2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）含答案解析

2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷四一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分1集合A=x|2x2，集合B为自然数集，那么AB=2假设复数z=a21+a+1iaR为纯虚数，那么a=3在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，假设中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，那么中间一组的频数为4从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，那么两球颜色不同的概率是5根据如下图的伪代码，可知输出的结果S为6三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，那么三棱锥SABC的外表积是7F为双曲线C：2x2my2=4mm0的一个焦点，那么点F到C的一条渐近线的距离为8与的大小关系是用“或“连接9为了得到y=cos的图象，只需将y=sin的图象向左平移0个单位，那么的最小值为10假设函数fx=，在其定义域上恰有两个零点，那么正实数a的值为11an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，假设对任意的nN*，总有=，那么=12如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A，1，E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN那么直线MN的斜率为13如图，AB=BC=1，APB=90，BPC=45，那么=14正实数a、b、c满足+=1， +=1，那么实数c的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15向量，1假设，求向量、的夹角；2假设，函数的最大值为，求实数的值16如图，平面ABC平面DBC，AB=AC，ABAC，DB=DC；DE平面DBC，BC=2DE，1求证：DE平面ABC；2求证：AE平面ABC17现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如下图的三种的养殖区域假设OA=1km，1求区域的总面积；2假设养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？18如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆： +y2=1的左、右顶点，P2，ttR，且t0为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F1当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；2假设t=1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证： +定值；3求证：四边形AFBE为平行四边形19数列an，bn满足：对于任意的正整数n，当n2时，an2+bnan12=2n+11假设bn=1n，求的值；2假设数列an的各项均为正数，且a1=2，bn=1设Sn=，Tn=，试比拟Sn与Tn的大小，并说明理由20函数fx=x2，gx=alnx1假设曲线y=fxgx在x=1处的切线的方程为6x2y5=0，求实数a的值；2设hx=fx+gx，假设对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；3假设在1，e上存在一点x0，使得fx0+gx0gx0成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲任选两个21在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=ABED选修4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系xOy中，直线x+y2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y2=0，求矩阵A的逆矩阵A1选修4-4：坐标系与参数方程选讲23直线l：t为参数经过椭圆C：为参数的右焦点F求m的值；设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|FB|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲24a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9求证： +解答题25如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2pxp0的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点设Ax1，y1到准线l的距离为d，且d=p01假设y1=d=1，求抛物线的标准方程；2假设+=，求证：直线AB的斜率为定值26在自然数列1，2，3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余nk个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为Pnk1求P312求P4k；3证明kPnk=nPn1k，并求出kPnk的值2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷四参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分1集合A=x|2x2，集合B为自然数集，那么AB=0，1【考点】交集及其运算【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|2x2，集合B为自然数集，AB=0，1，故答案为：0，12假设复数z=a21+a+1iaR为纯虚数，那么a=1【考点】复数的根本概念【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值【解答】解：复数z=a21+a+1iaR为纯虚数解得a=1故答案为：13在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，假设中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，那么中间一组的频数为32【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，那么有：，解得：x=0.2，中间一组的频数=1600.2=32故填：324从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，那么两球颜色不同的概率是frac45【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1=，故答案为：5根据如下图的伪代码，可知输出的结果S为205【考点】顺序结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，nN，i=i+2100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，nN，i=i+2100时，S=2i+3的值，i+2=101时，满足条件，输出的S值为S=2101+3=205故答案为：2056三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，那么三棱锥SABC的外表积是3+sqrt3【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和外表积【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形ABC的面积，求解即可【解答】解：设侧棱长为a，那么a=2，a=，侧面积为3a2=3，底面积为22=，外表积为3+故答案为：3+7F为双曲线C：2x2my2=4mm0的一个焦点，那么点F到C的一条渐近线的距离为2【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b进行求解即可【解答】解：双曲线的标准方程为=1，双曲线的焦点在x轴，那么a2=2m，b2=4，那么b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点Fc，0，双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bxay=0那么点F到C的一条渐近线的距离d=2故答案为：28与的大小关系是用“或“连接【考点】不等式比拟大小【分析】由于=，即可得出【解答】解：=，故答案为：9为了得到y=cos的图象，只需将y=sin的图象向左平移0个单位，那么的最小值为frac23【考点】函数y=Asinx+的图象变换【分析】将y=sinx化为y=cosx，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可【解答】解：y=sin=cos=cosx，将y=sin的图象向左平移0个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cosx+，又y=cos=cosx，由题意可得：x+=x+2k，kZ，解得：=4k+，kZ，0当k=0时，的最小值为故答案为：10假设函数fx=，在其定义域上恰有两个零点，那么正实数a的值为frac1e【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】当x0时，fx=x+2x，单调递增，由f1f00，可得fx在1，0有且只有一个零点；x0时，fx=axlnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根令gx=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值【解答】解：当x0时，fx=x+2x，单调递增，f1=1+210，f0=10，由零点存在定理，可得fx在1，0有且只有一个零点；那么由题意可得x0时，fx=axlnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根令gx=，gx=，当xe时，gx0，gx递减；当0xe时，gx0，gx递增即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图gx的图象，当直线y=aa0与gx的图象只有一个交点时，那么a=故答案为：11an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，假设对任意的nN*，总有=，那么=9【考点】数列的求和【分析】设an，bn的公比分别为q，q，利用=，求出q=9，q=3，可得=3，即可求得结论【解答】解：设an，bn的公比分别为q，q，=，n=1时，a1=b1n=2时，n=3时，2q5q=3，7q2+7qq2q+6=0，解得：q=9，q=3，故答案为：912如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A，1，E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN那么直线MN的斜率为sqrt3【考点】直线与圆的位置关系【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论【解答】解：由题意，取M0，2，AM的斜率为，AE=AF，AN的斜率为，过原点，N，1，直线MN的斜率为=故答案为：13如图，AB=BC=1，APB=90，BPC=45，那么=frac45【考点】平面向量数量积的运算【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x利用三角形中位线定理与含有45角的直角三角形的性质，算出BDC=135，CD=PD=x在BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC最后利用数量积的公式加以计算，可得那么的值【解答】解：取PC中点D，连结BD设BD=x，BD是PAC的中位线，BDPA且BD=PAAPB=90，PBD中，PBD=APB=90，BPD=45，BD=x，PD=x，CD=PD=x，BDC中，BDC=APC=90+450=130，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD22BDCDcosBDC=1，即x2+2x22xxcos135=1，解之得x=，即BD=，PA=2BD=，PC=2=，=|cosAPC=，故答案为：14正实数a、b、c满足+=1， +=1，那么实数c的取值范围是1，frac43【考点】根本不等式【分析】由于+=1， +=1，可得，化为由于正实数a、b满足+=1，利用根本不等式的性质可得ab4，据此可得c的取值范围【解答】解：+=1，化为正实数a、b满足+=1，化为ab4那么c=1+，ab13，那么1c故答案为：1，二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15向量，1假设，求向量、的夹角；2假设，函数的最大值为，求实数的值【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算【分析】1当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量，从而求出向量、的夹角；2向量，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果【解答】解：1当时，所以，因而；2，因为，所以，当0时，即，当0时，即，所以16如图，平面ABC平面DBC，AB=AC，ABAC，DB=DC；DE平面DBC，BC=2DE，1求证：DE平面ABC；2求证：AE平面ABC【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】1取BC中点F，连结AF，可证AFBC，由平面ABC平面DBC，且交线为BC，可证AF平面DBC，从而AFDE，即可证明DE平面ABC2连结DF，可证DF平面ABC，AEDF，从而有AE平面ABC【解答】解：1取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AFBC，又因为平面ABC平面DBC，且交线为BC，所以，AF平面DBC，因为DE平面DBC，所以，AFDE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE平面ABC；2连结DF，DB=DC，F为BC中点，DFBC，平面ABC平面DBC，DF平面DBC，可证DF平面ABC，AEDF，AE平面ABC17现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如下图的三种的养殖区域假设OA=1km，1求区域的总面积；2假设养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】1根据三角形的面积公式即可求区域的总面积；2建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：1因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC因为，DEOA，CFOB，所以DEOB，CFOA又因为OE=OF，所以RtODERtOCF所以 所以所以，所以， 2因为，所以所以=，所以，令y=0，那么 当时，y0，当时，y0故当时，y有最大值答：当为时，年总收入最大18如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆： +y2=1的左、右顶点，P2，ttR，且t0为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F1当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；2假设t=1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证： +定值；3求证：四边形AFBE为平行四边形【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】1由题意得l：y=x+1，由此能求出t的值2直线AC：y=k1x+2，与联立得C：，同理得D：，由此能证明=4定值3要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O【解答】1解：由题意：椭圆： +y2=1上顶点C0，1，右焦点E，0，所以l：y=x+1，令x=2，得t=12证明：直线AC：y=k1x+2，与联立得C：，同理得D：，由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，得=4定值3证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P2，t，那么OP：y=x，分别与直线AC：y=k1x+2与AD：y=k2x+2联立得：xE=，xF=，下证：xE+xF=0，即+=0化简得：tk1+k24k1k2=0由2知C：，D：，由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，得tk1+k24k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形19数列an，bn满足：对于任意的正整数n，当n2时，an2+bnan12=2n+11假设bn=1n，求的值；2假设数列an的各项均为正数，且a1=2，bn=1设Sn=，Tn=，试比拟Sn与Tn的大小，并说明理由【考点】数列递推式；数列与函数的综合【分析】1根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，a182+a172=37，累加即可，2根据数列的递推关系求出an=n+1，nN，再分别表示出Sn与Tn，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n6时，构造数列cn=，利用换元法和作差法得到数列cn为递增数列，问题得以解决【解答】解：1由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+37=189，2an2+bnan12=2n+1，a1=2，bn=1an2an12=2n+1，n2，a22a12=5，a32a22=7，a42a32=9，an2an12=2n+1，将上面的式子相加得到an2a12=，an2=n+12，n2，数列an的各项均为正数，an=n+1，当n=1时，也成立，an=n+1，nN*，Sn=2n1，Tn=，下面比拟Sn与Tn的大小，取n=1，2，3，4，5，6，S12T12，S22T22，S32T32，S42T42，S52T52，S62T62，当n6时，令cn=，那么=设2n=t64，那么n+22n122n+112=8t122t12=4t212t+70当n6时，数列cn为递增数列，cnc6=1，n6时，Sn2Tn2，综上所述：当n=2，3，4，5时，SnTn，当n=1，n6时，SnTn20函数fx=x2，gx=alnx1假设曲线y=fxgx在x=1处的切线的方程为6x2y5=0，求实数a的值；2设hx=fx+gx，假设对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；3假设在1，e上存在一点x0，使得fx0+gx0gx0成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】1求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；2由题意可得即为0，令mx=hx2x，可得mx在0，+递增，求出导数，令导数大于等于0，别离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；3原不等式等价于x0+alnx0，整理得x0alnx0+0，设mx=xalnx+，求得它的导数mx，然后分a0、0ae1和ae1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是，2，+【解答】解：1y=fxgx=x2alnx的导数为x，曲线y=fxgx在x=1处的切线斜率为k=1a，由切线的方程为6x2y5=0，可得1a=3，解得a=2；2hx=fx+gx=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，即为0，令mx=hx2x，可得mx在0，+递增，由mx=hx2=x+20恒成立，可得ax2x的最大值，由x2x=x12+1可得最大值1，那么a1，即a的取值范围是1，+；3不等式fx0+gx0gx0等价于x0+alnx0，整理得x0alnx0+0，设mx=xalnx+，那么由题意可知只需在1，e上存在一点x0，使得mx00对mx求导数，得mx=1=，因为x0，所以x+10，令x1a=0，得x=1+a假设1+a1，即a0时，令m1=2+a0，解得a2假设11+ae，即0ae1时，mx在1+a处取得最小值，令m1+a=1+aaln1+a+10，即1+a+1aln1+a，可得lna+1考察式子lnt，因为1te，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立当1+ae，即ae1时，mx在1，e上单调递减，只需me0，得a，又因为e1=0，那么a综上所述，实数a的取值范围是，2，+选修4-1：几何证明选讲任选两个21在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=ABED【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接BD，证明EADDBA即可证明AD2=ABED【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以EAD=ABD又因为ABCD，所以BAD=ADE，所以EADDBA 从而=，所以AD2=ABED 选修4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系xOy中，直线x+y2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y2=0，求矩阵A的逆矩阵A1【考点】逆变换与逆矩阵【分析】在直线x+y2=0上取两点M2，0，M0，2 在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M，N推导出M、N的坐标，由题意，M、N在直线x+y2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A1【解答】解：在直线x+y2=0上取两点M2，0，M0，2M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M，N=，M的坐标为2，2b；=，N的坐标为2a，4由题意，M、N在直线x+y2=0上，解得a=1，b=0A=，A1=选修4-4：坐标系与参数方程选讲23直线l：t为参数经过椭圆C：为参数的右焦点F求m的值；设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|FB|的最大值与最小值【考点】参数方程化成普通方程【分析】椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点m，0，可求m的值；将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|FB|的最大值与最小值【解答】解：椭圆的参数方程化为普通方程，得，a=5，b=3，c=4，那么点F的坐标为4，0直线l经过点m，0，m=4将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：9cos2+25sin2t2+72tcos81=0设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，那么|FA|FB|=|t1t2|=当sin=0时，|FA|FB|取最大值9；当sin=1时，|FA|FB|取最小值选修4-5：不等式选讲24a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9求证： +【考点】不等式的证明【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得a+2b+3c+2，化简整理，结合条件即可得证【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：a+2b+3c+2=+2=1，由a+2b+3c=9，可得+，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立解答题25如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2pxp0的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点设Ax1，y1到准线l的距离为d，且d=p01假设y1=d=1，求抛物线的标准方程；2假设+=，求证：直线AB的斜率为定值【考点】抛物线的简单性质【分析】1由题意可知x1=1，A点坐标为1，1，将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；2直线AB过M，0，设直线AB的方程为y=kx+，代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=p，得， +=，可知，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值【解答】解：1由条件知，x1=1，那么A点坐标为1，1，代入抛物线方程得p=1，抛物线方程为y2=2x，2证明：设Bx2，y2，直线AB的方程为y=kx+，将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=d=p，+=，p=x2x1=，直线AB的斜率为定值26在自然数列1，2，3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余nk个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为Pnk1求P312求P4k；3证明kPnk=nPn1k，并求出kPnk的值【考点】数列的求和【分析】1数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；2类比1即可得出；3：把数列1，2，n中任取其中k个元素位置不动，那么有种；其余nk个元素重新排列，并且使其余nk个元素都要改变位置，那么，可得，利用，即可得出【解答】1解：数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，P31=3；2解： =；3证明：把数列1，2，n中任取其中k个元素位置不动，那么有种；其余nk个元素重新排列，并且使其余nk个元素都要改变位置，那么有，故，又，令，那么an=nan1，且a1=1于是a2a3a4an1an=2a13a24a3nan1，左右同除以a2a3a4an1，得an=234n=n!2021年7月15日第27页共27页