高等数学：第10章第十章-习题课

目录 上页 下页 返回 结束 小结与习题课小结与习题课一、一、 二重积分内容总结二重积分内容总结三、二重积分计算的基本技巧三、二重积分计算的基本技巧 第十章 二重积分的 计算 及应用 二、二、 二重积分计算的基本方法二重积分计算的基本方法 目录 上页 下页 返回 结束 一、二重积分课程内容回顾总结1. 二重积分概念2. 性质（P138）3. 重要结论(对称性）1、直角坐标计算二重积分2、极坐标计算二重积分三、二重积分计算技巧；二、二重积分基本计算方法目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它在与它在与 x 轴的交点轴的交点 (1,0) 处与直线处与直线.1相切 yx, 1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx而域而域 D 位于直线的上方位于直线的上方, 故在故在 D 上上1y2x1OD课练：课练：P140：5（2）目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解: D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos1001积分性质积分性质5100200 I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyO课练：课练：返回返回目录 上页 下页 返回 结束 DB目录 上页 下页 返回 结束 结论结论-利用对称性计算重积分利用对称性计算重积分1. 二重积分 若 D 关于 x 轴对称， Ddxdyyxf),(1D为“对称的一半”xy01D（1）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 y 为奇函数，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf则则（2）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 y 为偶函数，即),(),(yxfyxf 1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf则则目录 上页 下页 返回 结束 结论结论-利用对称性计算重积分利用对称性计算重积分1. 二重积分 若 D 关于 y 轴对称， Ddxdyyxf),(2D为“对称的一半”xy0（1）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 x 为奇函数，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf则则（2）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 x 为偶函数，即),(),(yxfyxf 2),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf则则2DP185:2(2)目录 上页 下页 返回 结束 D2D3D4D2(2). 则yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如图 ,4321DDDDD由对称性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是关于 y 的奇函数在21DD 上是关于 x 的偶函数A,),(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaO目录 上页 下页 返回 结束 2/316目录 上页 下页 返回 结束 :1,01D xy例1 设5(cos)()Dxyy yd则52cosDDyxydy d2Dy d解:积分区域如图所示122Dy dD1112002dxy dy23目录 上页 下页 返回 结束 结论结论-利用对称性计算重积分利用对称性计算重积分2. 二重积分 若 D 关于 原点轴对称， Ddxdyyxf),(3D为“对称的一半”xy0（1）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 x , y 为奇函数，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf则则（2）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 x, y 为偶函数，即),(),(yxfyxf 3),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf则则3D目录 上页 下页 返回 结束 结论结论-利用对称性计算重积分利用对称性计算重积分3. 二重积分 若 D 关于直线 y = x 对称，即 Ddxdyyxf),(xy,),(Dyx 若若 DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(则则,),(Dxy 则则即被积函数中，x 和 y 对换，二重积分值不。0 xy D该对称性又称坐标轮换法。练习：P185：1（2）；目录 上页 下页 返回 结束 1(2)：计算,)(2222 DyxddbyaxIxyxy 0 DyxddbxayI)(2222解222:RyxD 因为 D 关于直线 y = x 对称，所以 DyxddbxaybyaxI)()(222222222 Dyxddyxba)()11(2222 Rddba022022)11( )11(2224baR P185:1(2)目录 上页 下页 返回 结束 1(2)：计算,)(2222 DyxddbyaxIxyxy 0 DyxddbxayI)(2222解222:RyxD 因为 D 关于直线 y = x 对称，所以 DyxddbxaybyaxI)()(222222222 Rddba022022)11( )11(2224baR )11(4224baRI 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分计算的基本方法二、二重积分计算的基本方法1、直角坐标计算二重积分选择易计算的积分次序，积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .2、极坐标计算二重积分 积分区域是圆或圆的一部分，或者区域 D 的边界方程用极坐标表示比较简单； 被积函数具有下列形式时什么时候考虑用极坐标计算?2(),(cot ),(tan )fff22(),( ),( )xyf xyffyx目录 上页 下页 返回 结束 练习：练习：P185：1（1）2220yxdxedy例1：积分 的值是（ ）22yxe dy积分 积不出来，因此需改变积分次序因此需改变积分次序解：xy222200yydyedx原式原式2200yyedydx220yeydy22201()2yedy41(1)2e原函数不是初等函数，不能用牛顿牛顿-莱布尼茨求原函数，莱布尼茨求原函数，目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.解解: 利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xO:D0cosrR2222d练习：P185 3 (3). 例3目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周所围成的闭区域.解解: 利用极坐标sinrR原式sin220RRr rdryDRxO:D0sinrR00d练习：P185 3 (3). 3 (4). 学生练习学生练习22xyRy222:D xyR2222:D axyb思考:如果积分区域为:目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分2(369)d ,Dyxy其中解解:由轮换对称性yDRxO220012Rdr rdr课练：P185 3 (4). 222( , )|Dx yxyR2d3d6d91dDDDDyxy原式dd0DDxy由对称性由性质29d9DR2dDy221d2Dxy44R22ddDDyx原式4294RR例4:目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分计算的基本技巧三、二重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法(185:1(1)2. 利用对称性简化计算(185:1(2),2(2)3. 消去被积函数绝对值符号4. 利用扩展积分域进行计算 目录 上页 下页 返回 结束 CD目录 上页 下页 返回 结束 axamyxamaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed例2:证明提示提示: 左端积分区域如图,Dxy a交换积分顺序即可证得.P186 5.yxO()00( )aym a xdyef x dx()0( )aam a xxdxef x dy()0( )aam a xxef x dxdy()0()( )am a xax ef x dx证毕证明:目录 上页 下页 返回 结束 例例3计算二重积分,dd)e(222yxyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxyxDyxdde22围成 . yx1DO目录 上页 下页 返回 结束 y1x1O(2) 积分域如图:1D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxyxDyxdde22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得yxyxxIyxDdd)e(222221xyDxyedxdy目录 上页 下页 返回 结束 课练17年目录 上页 下页 返回 结束 课练16年目录 上页 下页 返回 结束 课练15年目录 上页 下页 返回 结束 课练15年目录 上页 下页 返回 结束 课练14年目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的应用二重积分的应用1. 几何方面的应用：空间体的体积2. 平面块的面积目录 上页 下页 返回 结束 解：222222xyxyDDVaxy dxdyxy dxdy在 平面上的投影域为xoy,:222ayxDxy 由二重积分几何意义，所求体积为2222xyxyDDad dd d 2222200002aadaddd 3322(2 21)33aa34( 21)3a目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例题, P:158：8,9,10,17,18：P177。1，2，3目录 上页 下页 返回 结束