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第二节证明不等式的基本方法【教材基础回顾】1.比较法ababaa3b2+a2b3.【证明】因为a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),又因为ab,所以(a-b)20,又a,bR+,所以a2+ab+b20,a+b0,故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)0,即a5+b5a3b2+a2b3.2.已知a0,b0,c0,且a,b,c不全相等,求证: bcacaba b c.abc 【证明】因为a,b,c(0,+),所以 同理 因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立,三式相加,得 2(a+b+c),即 a+b+c.bcacbc ac22c.ababacababbc2a2b.bcca， bcacab2()abc bcacababc 3.求证: 【证明】 故原不等式成立.3726. 22 37263726 10 2 21 10 4 621 2 621 24.4.已知a0且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q的大小.【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)= 当0a1时,0a3+1a2+1,0 0,所以PQ.3a2a1log.a132a1a13a2a1log0.a1当a1时,a3+1a2+10, 1,所以 即P-Q0,所以PQ.所以,综上所述,PQ.32a1a13a2a1log0.a1【母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1作差法比作差法比较大小较大小P21P21例例1 12 2综合法综合法P23P23例例1 13 3分析法分析法P24P24例例3 34 4作差法比作差法比较大小较大小P26P26习题习题2.2T72.2T7考向一 综合法证明不等式【典例1】(2015全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则 (2) 是|a-b|cd得 因此 2aba b 2 ab, 2cdc d 2 cd. 22abcd .abcd.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得 abcd.(ii)若 则 即 因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.abcd，22abcd，a b 2 abc d 2 cd. 因此|a-b|c-d|.综上, 是|a-b|0,b0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)4.(2)a+b2.【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)所以(a+b)38,因此a+b2.233 a b)3 a b)2a b) 244 （，2.已知ABC中角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若a,b,c成等差数列.求证:0B 3【证明】因为ABC的三边a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,再根据 所以B 所以00,b0,2ca+b,求证: 22ccaba ccab. 【证明】要证 只要证 即要证|a-c| 即要证(a-c)2c2-ab,即要证a2-2ac0,所以即要证a-2c-b,即要证a+b0,a,bR,求证: 222a mbamb().1 m1 m【证明】因为m0,所以1+m0.欲证 成立.只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,只要证明a2-2ab+b20,222a mbamb()1 m1 m又a2-2ab+b2=(a-b)20显然成立,故 222a mbamb().1 m1 m2.已知ab,求证: 【证明】要证 只需证: (a-b)2,即1+a2- +1+b2a2-2ab+b2,化简1+ab 22| 1 a1 ba b|.|22| 1 a1 ba b|，22 21 a1 b（）222 1 a1 b221 a1 b ,当1+ab0时,显然成立,当1+ab0时,只需证(1+ab)2(1+a2)(1+b2),即1+2ab+a2b22ab,即只需证a2+b22ab即可,又ab,所以a2+b22ab,综上可知,当ab时, 成立.22| 1 a1 ba b|考向三 比较法证明不等式 高频考点【典例3】(1)当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.(2)已知a,bR+,求证:aabb a b2ab.【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)20,所以(px+qy)2px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.(2) 当a=b时, 当ab时, 由指数函数的性质知 a bb aa bab222a b2a baab( ).baba b2a( )1b；aa b10b2，a b2a( )1b，当ab0时, a ba ba bb aba222a b2a bbab( ).aaba b2b( )1a；a b2ba bb010( )1a2a ，；当ba0时, 所以 1,即abba a b2ba bb10( )1a2a， b aa b2a bab a b2ab.【技法点拨】比较法证明不等式的步骤1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的一般步骤:作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体作差;变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等;判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号;结论:肯定不等式成立的结论.(2)作差比较法的应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤:作商:将不等式左右两边的式子作商;变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;结论.(2)作商比较法的应用范围:当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.【同源异考金榜原创】命题点1作差法证明不等式1.已知a,b为正实数.(1)求证: a+b.(2)利用(1)的结论求函数y= (0 x0,b0,所以 当且仅当a=b时等号成立.所以 a+b.223322ababa b ab(a b)baab 222a a bb a ba ba b.abab 2a ba b0ab ，22abba(2)因为0 x0,由(1)的结论,函数y= (1-x)+x=1.当且仅当1-x=x即x= 时等号成立.所以函数y= (0 x0,所以只需证a2+c2-b20,即a2+c2b2,因为a2+c22ac,所以只需证2acb2,由已知得2ac=b(a+c).所以只需证b(a+c)b2,即a+cb,显然成立.所以B为锐角.
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