数学第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积

5.3平面向量的数量积第五章 平面向量基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.向量的夹角向量的夹角已知两个非零向量a和b，作 b，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .知识梳理AOB0，2.平面向量的数量积平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量_叫做a与b的数量积，记作ab投影_叫做向量a在b方向上的投影，_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积|a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则(1)eaae|a|cos .(2)ab .(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa 或|a|_.(4)cos .(5)|ab| .ab0|a|b|a|24.平面向量数量积满足的运算律平面向量数量积满足的运算律(1)ab ；(2)(a)b (为实数)；(3)(ab)c .ba(ab)a(b)acbc5.平面向量数量积有关性质的坐标表示平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2 或|a|_.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB| _.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos _.x1x2y1y2x2y2x1x2y1y201.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.()基础自测123456题组二教材改编题组二教材改编2.P105例4已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.答案解析12345612解析解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3.P106T3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_.解析答案123456解析解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.2题组三易错自纠题组三易错自纠4.设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于_.答案123456解析解析解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，5.已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量 方向上的投影为_.解析答案1234566.已知ABC的三边长均为1，且 ，则abbcac_.解析答案123456解析解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，题型分类深度剖析1.设四边形ABCD为平行四边形， 4，若点M，N满足 等于A.20 B. 15 C.9 D.6解析答案题型一平面向量数量积的运算自主演练自主演练2.如图，已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为解析答案平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.思维升华思维升华命题点命题点1求向量的模求向量的模典典例例 (1)(2017湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于题型二平面向量数量积的应用多维探究多维探究答案解析(2)(2017衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为_.答案解析5解析解析建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，命题点命题点2求向量的夹角求向量的夹角典典例例 (1)(2017山西四校联考)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，则a与b的夹角为_.答案解析解析解析(2ab)(ab)6，2a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，(2)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于A.2 B.1C.1 D.2答案解析(1)求解平面向量模的方法写出有关向量的坐标，利用公式|a| 即可.当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a| .(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，注意的取值范围为0，.坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.思维升华思维升华跟踪跟踪训练训练(1)(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案解析解析解析方法一方法一方法二方法二(数形结合法)(2)(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若 e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.答案解析典例典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn .(1)求sin A的值；题型三平面向量与三角函数师生共研师生共研解答(2)若a ，b5，求角B的大小及向量 方向上的投影.解答平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ，n(sinx，cos x)，x .(1)若mn，求tan x的值；解答(2)若m与n的夹角为 ，求x的值.解答典典例例 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3).求使向量 夹角为钝角的充要条件.利用数量积求向量夹角现场纠错现场纠错纠错心得现场纠错错解展示错解展示：错解展示：现场纠错现场纠错解解错解中，cos |b|基础保分练12345678910111213141516答案解析解析解析方法一方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.1234567891011121314151612345678910111213141516方法二方法二利用向量加法的平行四边形法则.2.(2017河北唐山一模)已知向量a，b满足a(ab)2，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为解析答案12345678910111213141516解析解析由a(ab)2，得a2ab2，即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2.123456789101112131415163.(2017豫南九校联考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，则 等于解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析ab，2m20，m1，则2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，解析答案4.(2018乐山质检)在ABC中，AB3，AC2，BC 等于123456789101112131415165.(2017沈阳质检)在ABC中， ，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则 等于解析答案12345678910111213141516解析解析由 0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形.以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，12345678910111213141516解析答案123456789101112131415166.(2017驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足 0，则ABC的形状为A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形123456789101112131415167.(2017全国)已知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab与a垂直，则m_.解析答案123456789101112131415167解析解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3).又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.8.(2018银川质检)已知向量a，b的夹角为 ，|b|2，则a(a2b)_.解析答案1234567891011121314151669.(2017河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a(2ab)b(b2a)，|a |3|a|，则a与b的夹角为_.解析答案1234567891011121314151690解析解析由2a(2ab)b(b2a)，得4a2b2，10.(2017巢湖质检)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_.解析答案12345678910111213141516解析解析a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，11.(2018贵阳质检)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；解答12345678910111213141516解解因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，(2)求|ab|；解答12345678910111213141516解解|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，(3)若 ，求ABC的面积.解答1234567891011121314151612.(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3， )，x0，.(1)若ab，求x的值；解答12345678910111213141516若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解答123456789101112131415161234567891011121314151613.(2018长沙质检)已知DEF的外接圆的圆心为O，半径R4，如果 方向上的投影为_.技能提升练解析答案1234567891011121314151661234567891011121314151614.(2017广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足 的取值范围为_.答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为xy20(0 x2).设M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知0a1)，15.(2018湖北黄冈二模)已知平面向量a，b，c满足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)(cb)0，则|c|的最大值与最小值的和为拓展冲刺练答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析a(a2b)，a(a2b)0，即a22ab，又|a|b|1，1234567891011121314151616.(2017河北衡水模拟)已知在ABC所在平面内有两点P，Q，满足 的值为_.答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516