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21.2| 0|0 2A 0 B C D 63336xxxabaa bab已知，且关于 的方程有实根，则 与 的夹角的取值范围是， , ， ,B22, 404|1cos|3|2 22aaa baa baa b4abbbaa2因为，则，所以 ， ，解析：所以 ， (0120 )AOCaOA OCxOA OAyOB OAOC OBxOA OByOB OB 设因解为析：，2.1120 . .OAOBCOABOCxOAyOBxyxyR 给定两个长度为 的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点 在以 为圆心的圆弧上变动若，其中 ，则的最大值是2 cos2cos(120)22coscos(120)cos3sin2sin()623yxxyxya 即所以当时，等号成立3.2345523 A.14 B. 15 C.15 D.16pqpqapqbpqab已知， 、 的夹角为，则以，为邻边的平行四边形过 、 起点的对角线长为22222 5236.|6C.361236 (2 2)12 2 23 cos459225| 15ABADACABADACAC apqbpqabpqpqpp qq 如图，设，则所以，所以，解析：故选C4.427436 .xyABACADABCDijijijij 设 、 是与 轴、 轴正方向相同的两个单位向量，则四边形的面积是(42)7,43,6cos| |ABACADABADACABCDAC ABCABACAB 因为，所以，所以四边形是平行四边形，如图：又解析302222288213422743sin1 cos13122|sin230.ABCDABCCABCABSSABACCAB ，所以，所以5.400 m20 km/ h12 km/ h .ABB 一条河宽为，一船从 出发航行垂直到达河正对岸的 处，船速为，水速为，则船到达 处所需时间为1222| 20 | 12.|201216 km/ h800m/ min380040031.5 mintvvv船、河水流速的合速度是船的实际航行速度，如图则，根据勾股定理，得所以解析：1.5min平面向量与三角函数 (cossin )(sin2 1 cos2 )(01)12( )( )ABCffabcbaab cb已知 是的最大的内角，设， 问向量 与向量 是否共线？并说例题1:明理由；定义，求的最大值 13(sin2 1 cos2 )2sin (cossin )2sin.2sinABCbabaRba向量 与向量 共线因为 是中最大的内角，所以 ，所以，因为，所以向量 与向量解析：共线 2222sin02sin( )(cossin2sin1 cos2 ) (01)2sincos2sin12sin2sinsin112(sin).480si11snin( ).4138fbf bacb因为 ，所以，所以，因为 ，所以所以，当时，取得最大值，本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角恒等变换及三角函数的相关运算向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的 交汇处命题，又加强了对双基反思小结：的考查 (cossin)(2cos2sin)(0)00.21321.2|OAOBOCddOOB OCOA OCOABSOCOCabcaba 已知向量，,，其中 为坐标原点，且若，求的值；拓展练习，：若，求的面积 2 100.12|12cos| 1cos|.2032. abaa baa baaba b由又， , ，所以由：，解析所以 121212112 | 1 | 2.,.(0)0(0)2221cos1cos2| c23|OAOBOB OCOAOCOCddOB OCOBOCOA OCOAOC ，记， 因为，所以,且 ， 由,得；由223os23cos.22612 121.2AOBS ，得所以，所以1 |2220,1()(1)2222(0)2DDCxABCDDPAPEF 以 为坐标原点，所在的直线为 轴建立如图所示的坐标系设正方形的边长为 ，则，析，解：，平面向量在几何中的应用 1.22ABCDPDBPECFPAEFPAEF如图，四边形是正方形， 是对角线上的一点，四边形是矩形证明：；例题 ： 2222222222(1)(1)2222221|1212222|12122| |.PAEFPAEFPAEFPAEF 于是，因为，所以，所以 22222() (1)(1) ()22222222(1 1)002222.PA EFPAEFPAEF 因为，所以，所以ABCD向量是解决图形问题的有力工具，而向量的坐标运算又是为图形问题转化为代数问题创造了条件，实现了形向数的转化本题中，由于四边形是正方形，因此可以用坐标法解题用平面向量证明平面几何问题时，要根据题目的条件选择用基向量法还是用反思小结：坐标法4,04,42,6ABCACOBP如右图所示，已拓知，求与的展练：交点习的坐标(44 )(44 )(44,4 )24,60,612 OPOBPAPACAPAC ：设， ，则， ，所以又，因为与析 方法解：共线，36 (44)420.4()()4,4/440.(26)(26)3,/62260.33233,3PPP xyOPxy OBOP OBxyxyCPxyCACP CAxyyx 所以，得设， ，则， ，由，即又，且，方法 ：所以代入，得，所以，所以10 N150120(3)WABACWBCWAB如图，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子上， ，求 和 处所受力的大小忽略绳子的例：重量题平面向量在物理中的应用12,121221 10 N.ABCCFWECWCFCECWfffffffffff 设 、 处所受力分别为 、的重力用 表示，则以重力作用点 为 、 的始点，作平行四边形，使为对角线，则，解析：180150301801206090 .=cos3031105 3 | |cos60105 3N5.522 NECWFCWFCECFWECECWCFCWAB 因为，所以所以平行四边形为矩形所以，所以 处受力为， 处受力为，利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学联系实际开辟了新反思小结：的途径 31212332 212(3)12OFFFOF12FFFFFF设作用于同一点 的三个力、处于平衡状态若， 和 的夹角为如图所示 求拓展练习：的大小；：的大小 1231233123122221211210|()223142 1 2os.c3 2FFFFFFFFFFFFFFFFF F因为 、三个力处于平衡状态，故，即所解，以析： 2133312312.|cos|cos|32|sin|cos(32FxOFFMOFFFFFF如图，以所在直线为 轴，合力作用点 为坐标原点，建立直角坐标系将向量 、 正交分解，且设由受力平衡知，312313|cos|cos3|sin|cos613cos22633s5.66in2FOF2FFFFF即将数值代入所以得，所以， 1221121211()/(0)(0)20(0)3cos.| |4x yx yx xy ya babRaba ba bab.向量在几何中的应用证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 共线的充要条件：，且或证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的充要条件：或求夹角问题，往往利用向量的夹角公式求线段的长度或证明线段相等，可以用向量的模，向量的线性运算2.向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景，如物理中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量力的做功是向量数量积的物理背景向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成相联系向量在解决相关物理问题中具有重要作用注意两个方面的问题，一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象21.16 | ()A8 B.4 C.2 (201 D.01)MBCABCBCABACABACAM 设点是线段的中点，点 在直线外，则.四川卷2164| 4.|2C| 2.BCBCABACABACBCABACAMAM 由，得，所解析：以而，答案：故12122.( 5 0)2,1(21)(2010)_eePOPabababeeR 在平面直角坐标系中，双曲线 的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、，分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线 上的点 ，若、，则 、 满足的一个等式是上海卷12221222,1(21)1.25211.4(22)22141.414eeyxxcabyOPabababababaabb 2ee 因为、，是渐近线的方向向量，所以双曲线的渐近线方程为又，所以，则双曲线的方程为因为，解析：答案：所以，化简得3.1()A42 B32 (2010) C42 2 D32 2OPAPBABPA PB 已知圆 的半径为 ，、为该圆的两条切线， 、 为两切点，那么的最小值为 .全国大纲卷22222222221cos2cos2tan1 sin1(1 2sin)2sin32 23.sinsinD122sinsinsin22APBAPOBPOPA PBPA 设，则，所以当且仅当，即时取等号解：.析答案：平面向量与三角函数的综合常常是高考考查的内容之一，一般以小题出现，命题背景取自数学基选题感悟：本概念
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