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专题八 数列2013年2月（2013普陀区期末）6. 若等差数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】（）【Ks5U解析】在等差数列中，设公差为，则由，得，即，解得，所以。（2013闵行期末）18数列满足，若数列的前项和为，则的值为 答 ( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【Ks5U解析】因为，所以，选D.（2013闵行期末）7无穷等比数列的各项和为，第2项为，则该数列的公比 .【答案】【Ks5U解析】由题意知且,，解得（舍去）或。（2013静安区期末）16（理）等差数列中，已知，且，则数列前项和（）中最小的是（ ）(A) 或 (B) (C) (D)【答案】C【KS5U解析】由得，解得。所以，由，即，解得，即当时，；当时，所以前13项和最小，所以选C.（2013静安区期末）2等比数列（）中，若，则 .【答案】64【KS5U解析】在等比数列中，即，所以，。所以。（2013闵行期末）13如下图，对大于或等于2的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”(其中)：例如的“分裂”中最小的数是，最大的数是；若的“分裂”中最小的数是，则 . 【答案】【Ks5U解析】解：由，分裂中的第一个数是：，分裂中的第一个数是：，分裂中的第一个数是：，发现奇数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是底数（底数1）+1，分裂中的第一个数是：，若的“分裂”中最小的数是，则的值是 15（杨浦区2013届高三一模 理科）18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为 （ ） 【答案】C【KS5U解析】对于，lnf(an)= ln=-lnan=-ln(a1qn-1)=-lna1-(n-1)lnq为等差数列，故是，(B)、(D)均错；对于，lnf(an)= ln=ln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq为等差数列，故是，(A)错，故选(C).（2013静安区期末）7（理）设数列满足当（）成立时，总可以推出成立下列四个命题：（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）【答案】（2）（3）（4）【KS5U解析】（1）的等价条件是若，则。由条件可知不成立。（2）若，则满足，所以，成立。所以正确。（3）的等价条件是若，则。成立。（4）若，则满足，所以，因为，所以成立。所以成立。所以正确的命题是为（2）（3）（4）。（黄浦区2013届高三一模 理科）3. 若数列的通项公式为，则 【答案】【KS5U解析】因为，所以，所以。（虹口区2013届高三一模）18、数列满足，其中，设，则等于( ) 【答案】C【KS5U解析】 (都有项) =(=(,所以选C.（杨浦区2013届高三一模 理科）8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和_ 【答案】【KS5U解析】由题意知，又，所以，所以。（奉贤区2013届高三一模）17、（理）已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）A公差； B在所有中，最大；C满足的的个数有11个； D；【答案】C【Ks5U解析】由，得，即，所以公差，。，。所以满足的的个数有12个，所以C为假命题，所以选C. （松江区2013届高三一模 理科）5已知数列的前项和，则 【答案】5【Ks5U解析】因为，所以。 （奉贤区2013届高三一模）14、（理）设函数，是公差为的等差数列，则 【答案】【Ks5U解析】,所以，所以，所以，因为，即，所以必有且，即。所以，所以。（浦东新区2013届高三一模 理科）7等差数列中，则该数列的前项和 .【答案】【KS5U解析】在等差数列，得，即.所以.（嘉定区2013届高三一模 理科）13观察下列算式：， 若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则_ 【答案】【Ks5U解析】某数按上述规律展开后,则等式右边为m个连续奇数的和，且每行的最后一个数为，所以的最后一个数为，因为当时，当时，所以要使当等式右面含有“”这个数，则。（嘉定区2013届高三一模 理科）5在等差数列中，从第项开始为正数，则公差的取值范围是_【答案】【Ks5U解析】由题意知，即，所以，解得，所以，即公差的取值范围是。（金山区2013届高三一模）14若实数a、b、c成等差数列，点P(1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是 【答案】【KS5U解析】a、b、c成等差数列a-2b+c=0 a1+b(-2)+c=0，直线l：ax+by+c=0过定点Q(1,-2)，又P(1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，PMQ=90，M在以PQ为直径的圆上,圆心为C(0, -1)，半径r=，线段MN长度的最小值即是N(0, 3)与圆上动点M距离的最小值=|NC|-r=4-.（虹口区2013届高三一模）9、在等比数列中，已知，则 【答案】 【KS5U解析】在等比数列中，所以。得，所以，所以。（青浦区2013届高三一模）8若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）【答案】【KS5U解析】设三个互不相等的实数为。（d0）交换这三个数的位置后：若是等比中项，则，解得d=0，不符合；若是等比中项则，解得，此时三个数为，公比为2或三个数为，公比为若a+d是等比中项，则同理得到公比为，或公比为所以此等比数列的公比是或（奉贤区2013届高三一模）6、设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn，则公比的取值范围是 【答案】【Ks5U解析】因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。（崇明县2013届高三一模）13、数列满足，则的前60项和等于. 【答案】1830【KS5U解析】，n+1代n，得，当n为奇数时，a1+a3=a5+a7= a57+a59=2S奇=，由得：，以上各式相加，得S偶-S奇=S60=(S偶-S奇)+2S奇=1770+60=1830.（虹口区2013届高三一模）12、等差数列的前项和为，若，则 【答案】10【KS5U解析】由得，即（舍去）或又，所以解得。（长宁区2013届高三一模）7、从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为 【答案】【KS5U解析】设数列的首项为，公比因为，所以，即，所以。因为，所以是偶数，则一定是奇数，所以必有，即。所以，即。所以，所以，即数列的通项公式为（宝山区2013届期末）11.若数列的通项公式是，则 =_. 【答案】【KS5U解析】因为，所以。（崇明县2013届高三一模）9、数列的通项公式是，前项和为，则. 【答案】【KS5U解析】因为，所以。（青浦区2013届高三一模）13正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 【答案】【KS5U解析】在RtA1B1A2中，A1B1A2=30，A1B1=1，A1A2= A2F2，又易知这些正六边形的边长组成等比数列，公比为，故所有所有这些六边形的面积和=。（松江区2013届高三一模 理科）已知递增的等差数列的首项，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列对任意，都有成立，求的值（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积22解：（1）是递增的等差数列，设公差为 1分、成等比数列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 对都成立当时，得 5分当时，由，及得，得 7分 8分 10分（3）对于给定的，若存在，使得 11分，只需， 12分即，即即， 取，则 14分对数列中的任意一项，都存在和使得 16分（浦东新区2013届高三一模 理科）22（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”（1）设，（），判断数列、是否为“摆动数列”， 并说明理由；（2）已知“摆动数列”满足，求常数的值；（3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”， 并求出常数的取值范围. 解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时则，取时则，显然常数不存在，所以数列不是“摆动数列”； 2分由，于是对任意成立，其中.所以数列是“摆动数列”. 4分（2）由数列为“摆动数列”， ， 即存在常数，使对任意正整数，总有成立；即有成立.则，6分所以.7分同理.8分所以，解得即.9分同理，解得；即. 综上.11分（3）证明：由，13分显然存在，使对任意正整数，总有成立，所以数列是“摆动数列”； 14分当为奇数时递减，所以，只要即可当为偶数时递增，只要即可综上，的取值范围是.16分（取中的任意一个值，并给予证明均给分）如取时，. 因为，存在，使成立.所以数列是“摆动数列”.（黄浦区2013届高三一模 理科）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列（1）若且，求的值；（2）若，求的取值范围20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分解：（1）A、B、C成等差数列，又,， 2分 由得， 4分又由余弦定理得， 6分由、得， 8分（2）由（1）得，即，故= 10分=， 12分由且，可得， 即，的取值范围为 14分（青浦区2013届高三一模）20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足 （1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和解：（1），2分 为等差数列又，4分6分（2）设，则310分 14分 （金山区2013届高三一模）23（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列an满足，(其中0且1，nN*)，为数列an的前项和 (1) 若，求的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 当时，数列an中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由23解：(1) 令，得到，令，得到。2分由，计算得4分(2) 由题意，可得： ，所以有 ，又，5分得到：，故数列从第二项起是等比数列。7分又因为，所以n2时，8分所以数列an的通项10分(3) 因为 所以11分假设数列an中存在三项am、ak、ap成等差数列，不防设mkp2，因为当n2时，数列an单调递增，所以2ak=am+ap即：2()4k2 = 4m2 + 4p2，化简得：24k - p = 4mp+1即22k2p+1=22m2p+1，若此式成立，必有：2m2p=0且2k2p+1=1，故有：m=p=k，和题设矛盾14分假设存在成等差数列的三项中包含a1时，不妨设m=1，kp2且akap，所以2ap = a1+ak ，2()4p2 = + ()4k2，所以24p2= 2+4k2，即22p4 = 22k5 1因为k p 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立16分因此，数列an中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列18分（长宁区2013届高三一模）23（本题满分18分） （理） 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求（文）设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.23、（理）解：（1）因为所以其值域为 2分于是 4分又6分（2）因为所以8分法一：假设存在常数，使得数列，10分得符合。12分法二：假设存在常数k0，使得数列满足当k=1不符合。7分当，9分则当 12分（3）因为所以的值域为 13分于是则 14分因此是以为公比的等比数列，又则有 16分 进而有18分（文）解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 ， 2分 4分， Sn=. 6分（2） 8分 10分（3）由(2)知， ，成等比数列. 12分 即 当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；15分当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列. 17分综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 18分 另解： （3）由(2)知， ， 成等比数列. ， 12分取倒数再化简得 当时，=16，符合题意； 14分， 而， 所以，此时不存在正整数m、n , 且1mn,使得成等比数列. 17分 综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 18分（虹口区2013届高三一模）22、（本题满分16分）数列的前项和记为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）求和；（3）设有项的数列是连续的正整数数列，并且满足：问数列最多有几项？并求这些项的和22、（16分）解：（1）由得，相减得，即又，得，数列是以1为首项2为公比的等比数列，5分（2）由（1）知10分（3）由已知得又是连续的正整数数列，上式化为又，消得，由于，时，的最大值为9.此时数列的所有项的和为16分（崇明县2013届高三一模）21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） 已知数列，记, , ，并且对于任意，恒有成立（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列21、解：（1） ，所以为等差数列。 （2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即 由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。 综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。（嘉定区2013届高三一模 理科）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设数列的前项和为，已知（，、为常数），（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由22（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）由题意，得，（2分）即 ，解得 （4分）（2）由（1）知， 当时， （1分），得（），又，（3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列（4分）所以的通项公式为（）（6分）（3）由（2），得，（1分）由，得，即，即因为，所以，所以且， （*）因为，所以或或（2分）当时，由（*）得，所以； （3分）当时，由（*）得，所以或； （4分）当时，由（*）得，所以或或 （5分） 综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：， （6分）（宝山区2013届期末）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知定义域为R的二次函数的最小值为0，且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足， （1）求函数的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的最值及相应的 23 解：（1）设，则直线与图像的两个交点为（1，0）， 2分 ， 4分 （2） 5分 6分 数列是首项为1，公比为的等比数列8分 10分 （3）令， 则12分，的值分别为，经比较距最近， 当时，有最小值是，15分当时，有最大值是0 18分（奉贤区2013届高三一模）22、（文）等比数列满足，数列满足（1）求的通项公式；（5分）（2）数列满足，为数列的前项和求；（5分）（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由（6分）22、解：（1）解：，所以公比 2分计算出 3分 4分 5分（2） 6分于是 8分= 10分（3）假设否存在正整数，使得成等比数列，则， 12分可得， 由分子为正，解得， 由，得，此时， 当且仅当，时，成等比数列。 16分说明：只有结论，时，成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分（杨浦区2013届高三一模 理科）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件： 其中. （1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合（3）若是有理数，设 （ 是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）， 2分 ，则所以. 4分（2），所以，所以，当，即时，所以，解得（，舍去）. 6分当，即时，所以，解得（，舍去）. 7分当，即时，所以，解得（，舍去）. 9分综上，. 10分（3）成立. 11分 （证明1）由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）. 12分 由，可得； 13分若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，可得 14分若则 15分若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾. 17分故中至少有一个为0，即存在，使得.从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.（证法2，数学归纳法） 18分版权所有：高考资源网( ks5u )
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