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第4讲万有引力与航天 【知识导图】椭圆一个焦点面积半长轴周期质量m1和m2的乘积它们之间距离r的二次方122m mGr质量分布均匀GMRgR【微点拨】1.同步卫星的六个“一定”:(1)轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面。(2)周期一定:与地球自转周期相同。(3)角速度一定:与地球自转的角速度相同。(4)高度一定:h= 6R。(5)速率一定:v= 。(6)绕行方向一定:与地球自转的方向一致。232GMTR4GMR h2.近地卫星特点:(1)近地卫星的轨道半径约等于地球半径。(2)近地卫星的速度即第一宇宙速度,是最大环绕速度。【慧眼纠错】(1)只有较大物体如天体间存在万有引力。纠错:_。(2)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆,太阳位于椭圆的中心。纠错:_。所有物体间都存在万有引力太阳位于椭圆的一个焦点上(3)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大。纠错:_。(4)同步卫星可以定点在北京市的上方。纠错:_。两物体间的距离趋近于零时,万有引力定律不适用同步卫星只能定点于赤道正上方(5)各天体的第一宇宙速度都是7.9 km/s。纠错:_。(6)第一宇宙速度是最大发射速度、最小环绕速度。 纠错:_。不同天体的第一宇宙速度不同第一宇宙速度是最小发射速度、最大环绕速度考点1中心天体质量和密度的估算【典题探究】 【典例1】(多选)(2016海南高考)通过观测冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动,除了引力常量外,至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()导学号04450092A.卫星的速度和角速度B.卫星的质量和轨道半径C.卫星的质量和角速度D.卫星的运行周期和轨道半径【解题探究】(1)卫星绕冥王星做匀速圆周运动,_提供向心力,_= (2)卫星质量对运算结果有无影响?提示:因为关系式中的卫星质量m被约掉,所以卫星质量对运算结果无影响。万有引力2MmGr2222v4 rmm rmrT 【解析】选A、D。根据线速度和角速度可以求出半径r= 根据万有引力提供向心力: 整理可以得到: 故选项A正确,B、C错误;若知道卫星的周期和半径,则 整理得到:M= 故选项D正确。v，22GMmvmrr，23v rvMGG，22GMm2m() rrT，2 324 rGT， 【通关秘籍】 天体质量和密度计算两法1.“g、R”法:已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由 ，得天体质量 。(2)天体密度 2MmGmgR2gRMG3MM3g4V4 GRR3。2.“T、r”法:测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由 ,得M= 。(2)若已知天体的半径R,则天体的密度 222Mm4GmrrT2 324 rGT3MM4VR33233 rGT R。(3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度 故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。23GT。【考点冲关】 1.(多选)我国计划在2018年发射“嫦娥四号”,它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星,主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息,完善月球档案资料。已知月球的半径为R,月球表面的重力加速度为g,引力常量为G,“嫦娥四号”离月球中心的距离为r,绕月周期为T。根据以上信息可求出()A. “嫦娥四号”绕月运行的速度为 B. “嫦娥四号”绕月运行的速度为 C.月球的平均密度为 D.月球的平均密度为 2gRr2grR3233 rGT R23GT【解析】选A、C。月球表面任意一物体重力等于万有引力mg= ,则有GM=R2g,“嫦娥四号”绕月运行时,万有引力提供向心力 =m ,得v= ,由得v= ,故A正确,B错误;“嫦娥四号”绕月运行时,根据万有引力提供向心力,有 ,得M= ;月球的平均密度为= ,故C正确,D错误。2GMmR2GMmR2vrGMr2gRr222GMm4mrrT2 324 rGT2 3322334 rM3 rGT4VGT RR32.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为()0022000223 gg3 gA. B. GT gGT gg3 g3C. D.GTGT g【解析】选B。在两极时有G =mg0,得地球质量M= ;在赤道时有mg0-mg=m R,得地球半径R= ,所以地球密度= ,选项B正确。2MmR20g RG224T202gg T40230gM34GT ggR3【加固训练】(多选)如图所示, 飞行器P绕某星球做匀速圆周运动,星球相对飞行器的张角为。下列说法正确的是()A.轨道半径越大,周期越长B.轨道半径越大,速度越大C.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均密度【解析】选A、C。万有引力提供向心力 ,可得 ,轨道半径越大,周期越长,A项正确;万有引力提供向心力 可得 ,轨道半径越大,速度越小,B项错误;如果测出周期,则有 ,如果再知道张角,则能通过几何222Mm4GmRRT3RT 2GM 22MmvGmRRGMvR2324 RMGT关系求得该星球半径为 ,从而求出星球的体积 ,两者结合可求得星球的平均密度 ,C项正确;而D项中由轨道半径无法求得星球半径,故不能得到星球的平均密度,D项错误。rRsin234Vr3 334R (sin )32 MV23233234 R3GT4R (sin )GT (sin )322考点2卫星的运动规律【典题探究】 【典例2】(2017全国卷)2017年4月,我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与“天宫二号”单独运行时相比,组合体运行的()导学号04450093 A.周期变大B.速率变大C.动能变大D.向心加速度变大【解析】选C。根据万有引力提供向心力有 ,可得周期T=2 ,速率v= ,向心加速度a= ,对接前后,轨道半径不变,则周期、速率、向心加速度均不变,质量变大,则动能变大,选项C正确,选项A、B、D错误。222GMm2vm(rmmarTr）3rGMGMr2GMr 【迁移训练】 迁移1:卫星的定性判断问题(多选)(2017江苏高考)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空,与“天宫二号”空间实验室对接前,“天舟一号”在距离地面约380 km的圆轨道上飞行,则其 ()A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期D.向心加速度小于地面的重力加速度【解析】选B、C、D。根据G =m2r=ma知,“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度,而同步卫星的角速度等于地球自转的角速度,所以“天舟一号”的角速度大于地球自转角速度,周期小于地球自转的周期,选项A错误、C正确;第一宇宙速度为最大的环绕速度,2Mmr所以“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度,B正确;地面重力加速度为 g= ,故“天舟一号”的向心加速度a小于地面的重力加速度g,故D正确。2GMR迁移2:卫星的定量计算问题(2016全国卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍,假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为()A.1 h B.4 hC.8 hD.16 h【解析】选B。由于地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同,假设地球的自转周期变小,则同步卫星的运转周期变小,轨道半径变小,由几何关系可知轨道半径最小值为2R,据 可得T最小= T自=4 h,故选B。222Mm4GmrrT322R()6.6R迁移3:几类特殊卫星的比较(2018淄博模拟)有a、b、c、d四颗地球卫星,a还未发射,在赤道表面上随地球一起转动,b是近地轨道卫星,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,它们均做匀速圆周运动,各卫星排列位置如图所示,则()A.a的向心加速度等于重力加速度gB.在相同时间内b转过的弧长最长C.c在4小时内转过的圆心角是 D.d的运动周期有可能是20小时6【解析】选B。a与c的角速度相等,由a向=2r知a的向心加速度小于c的向心加速度,c的向心加速度小于g,所以a的向心加速度小于g,A错误。a、b、c、d四颗卫星中,b的线速度最大,所以在相同时间内b转过的弧长最长,B正确。c的周期为24小时,c在4小时内转过的圆心角=t= ,C错误。由T= 知d的周期大于c的周期,大于24小时,D错误。24243 2 34 rGM 【通关秘籍】 利用万有引力解决卫星运动问题的思路:(1)一个模型:卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动。(2)两组公式。 =mg(g为星体表面的重力加速度)。222n22Mmv4GmmrmrmarrT 2MmGr(3)一句口诀:越远越慢,越远越小。越远越慢:卫星离中心天体越远,v、越小、T越大。越远越小:卫星离中心天体越远,an越小。考点3航天器的变轨问题【典题探究】 【典例3】(2016天津高考)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是导学号04450094()A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接 【解题探究】(1)原来做匀速圆周运动的飞船,若速度增大,飞船将如何运动?提示:飞船加速后,万有引力不足以提供向心力,飞船将远离原来的轨道。(2)原来做匀速圆周运动的飞船,若速度减小,飞船将如何运动?提示:飞船减速后,万有引力大于所需向心力,飞船将进入低轨道。【解析】选C。若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速,则由于所需向心力变大,F供F需,空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,选项B错误;要想实现对接,可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速,F供F需,则飞船将进入更低的轨道,从而不能实现对接,选项D错误。 【通关秘籍】 1.变轨分析:(1)卫星在圆轨道上稳定运行时, 222mMvGmm rrr 22m() rT。(2)当卫星的速度突然增大时, ,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大。当卫星进入新的轨道稳定运行时,由 v= 可知其运行速度比原轨道时减小,但重力势能、机械能均增加。22MmvGmrrGMr(3)当卫星的速度突然减小时, ,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变小。当卫星进入新的轨道稳定运行时,由 v= 可知其运行速度比原轨道时增大,但重力势能、机械能均减小。22MmvGmrrGM r2.三个运行物理量的大小比较:(1)速度:变轨前后,航天器在不同轨道上的速度大小,或根据离心运动的条件判断,或根据近心运动的条件判断,或根据开普勒第二定律判断,或根据“越远越慢”判断。(2)加速度:变轨前后,航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断。(3)周期:变轨前后,航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律 =k判断。32rT 【考点冲关】 1.(多选)(2018鄂州模拟)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是()A.卫星的动能逐渐减小B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小量【解析】选B、D。当卫星的半径减小时,由v= 可知,其动能增大;由于引力做正功,故引力势能一定减小,选项A错误,B正确。气体阻力做功,使系统的机械能减小,且有 =E,由于动能增加,故引力势能的减小量大于机械能的减小量,选项C错误,D正确。GMrfFW2.(2016北京高考改编)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是()A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度【解析】选B。卫星在轨道1经过P点后做近心运动,则有 ,卫星在轨道2做匀速圆周运动,则有 ,故vP2vP1,因此卫星从轨道1变轨到轨道2,需要加速,选项A错误;不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点只受万有引力,由牛顿第二定律 =ma得a= ,故只要半径相同,加速度的大小就相同,由于卫2P12vMmGmrr2P22vMmGmrr。2MmGr2GMr星在轨道1做椭圆运动时,运动半径在变化,所以加速度在变化,故选项B正确,C错误;卫星在轨道2做匀速圆周运动,速度的大小不变,方向时刻改变,故选项D错误。3.(多选)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3,轨道1和2相切于Q点,轨道2和3相切于P点,设卫星在轨道1和轨道3正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3,在轨道2经过P点时的速度和加速度为v2和a2,且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T1、T2、T3,以下说法正确的是导学号04450095()A.v1v2v3B.v1v3v2C.a1a2a3D.T1T2a3,在轨道2经过P点时的加速度a2=a3,选项C错误。根据开普勒第三定律,卫星在轨道1、2、3上正常运行时周期T1T2T3,选项D正确。【加固训练】已知某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地运行的周期为T,卫星运动方向与地球自转方向相同,赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方,假设某时刻,该卫星在A点变轨进入椭圆轨道(如图所示),近地点B到地心距离为r2。设卫星由A到B运动的时间为t,地球自转周期为T0,不计空气阻力,则()A.T= T0B.t= C.卫星在图中椭圆轨道由A到B时,机械能增大D.卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中,机械能不变38121211rrT rr2r2r（）【解析】选A。根据题意有: ,得T= T0,所以A正确;由开普勒第三定律有得t= ,所以B错误;卫星在椭圆轨道上运行时,机械能是守恒的,所以C错误;卫星从圆轨道进入椭圆轨道过程中在A点需点火减速,卫星的机械能减小,所以D错误。000223T3T 52TT38 33121221rr r2,T2t121211rr Trr4r2r考点4双星或多星问题【典题探究】 【典例4】(2018丹东模拟)2016年2月11日,美国科学家宣布探测到引力波的存在,引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角,这是一个划时代的发现。在如图所示的双星系统中,A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动,已知恒星A的质量为太阳质量的29倍,恒星B的质量为太阳质量的36倍,两星之间的距离L=2105 m,太阳质量M=21030 kg,万有引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2。若两星在环绕过程中会辐射出引力波,该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级,则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是()A.102 HzB.104 HzC.106 HzD.108 Hz【题眼直击】(1)双星系统_提供向心力。(2)引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级。相互的引力【解析】选A。A、B的周期相同,角速度相等,靠相互的引力提供向心力,由牛顿第二定律得,对A有 对B有 又有rA+rB=L,解得则 1.6102 Hz,故选项A正确。2ABAA22m m4 rGmLT，2ABBB22m m4 rGmLT，3BABB36Lm363665LLL T 2mm36 2965Gm ，1130B35 3Gm1116.67 1036 2 10fHz 3636T22 3.14L(2 10 )6565 【通关秘籍】 1.“双星”问题:(1)特点。两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的,故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,因此它们的运行周期和角速度是相等的。两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系:r1+r2=L。(2)规律。G =m12r1G =m22r2(3)推论:由(2)中两式可得:m1r1=m2r2。122mmL122mmL2.“多星”问题:(1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动,每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其他各个行星对该行星的万有引力的合力提供。(2)每颗行星转动的方向相同,运行周期、角速度和线速度大小相等。 【考点冲关】 1. (多选)(2018西安模拟)如图,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行,若三颗星质量均为M,引力常量为G,则()A.甲星所受合外力为 B.乙星所受合外力为 C.甲星和丙星的线速度相同D.甲星和丙星的角速度相同225GM4R22GMR【解析】选A、D。由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力为F1=G ,甲、丙之间的万有引力为F2=G ,甲星所受两个引力的方向相同,故合力为F1+F2= ,A项正确;乙星所受两个引力等大、反向,合力为零,B项错误;甲、丙两星线速度方向始终不同,C项错误;由题知甲、丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,D项正确。2MMR222MMGM2R4R（ ）225GM4R2.美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星系统,命名为“开普勒-47”,该系统位于天鹅座内,距离地球大约5 000光年。这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星,运行周期为T,其中一颗大恒星的质量为M,另一颗小恒星质量只有大恒星质量的三分之一。已知引力常量为G,则下列判断正确的是()A.两颗恒星的转动半径之比为1 1B.两颗恒星的转动半径之比为1 2C.两颗恒星相距 D.两颗恒星相距 232GMT3232GMT4【解析】选C。两恒星运动的周期相同,向心力都来源于万有引力,所以M r1= r2,解得 。又r1+r2=L,G =M r1,联立得L= ,选项C正确。22()T2M 2()3T12r1r322M3L22()T232GMT33.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上,其中L远大于R。已知万有引力常量为G。忽略星体自转效应,关于四星系统,下列说法正确的是()A.四颗星圆周运动的轨道半径均为 B.四颗星圆周运动的线速度均为 C.四颗星圆周运动的周期均为 D.四颗星表面的重力加速度均为 L2Gm22L4（）32L242 Gm2mGR【解析】选C、D。如图所示,四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,轨道半径均为 取任一顶点上的星体为研究对象,它受到相邻的两个星体与对角线上的星体的万有引力的合力为 由2rL2。2222mmF2GGL( 2L)合。222v4FFmmrrT合向 ，可解得 故选项A、B错误,C正确;对于星体表面质量为m0的物体,受到的重力等于万有引力,则有m0g= 故g= 选项D正确。3Gm22Lv(1T 2L442 Gm)， ，02mmGR，2mGR，4.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为()3322nnnnA.T B.T C.T D.Tkkkk【解析】选B。设两颗星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为r1、r2,根据万有引力提供向心力得 解得m1+m2= 即T2= 因此当两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍时,两星圆周运动的周期为T= T,故选项B正确,A、C、D错误。221212112222221212m mm m44Gmr,Gmr ,TTrrrr321224rr,GT3212124rr,G mm3nk
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