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5 5. .2 2平面向量基本定理及向平面向量基本定理及向量的坐标表示量的坐标表示 -2-知识梳理双基自测23415自测点评1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.不共线 1e1+2e2 基底 互相垂直 -3-知识梳理双基自测自测点评234152.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对叫作向量a的坐标,记作a=.(x,y) (x,y) -4-知识梳理双基自测自测点评234153.平面向量的坐标运算(1)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =.(2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,a=,(x2-x1,y2-y1) (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1) -5-知识梳理双基自测自测点评234154.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab .x1y2-x2y1=0 -6-知识梳理双基自测自测点评234155.向量的夹角已知两个向量a和b,作 则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作.非零 ab 2-7-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ()(3)在ABC中,向量 的夹角为ABC. ()(4)已知向量a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. ()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件可表示成() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5) -8-知识梳理双基自测自测点评23415A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4) 答案 答案关闭A -9-知识梳理双基自测自测点评234153.(2017山东,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=. 答案解析解析关闭ab,2-6(-1)=0,=-3. 答案解析关闭-3-10-知识梳理双基自测自测点评234154.(2017山西太原一模)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)(a-b),则实数t=. 答案解析解析关闭由题意,a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)(a-b),所以(1+t)(-2)=(1-t)0=0,解得t=-1. 答案解析关闭-1-11-知识梳理双基自测自测点评234155.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=. 答案解析解析关闭|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2. 答案解析关闭-2 -12-知识梳理双基自测自测点评1.能作为基底的两个向量必须是不共线的.2.向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都变了,但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.3.求向量的夹角要注意向量的方向,否则,得到的可能是向量夹角的补角.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成 因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.-13-考点1考点2考点3(3)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=.思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?C 2 -14-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.-16-考点1考点2考点3解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.-17-考点1考点2考点3 答案 答案关闭-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么? 答案解析解析关闭 答案解析关闭-20-考点1考点2考点3解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.-21-考点1考点2考点3对点训练对点训练2(1)在ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)(2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-22-考点1考点2考点3例3(1)(2016湖北武昌区五月调考)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量 与向量a=(,1)共线,则=.(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为.思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共线的充要条件有哪些作用? 答案 答案关闭-23-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3解题心得1.向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用.2.两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.-25-考点1考点2考点3对点训练对点训练3(1)(2017安徽马鞍山一模)已知向量a=(1,2),b=(x,6),且ab,则|a-b|=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-26-考点1考点2考点31.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.-27-考点1考点2考点35.三个结论向量中必须掌握的三个结论(1)若a与b不共线,a+b=0,则=0;(2)已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1;(3)平面向量的基底中一定不含零向量.-28-考点1考点2考点31.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标.2.若a,b为非零向量,当ab时,a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.
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