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选修选修4 4系列系列选修选修4444坐标系与参数方程坐标系与参数方程-3-知识梳理双基自测234165自测点评-4-知识梳理双基自测自测点评2341652.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为.定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 距离|OM| xOM (,) M(,) -5-知识梳理双基自测自测点评2341653.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).-6-知识梳理双基自测自测点评2341654.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则直线的方程为:sin(-)=.(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程直线过极点:=0和;直线过点M(a,0),且垂直于极轴:;0sin(0-) =+0 cos =a sin =b -7-知识梳理双基自测自测点评2341655.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程圆心位于极点,半径为r:=;圆心位于M(a,0),半径为a:=;r 2acos 2asin -8-知识梳理双基自测自测点评234165参数方程 参数 y0+tsin -9-知识梳理双基自测自测点评234165a+rcos b+rsin acos bsin 2pt2 2pt 2-10-知识梳理双基自测3415自测点评 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)-11-知识梳理双基自测自测点评23415 答案 答案关闭B-12-知识梳理双基自测自测点评23415 答案 答案关闭C-13-知识梳理双基自测自测点评23415 答案 答案关闭y=3sin 2x-14-知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭-15-知识梳理双基自测自测点评1.在极坐标系下,点的极坐标不是唯一的,极坐标(,),(,+2k)等表示同一点的坐标.因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程.2.判断曲线的极坐标方程或曲线的参数方程表示什么曲线时,一般先化为直角坐标方程或普通方程再判断.3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系,或者求两曲线的交点,都是把曲线方程化为直角坐标方程或普通方程后再进行判断或求解.-16-考点1考点2考点3考点4考点5考向一直角坐标方程化为极坐标方程例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.思考如何进行直角坐标与极坐标的互化?-17-考点1考点2考点3考点4考点5-18-考点1考点2考点3考点4考点5考向二极坐标方程化为直角坐标方程例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?-19-考点1考点2考点3考点4考点5-20-考点1考点2考点3考点4考点5-21-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.对点训练对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为 ,半径为1.求圆C1的极坐标方程;设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.-22-考点1考点2考点3考点4考点5(2)在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l: 以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.求圆O和直线l的直角坐标方程;当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.-23-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点3考点4考点5-25-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?-26-考点1考点2考点3考点4考点5-27-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到公式sin2+cos2=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.-28-考点1考点2考点3考点4考点5-29-考点1考点2考点3考点4考点5(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0, -30-考点1考点2考点3考点4考点5例4(2017全国,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离? -31-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10). 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积-32-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离.2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(1,),B(2,)的距离|AB|=|2-1|.-33-考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练对点训练3在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;-34-考点1考点2考点3考点4考点5例5在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=8cos .(1)求C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求弦长|AB|.思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?-35-考点1考点2考点3考点4考点5-36-考点1考点2考点3考点4考点5-37-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.-38-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练4已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 (t为参数,为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为=4cos .(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.-39-考点1考点2考点3考点4考点5-40-考点1考点2考点3考点4考点5-41-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交点,求M的极径.思考求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么?-42-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).-43-考点1考点2考点3考点4考点5(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 解题心得求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.-44-考点1考点2考点3考点4考点5-45-考点1考点2考点3考点4考点5-46-考点1考点2考点3考点4考点51.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式cos =x,sin =y,2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以等.2.要判断极坐标系中曲线的形状,可以先将方程化为直角坐标方程再进行判断.3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:-47-考点1考点2考点3考点4考点51.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
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