,有证法二:(i)证明:由题设,可得所以由可知可得,所以是等差数列,公差为1(ii)证明:因为所以所以,从而,于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列由等差数列的通项公式可得= ,故从而所以,由,可得于是,由(i)可知以下同证法一（天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且,()求数列,的通项公式;()设数列的前项和为,求数列的前项和.【答案】解:()设数列的公比为数列的公差为 依题意得: ,将代入得 ()由题意得 令 则 -得: 又 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,点在直线上.() 求数列的通项公式和;() 设,求数列的前n项和.【答案】解:()是与2的等差中项, 由-得 再由 得 . () . -得:, 即:, （天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版）已知数列an中,a1=1,若2an+1-an=,bn=an-(1)求证: bn 为等比数列,并求出an的通项公式;(2)若Cn=nbn+,且其前n项和为Tn,求证:Tn3.【答案】解:(1)-6 bn为等比数列, 又b1 =, q=-7 (2)由(1)可知 -13 （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）数列an满足4a1=1,an-1=(-1)nan-1-2an(n2),(1)试判断数列1/an+(-1)n是否为等比数列,并证明;(2)设an2bn=1,求数列bn的前n项和Sn.【答案】解:(1)由 即 另: 是首项为3公比为-2的等比数列 (2)由 = （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列的前项和为,通项满足(是常数,且).()求数列的通项公式;()当时,证明;()设函数,是否存在正整数,使对都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】 所以 所以 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设等比数列的前项和为,已知.()求数列的通项公式;()在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,设数列的前项和,证明:.【答案】设等比数列的前项和为,已知. ()求数列的通项公式; ()在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,设数列的前项和,证明:. 【D】18解()由N*)得N*,), 两式相减得:, 即N*,), 是等比数列,所以,又 则, ()由(1)知, , , 令, 则+ -得 （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）已知数列的前项和为,且,数列满足,且点在直线上.()求数列、的通项公式;()求数列的前项和;()设,求数列的前项和.【答案】【解】()当, 当时, ,是等比数列,公比为2,首项 又点在直线上, , 是等差数列,公差为2,首项, () 得 () （天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）已知数列中,数列中.其中.(I)求证:数列是等差数列:()设最是数列的前n项和,求;()设是数列的前n 项和,求证:.【答案】解:(), 而 , . 是首项为,公差为1的等差数列 ()由()可知, , 于是 = 故有 =6 ()证明:由()可知 , 则 则 + , （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）对nN 不等式所表示的平面区域为Dn,把Dn内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),求xn,yn;(2)数列an满足a1=x1,且n2时an=yn2证明:当n2时,;(3)在(2)的条件下,试比较与4的大小关系. 【答案】解:(1)当n=1时,(x1,y1)=(1,1) n=2时,(x2,y2)=(1,2) (x3,y3)=(1,3) n=3时,(x4,y4)=(1,4) n时 (xn,yn)=(1,n) (2)由 (3)当n=1时,时,成立 由(2)知当n3时,即 = = = = 得证 （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）(本小题满分l3分) 已知数列的前n项为和,点()在直线上.数列满足,且b1=5,前10项和为185.( I )求数列、的通项公式;(II)设,数列的前n和为Tn,求证:.【答案】 （天津市河北区2013届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）若数列An满足,则称数列An为“平方递推数列”. 已知数列an中,a1=2,点(an,an+1)在二次函数的图像上,其中.(I)证明数列2an+l是“平方递推数列”,且数列lg(2an+l)为等比数列;()设(I)中“平方递推数列”2an+l的前n项之积为Tn,即,求数列an的通项及Tn关于n的表达式;()记,求数列bn的前n项和Sn.【答案】 （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）设数列的前项和为.已知，（）求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，求 【答案】解：（）由题意，则当时，.两式相减，得（）. 2分又因为，4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，5分所以数列的通项公式是（）. 6分（）因为，所以， 8分两式相减得， 11分整理得， (). 13分（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知,点在函数的图象上,其中(1)证明数列是等比数列;(2)设,求及数列的通项;(3)记,求数列的前项和.【答案】()由已知, ,两边取对数得 ,即 是公比为2的等比数列. ()由()知 (*) = 由(*)式得 () 又 . （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列an的前n项和，数列bn满足.（1）求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，证明：且时，；（3）设数列cn满足（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有.【答案】解：（1）在中，令n=1，可得，即当时，即.，即当时，.又，数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是，.（2）由（1）得，所以 由得于是确定Tn与的大小关系等价于比较与2n+1的大小由可猜想当时，.证明如下：证法1：当n=3时，由上验算显示成立.假设n=k+1时所以当n=k+1时猜想也成立综合可知，对一切的正整数，都有.证法2：当时 综上所述，当n=1,2时，当时（3） 当n=2k1，k=1,2,3,时，式即为 依题意，式对k=1,2,3都成立，当n=2k,k=1,2,3,时，式即为 依题意，式对k=1,2,3都成立， ，又存在整数，使得对任意有.（2013天津高考数学（理）已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【答案】本题考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前项和公式,数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. ()解:设等比数列的公比为,因为成等差数列, 所以,即,于是.又不是递减数列且,所以.故等比数列的通项公式为. ()解:由()得 当为奇数时,随的增大而减小,所以,故. 当为偶数时,随的增大而增大,所以,故. 综上,对于,总有. (2)令,则在和上分别单调递增,时,单调递增,时,单调递减,. （天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）已知函数,数列满足, ()求数列的通项公式;()若数列满足,求证:.【答案】 （天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为Sn.（1）若，求数列的通项公式；（2）若求所有可能的数列的通项公式.【答案】解：（）由又故解得因此，的通项公式是1，2，3，（）由得即由+得7d11，即由+得, 即,于是又，故.将4代入得又，故所以，所有可能的数列的通项公式是1，2，3，.（天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知正项数列中,a1=6,点An(an+1,)在抛物线上;数列中,点在过点 (0,1),以k=2为斜率的直线上.(1)求数列,的通项公式;(2)若,问是否存在,使成立,若存在,求出k值;若不存在,请说明理由;(3)对任意正整数n,不等式恒成立,求正数a的取值范围.【答案】 （2011年高考（天津理）已知数列与满足,且,()求,的值;()设,证明是等比数列;()设,证明()【答案】【命题立意】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力 分类讨论的思想方法. 【解析】(I)由,可得,又, 当时,由,可得; 当时,可得; 当时,可得 (II)证明:对任意, -,得 将代入,可得即()又,因此是等比数列 (III)证明:由(II)可得,于是,对任意且,有 ,以上各式相加,得,即,此式当时也成立,由式,得,从而 所以,对任意, 对于,不等式显然成立. 即,() 27