向量教学的几点注意

本文发表于华东师大数学教学2004第7期向量教学的几点注意215006 苏州市第一中学 刘祖希笔者通过新教材高一平面向量与高二空间向量的教学，发现以下几点应引起大家的注意.1 向量方法使用的纯粹性解答几何问题我们提倡综合法与向量法完美结合，但使用向量法必须保证纯粹性，防止假应用，即不能直接将综合几何中的结论改写为向量形式，便称之为向量法.例1 用向量法证明：空间四边形各边中点构成平行四边形. 证法1：是各边中点，与平行且相等，构成平行四边形.这一证法，实质是直接使用了三角形中位线定理，形式上却贴上了向量的标签“” ，这是错误的、至少是不纯粹的向量证法，下面的处理是适当的.证法2：，同理，与平行且相等，构成平行四边形.2 几个语法错误向量无论在运算性质还是在书写上都有明显不同于实数之处，若不注意这些，就会犯一些“语法错误”. 其一，零向量错误地记为0（实数）；其二，向量的坐标或错误地记为或；其三，相反地，点的坐标或又错误地记为或；3 重视向量运算中的0的处理除了上述零向量记为而不能记为实数0之外，我们还屡屡发现向量教学中关于零的失误、错误. 例2 教材中关于向量平行的坐标表示：设，其中，则.由到，该如何消去？证法1：，与中至少有一个不等于0，不妨设，则由代入得，即.见文 1.证法2：两式相除，并对讨论.见文 2. 事实上，这两种方法远不如下面的处理简洁：证法3：由得，两式相减，得.例3 三点共线的充要条件有 （填序号）：；.错解：选.正解：选.的错误在于没有指出系数不全为零（见文3），仅是一个必要不充分条件.类似的问题还有下面的例4：例4 以下能判定四点共面的条件有 （填序号）：；.看来，实数0在向量运算中也必须引起足够重视.4 向量与实数之间、向量夹角与空间直线夹角适时恰当地转换向量与实数是两个不同的“世界”，能适时恰当地将两者进行转换是学好用好向量的关键.其一，向量与实数最简洁完美的沟通莫过于，教学中应特别向学生给予推介.例5 已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAA1=DAA1=60o，BAD=90o，求AC1的长.解：考虑，故，即AC1的长.其二，注意向量夹角与空间角度直线夹角的区别，教学中应特别向学生申明,防止答非所问.如，则空间直线夹角为；如，则为.5 注意挖掘向量丰富的运算形式和实质仅高中阶段介绍的向量运算形式就有加法、加法、数乘、数量积（又称点乘、内积），这又分别可用普通形式和坐标形式来表述，其实还不止这些，如向量的矢量积（又称叉乘、外积）、混合积、旋转运算等，无论是哪一种都有别于实数运算，但只要掌握了不同运算形式其实质，即运算对象是什么、运算过程是什么、运算结果又是什么，一切运用起来就十分容易.例6 定义向量的新运算*为：.若对向量有，求.（2003年扬州市高考模拟题）解：由*的定义，知，两式平方相加，即.移项，得，两式平方相加，即.显然，中，.注：其实就是空间向量的旋转公式.参考文献：1金兔.关于向量教学的几点想法.数学教学，2003.42阮伟强.平面向量教学后记.中学数学研究（广州），2004.33刘吉存.从向量一例看数学的源与流.数学教学，2003.64