人教A1.2任意的三角函数

进入名师伴你行学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四名师伴你行1.在直角坐标系中，在直角坐标系中， 叫做叫做单位圆单位圆.2.设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点（是一个任意角，它的终边与单位圆交于点（x，y），），那么：那么： （）（） 叫做叫做的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 .（）（） 叫做叫做的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 .（）（） 叫做叫做的正切，记作的正切，记作 ，即，即 . 当当 时，时，的终边在的终边在y轴上，这时点轴上，这时点的横坐标的横坐标x等于等于 ，所以，所以 无意义无意义.除此之外，对于确除此之外，对于确定的角定的角，上述三个值都是，上述三个值都是 .所以正弦、余弦、正所以正弦、余弦、正切都是以切都是以 为自变量，以为自变量，以 为函为函数值的函数，我们将它们统称为数值的函数，我们将它们统称为 .由由 于于 与与 之间可以建立一一对应关系，之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为所以三角函数可以看成是自变量为 的函数的函数.x角角实数实数以原点为圆心，以单位长度为半径的圆以原点为圆心，以单位长度为半径的圆sinycosxcosysinxytantanxy（x） k（kZ）2tanxy唯一确定的唯一确定的单位圆上点的坐标或坐标的比值单位圆上点的坐标或坐标的比值三角函数三角函数角的集合角的集合实数集实数集 返回目录返回目录名师伴你行3.根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切 函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的 值在各象限的符号填入括号值在各象限的符号填入括号.三角函数三角函数定义域定义域sinsincoscostantanx|x且且xk ，k2 返回目录返回目录名师伴你行4.由三角函数的定义，可以知道：由三角函数的定义，可以知道： 的角的同的角的同 一三角函数的值一三角函数的值 .由此得到公式由此得到公式一：一： ， ， ，其中，其中 . 5. 叫做有向线段叫做有向线段. 6.如图所示，已如图所示，已知角知角的终边位置的终边位置.则由三角函数的定义可知点的坐标为（则由三角函数的定义可知点的坐标为（cos，sin）.点点的坐标为（，的坐标为（，tan）.其中其中cos ，sin ，tan .把轴上向量把轴上向量OM，（）叫做）叫做的的 和和 .终边相同终边相同相等相等sin（k）sincos（k）costan（k）tankk带有方向的线段带有方向的线段余弦线、正弦线余弦线、正弦线正切线正切线 返回目录返回目录名师伴你行1.已知角已知角的终边经过点（的终边经过点（a，a）（）（a），）， 求求sin,cos,tan的值的值.【分析【分析】由三角函数定义直接求由三角函数定义直接求.学点一学点一 求任意角的三角函数值求任意角的三角函数值【解析【解析】根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点到原点的距离到原点的距离r，由于含有参数，由于含有参数a，要注意分类讨论，要注意分类讨论.r若若a，ra，角在第二象限，则角在第二象限，则sin ，cos ，tan .若若a，ra，角在第四角在第四象限，则象限，则sin ，cos ，tan .a5(3a)4a)(22ry5a3a53rx5a4a54xy4a3a43535443 返回目录返回目录名师伴你行【评析【评析】易错解为：易错解为：xa，ya，r a，sin ，cos ，tan .错因是忘记讨论错因是忘记讨论a的符号的符号.三角函数定义是求任意角三三角函数定义是求任意角三角函数值的有效方法，只要知道角的终边上任一点的角函数值的有效方法，只要知道角的终边上任一点的坐标即可坐标即可.2yx 5354432.已知角已知角的终边与直线的终边与直线y x重合，求重合，求的三个三角函的三个三角函数值数值.23【分析【分析】给出角给出角的终边而要求的终边而要求的六种三角函数值，只的六种三角函数值，只需在需在终边上任取一点，再利用定义直接求解，但必须终边上任取一点，再利用定义直接求解，但必须注意这里的角注意这里的角终边有两种情形，应分别求解终边有两种情形，应分别求解. 返回目录返回目录名师伴你行【解析【解析】如图所示，直线如图所示，直线y x过原点和一、三象限，过原点和一、三象限， 因此，当因此，当的终边在第一象限时，在终边上取点的终边在第一象限时，在终边上取点(2,3)，则则 当当终边落在第三象限时，在其终边落在第三象限时，在其 终边上取点终边上取点 （-2，-3），则），则23.313csca,213seca,32cota,23tana.13132132cosa,13133133sina1332r22于是,133)(-2)r22p.313csca ,213seca,323-2-cota ,232-3-tana.13132132-cosa,13133133-sina于是 返回目录返回目录名师伴你行【评析】由此例可以看出，当两个角的终边反向共【评析】由此例可以看出，当两个角的终边反向共线时，它们的六种三角函数值的绝对值应相等，仅线时，它们的六种三角函数值的绝对值应相等，仅仅在符号上有所不同仅在符号上有所不同. 返回目录返回目录名师伴你行已知角已知角的终边经过点的终边经过点(-2, 3)，试求，试求的正弦、余弦、的正弦、余弦、正切值正切值.因为因为x-2，y3，所以，所以 ，所以，所以132232)(rsincos tan;13133133ry;13132132-rx.233xy2 返回目录返回目录名师伴你行 学点二学点二 三角函数值的符号三角函数值的符号 【分析【分析】判定三角函数符号应分两步：一是判定角的象判定三角函数符号应分两步：一是判定角的象限；二是判定这一象限内某三角函数的符号限；二是判定这一象限内某三角函数的符号.【答案【答案】 返回目录返回目录1.给出下列三角函数值：（）给出下列三角函数值：（）sin ；（）（）tan sin ；（）；（） ； （）（）sincos.其中为正值的个数是（）其中为正值的个数是（）A.B.C.D.12371237tan4sin4名师伴你行 返回目录返回目录【解析【解析】1125108045，则，则1125是第一象限的是第一象限的角，所以角，所以sin1125；因为；因为 ，所以，所以 是第三象限角，所以是第三象限角，所以tan ，sin ，故，故tan sin ；因为弧度；因为弧度的角为第三象限角，所以的角为第三象限角，所以sin，tan，故故 ；因为；因为 弧度弧度 ，所以，所以sincos. 综合上述，（）（）为正综合上述，（）（）为正.故应选故应选.12371213123712371237123712370tan4sin442【评析】判断三角函数值和符号时，要灵活处理，若只有【评析】判断三角函数值和符号时，要灵活处理，若只有一个角，则需观察角的象限，然后逐一判断每项的符号；一个角，则需观察角的象限，然后逐一判断每项的符号；若是多项式，则可由三角函数变形，也可由三角函数线判若是多项式，则可由三角函数变形，也可由三角函数线判断断.名师伴你行 返回目录返回目录2.若若sin且且tan，试确定角，试确定角所在的象限所在的象限.【分析【分析】根据判定三角函数符号的口诀：根据判定三角函数符号的口诀：“一全正，二一全正，二正弦，三两切，四余弦正弦，三两切，四余弦”判定判定. 【解析【解析】sin，是第三、第四象限角或终边在是第三、第四象限角或终边在y轴的负半轴上轴的负半轴上.又又tan，是第一或第三象限角是第一或第三象限角.综上可知综上可知,是第三象限角是第三象限角.【评析】三角函数在各象限的符号取决于终边所在的位【评析】三角函数在各象限的符号取决于终边所在的位置置.若角的终边所在象限确定，则三角函数值的符号就若角的终边所在象限确定，则三角函数值的符号就确定确定.名师伴你行 返回目录返回目录已知已知tan，且，且sincos，那么角，那么角是（是（ ）A.第一象限角第一象限角 B.第二象限角第二象限角C.第三象限角第三象限角 D.第四象限角第四象限角（设（设（x，y）是角）是角的终边上一点，它到原点的距离的终边上一点，它到原点的距离为为r.由题意知由题意知tan ， sincos= ，而，而r，所以，所以x，y，即点应在第一象限，于是角，即点应在第一象限，于是角是第一象限角是第一象限角.故应故应选选A.）0 xy0ryxrxryA名师伴你行 返回目录返回目录1.x取什么值时，使取什么值时，使 有意义？有意义？tanxcosxsinx学点三学点三 三角函数定义域三角函数定义域【分析【分析】考虑到分母不能为零，并且使得考虑到分母不能为零，并且使得tanx有意义有意义.【解析【解析】tanx，xk（k）.又又xk （k）,x （n）.当当xx|x ，n时时, 有意义有意义.22n2ntanxcosxsinx【评析】求三角函数定义域一要注意三角函数本身的限制【评析】求三角函数定义域一要注意三角函数本身的限制条件，二要注意应用求函数定义域的要求条件，二要注意应用求函数定义域的要求.名师伴你行 返回目录返回目录2.求函数求函数ytan( )的定义域的定义域.【分析【分析】由由y=tanx的定义域为的定义域为 x|xk+ ,kZ 求求.【解析【解析】ytanx的定义域为的定义域为 x|xk ，k ，x k ，k，xk ，k，原函数的定义域为原函数的定义域为 x|xk ，k.4x 22424343【评析】（）求一个函数的定义域就是要找出使这个函数【评析】（）求一个函数的定义域就是要找出使这个函数有意义的有意义的x的取值集合的取值集合.（）将三角函数符号后的整体看作一（）将三角函数符号后的整体看作一个角，从而化为一个角的三角函数，这种整体的化归思想在个角，从而化为一个角的三角函数，这种整体的化归思想在今后的学习中经常用到，要注意理解与应用今后的学习中经常用到，要注意理解与应用.名师伴你行 返回目录返回目录1.求函数的定义域：求函数的定义域：（）（）y tanx；（）；（）ylg（sinx）.2.已知已知sin ，求，求的取值集合的取值集合.sinx211. (1)（定义法）当（定义法）当sinx且且tanx有意义时函数有意义，所有意义时函数有意义，所以以 kx（k）， xk ，k，所以函数所以函数y + tanx的定义域为的定义域为2z,k,2k22k22kk,2sinx名师伴你行 返回目录返回目录(2)（三角函数线法）如图所示，因为（三角函数线法）如图所示，因为 sinx，所以，所以sinx ，所以，所以 sinx .所以函数的定义域为所以函数的定义域为(k ，k )(k ，k )，k，即即(k ，k )，k.43232333323433名师伴你行2.如图所示，首先在如图所示，首先在y轴上找到轴上找到 ，过此点作平行于，过此点作平行于 x轴的直线，交单位圆于轴的直线，交单位圆于与与两点两点. 若若sin ，则，则k 或或k （k），角），角所对应的正弦线分别为所对应的正弦线分别为,，当角，当角k 的终的终边按逆时针方向旋转至边按逆时针方向旋转至k 时，显然时，显然sin ，故应舍，故应舍去，所以去，所以应取线应取线和线和线以下的角，如图的阴影部以下的角，如图的阴影部分所示分所示. 故故的取值集合是的取值集合是|2k+ 2k+ ，kZ.21216656652165613 返回目录返回目录名师伴你行 返回目录返回目录 1.已知已知 ，求证：，求证：（）（）sincos；（）（）sintan.【分析【分析】建立平面直角坐标系，作出单位圆及正弦线、建立平面直角坐标系，作出单位圆及正弦线、 余弦线、正切线，根据图形证明余弦线、正切线，根据图形证明.2学点四学点四 单位圆、三角函数线的应用单位圆、三角函数线的应用名师伴你行 返回目录返回目录【评析】利用三角函数线的意义，【评析】利用三角函数线的意义，数形结合解决这类问题非常方便，数形结合解决这类问题非常方便，本题的两个结论应该记住，对以后本题的两个结论应该记住，对以后做题很有帮助做题很有帮助.【证明【证明】如图所示，设如图所示，设的终边与单位圆交于，作的终边与单位圆交于，作x轴，垂足为，过点（轴，垂足为，过点（1,0）作）作x轴，交轴，交的终的终边于，则边于，则sinMP，cosOM，tanAT. (1)在在OMP中，中，OMMPOP，cossin.(2)连接连接PA，则，则OPA扇形扇形OPAOTA，即即 2 ，OA=1，sintan.212121 返回目录返回目录2.在单位圆中画出适合下列条件的角在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并的终边的范围，并由此写出角由此写出角的集合的集合.（）（）sin ；（）；（）cos .【分析【分析】作出满足作出满足sin=a(或或cos=a)的三角函数线再利用的三角函数线再利用特值找不等式表示的范围特值找不等式表示的范围.也可以作出也可以作出y=a,与单位圆交于与单位圆交于A，B两点，两点，OA，OB将圆分成两个区域，特值确定哪一将圆分成两个区域，特值确定哪一个个.2321名师伴你行 返回目录返回目录【解析【解析】(1)作直线作直线y 交单位圆于，两点，连接交单位圆于，两点，连接OA，OB，则，则OA与与OB围成的区域（如图所示中阴影部围成的区域（如图所示中阴影部分）即为角分）即为角的终边的范围的终边的范围.所以满足条件的角所以满足条件的角的集合为的集合为|2k 2k ，k.(2)作直线作直线x 交单位圆于，两点，连接与交单位圆于，两点，连接与，则与围成的区域（如图，则与围成的区域（如图1.2-1-5所示中阴影所示中阴影部分）即为角部分）即为角的终边的范围的终边的范围.所以满足条件的角所以满足条件的角的集合的集合为为|2k 2k ，k.23332213234【评析】三角函数线可以用来求满足形如【评析】三角函数线可以用来求满足形如f（）m或或f（）m的三角函数的角的三角函数的角的范围的范围. 返回目录返回目录名师伴你行 返回目录返回目录在单位圆中画出满足下列条件的角在单位圆中画出满足下列条件的角的终边的终边.（）（）sin ；（）；（）cos ；（）；（）tan.3254分别如下图所示分别如下图所示.名师伴你行 返回目录返回目录1.如何理解三角函数的定义？如何理解三角函数的定义？ 三角函数的定义可以结合以下几点来理解：三角函数的定义可以结合以下几点来理解：一个角的三角一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与与k（k）的三角函数值相等；）的三角函数值相等；由于由于|x|r，|y|r，故由，故由sin ，cos= ，得，得|sin|，|cos|，这是三角函数中最，这是三角函数中最基本的一组不等关系式基本的一组不等关系式.即三角函数值是比值，是一个实数，即三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点（这个实数的大小和点（x，y）在终边上的位置无关，而仅）在终边上的位置无关，而仅由角由角的终边位置所决定的终边位置所决定.对于确定的角对于确定的角，其终边的位置也唯，其终边的位置也唯一确定了一确定了.因此，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函因此，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数数. 三角函三角函数定义还可以推广为：设点（数定义还可以推广为：设点（x，y）是角）是角终边上的任意一终边上的任意一点，它到坐标原点的距离点，它到坐标原点的距离|r，于是，于是sinryrx)0(tan;cos;xyPParxPParyPP的横坐标点的纵坐标点到原点的距离点的横坐标点到原点的距离点的纵坐标点名师伴你行 返回目录返回目录2.如何掌握三角函数在各象限的符号？如何掌握三角函数在各象限的符号？ 由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号，可以由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号确定三角函数的符号.sin ，其中，其中r，于是，于是sin的符的符号与号与y的符号相同，即当的符号相同，即当是第一、二象限的角时，是第一、二象限的角时，sin；当；当是第三、四象限的角时，是第三、四象限的角时，sin.cos ，其，其中中r，于是，于是cos的符号与的符号与x的符号相同，即当的符号相同，即当是第一、是第一、四象限的角时，四象限的角时，cos；当；当是第二、三象限的角时，是第二、三象限的角时，cos.tan ，当，当x与与y同号时，它们的比值为正；当同号时，它们的比值为正；当x与与y异号时，它们的比值为负，即当异号时，它们的比值为负，即当为第一、三象限的为第一、三象限的角时，角时，tan；当；当为第二、四象限的角时，为第二、四象限的角时，tan，以上结果如图所示以上结果如图所示.ryrxxy名师伴你行 返回目录返回目录正弦函数的符号取决于纵坐标正弦函数的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数的符号的符号，余弦函数的符号取决于横坐标取决于横坐标x的符号，正切函数是的符号，正切函数是x，y同号为正，异号同号为正，异号为负为负.在记忆三角函数在各象限的符号时，有以下口诀：在记忆三角函数在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦一全正，二正弦，三两切，四余弦.口决的含义是在第一口决的含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正、余切为正，在第四象限余弦为正象限正、余切为正，在第四象限余弦为正.名师伴你行 返回目录返回目录3.如何理解三角函数线？如何理解三角函数线？ （1）有向线段的数量有向线段的数量 当有向线段与数轴平行时，我们可根据线段的方向与数轴的当有向线段与数轴平行时，我们可根据线段的方向与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量得的数叫做有向线段的数量. （2）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段有向线段. （3）当角当角的终边与的终边与x轴重合时，正弦线、正切线变成一个轴重合时，正弦线、正切线变成一个点，此时角点，此时角的余弦值为或，正弦值和正切值为；的余弦值为或，正弦值和正切值为；当角当角的终边与的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角在，此时角的正弦值为或，余弦值为，正切值不的正弦值为或，余弦值为，正切值不存在存在. （4）在从在从“数数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考查任意角的三角函数可以从图形角度考查任意角的三角函数.即用向量的长度表示即用向量的长度表示三角函数的数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的三角函数的数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方地方.名师伴你行 返回目录返回目录1.函数的定义域是函数概念的三要素之一，因此，对于三角函数的定义域是函数概念的三要素之一，因此，对于三角函数的定义域要给予足够的重视函数的定义域要给予足够的重视.确定三角函数定义域时，确定三角函数定义域时，主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键.结合三角函结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域数的定义，可以得到三角函数的定义域.2.三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函数的定义和各象限内的点的坐标符号推出数的定义和各象限内的点的坐标符号推出.3.正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线们为三角函数线.三角函数线的主要作用是解三角不等式，三角函数线的主要作用是解三角不等式，求三角函数的定义域及比较三角函数值的大小，同时它也求三角函数的定义域及比较三角函数值的大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础，是利用数形结合思是学习三角函数的图象与性质的基础，是利用数形结合思想解决问题的重要工具想解决问题的重要工具.名师伴你行