2015年带电粒子在复合场中运动的经典例题解析

2015 年带电粒子在复合场中运动的经典例题1、（ 15 分）如图所示，MN、PQ 是平行金属板，板长为 L,两板间距离为 d,在 PQ 板的上 方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为 m 的带负电粒子以速度 v0从MN 板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ 板左边缘飞进磁场，然后又恰好从 PQ 板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：（1）两金属板间所加电压 U 的大小；（2）匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；（3）在图中画出粒子再次进入电场的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的位置与速度方向。XKXXXXXXXXXXXXBXKXXXXXXKXXMXX:-Q=H”- P ;1dV0m,-qN：-L M2. （16 分）如图，在 xoy 平面内，MN 和 x 轴之间有平行于 y 轴的匀强电场和垂直于 xoy 平面的匀强磁场，y 轴上离坐标原点 4 L 的 A 点处有一电子枪，可以沿 +x 方向射出速度为 vo的电子（质量为 m，电量为 e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动.如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x 轴上距坐标原点 3L 的 C 点离开磁场.不计重力的影响，求：（1）磁感应强度 B 和电场强度 E 的大小和方向；（2） 如果撤去磁场，只保留电场，电子将从 D 点（图中未标出）离开电场，求 D 点的坐标；（3）电子通过 D 点时的动能。213. （12 分）如图所示，在 y0 的空间中，存在沿 y 轴正方向的匀强电场 E;在 yv0 的空间 中，存在沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小也为 E, 电子（电量为一 e,质量为 m）在 y 轴上的 P （0, d）点以沿 x 轴正方向的初速度 v0开始运动，不计电子重力，求：（1 ）电子第一次经过 x 轴的坐标值入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有(2)电子在 y 方向上运动的周期(3)电子运动的轨迹与 x 轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离(4)在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹Jjp *y匸J1E !i10F1f1FE1F1X4.(16 分)如图所示，一个质量为 m=2.0 x10-11kg，电荷量 q=+1.0 x10-5C 的带电微粒(重力 忽略不计)，从静止开始经 U=100V 电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中。金属板长 L=20cm，两板间距 d=10 3 cm。求：微粒进入偏转电场时的速度v 是多大？若微粒射出电场过程的偏转角为0=30 ，并接着进入一个方向垂直与纸面向里的匀强磁场区，则两金属板间的电压 U2是多大？若该匀强磁场的宽度为D=10 3cm,为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B 至少多大？5、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四 条狭缝 a、b、c 和 d,外筒的外半径为 r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的 均匀磁场，磁感强度的大小为 B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+ q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的 S 点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压 U 应是多少？(不计重力，整个装置在真空中)解析：如图所示，带电粒子从S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速， 沿径向穿过狭缝 a 而进入磁场区， 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝 d.只要穿过了 d，粒子就会在电 场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b,再回到 S 点。设粒子进XX XXXXxXGibXXXX * XXqUmv22设粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有2v Bqv = mR3由前面分析可知，要回到 S点， 粒子从 a到 d 必经过34圆周，所以半径 R 必定等于筒的外半径 r，即 R=r.由以上各式解得;6、核聚变反应需几百万摄氏度高温，为了把高温条件下高速运动粒子约束在小范围内（否 则不可能发生核聚变），可采用磁约束的方法如所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空 区域内的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环形磁场的内半径Ri=0. 5 m ,外半径 R2= 1m ,磁场的磁感应强度 B = 0.仃，若被约束的带电粒子的比荷q/m=4x107C/kg，中空区域内的带电粒子具有各个方向大小不同的速度，问（1）粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度.解析根据 Bqv = mv2/r 得 r=mv/Bq，由于 B、q/m 一定，所以 v 越大，r 越大，且最大半径对 应最大速度，多作几个沿环半径方向但大小不同的速度所对应的磁场中运动圆轨迹，如图（b）所示，很容易得出当圆轨迹与环形磁场外边界内切时，对应的半径是粒子射不出磁场的最大半径，对应的速度就是不能穿越磁场的最大速度，由几何知识得V1max= 1. 5X107m/s, （ 2）由（1）可知沿某一方向射不出磁场的最大速度对应的圆轨迹与磁场外边界内切，再作出粒 子斜向左上方和竖直方向射入磁场对应的和磁场外边界内切的圆轨迹.如图（C）所示，从而得出沿各个方向射不出磁场的最大速度不同，通过比较发现，粒子垂直环半径方向射入磁场时不能穿越磁场的最大速度V1max是最小的，所以若要求所有粒子均不能穿越磁场，则所有S入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有粒子的最大速度不能超过Wmax，由数学知识可得 V1max= 1.0X107m/s.7、如图所示，在直角坐标系的第n象限和第w象限中的直角二角形区域内，分布着磁感应强度均为 B = 5.0 10 T 的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为 m = 6.64X027kg、电荷量为 q =+3.2 0一19C 的a粒子(不计a粒子重力)，由静止开始经加速电压为 U并先后通过两个匀强磁场区域。(1) 请你求出a粒子在磁场中的运动半径；(2) 你在图中画出a粒子从直线 X =4 到直线 x= 4 之间的运动轨迹，并在图中标明轨 迹与直线 x= 4 交点的坐标；(3) 求出a粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。申y/m- 2 B/2 2x!- -X X B B 址 X*X*2 2- -. 丄8、真空中有一半径为 r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox 为过边界上O 点的切线，如图所示。从 O 点在纸面内向各个方向发射速率均为V。的电子，设电子重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r。已知电子的电量为 e,质量为 m。(1) 速度方向分别与 Ox 方向夹角成 60和 90。的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？(2) 所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？(3)设在某一平面内有 M、N 两点，由 M 点向平面内各个方向发射速率均为V。的电子。=1205V 的电场(图中未画出)加速后，从坐标点M (4,2)处平行于 x 轴向右运动,x/mx/m请设计一种匀强磁场分布(需作图说明)，使得由 M 点发出的所有电子都能够汇集到N 点。M2N2TJT|解析：当0=60 时，t,;当B=900,6 3v(2) 如右图所示， 因/ OO2A=0故 O2A 丄 Ox 而 O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与 Ox 轴方向平行，即所有的电子 射出圆形磁场时，速度方向沿x 轴正向。(3) 上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀 强磁场后，一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下图所示。注：四个圆的半径相同，半径r 的大小与磁感应强度的关系是 r=mvo/qB ；2下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于3只要在矩形区域 M,NIN2M2区域外的磁场均可向其余区域扩展。MN 对称且磁场方向与之相反；矩形 M,NIN2M2内除图中 4 个半圆形磁场外无其他磁场,M2N2.if. .-J /XXXA/XXX x|JXXXI K 1tXMX X hhXXXiXihXXX X :XXXf X X/J-*1*M :*处* 書*NT、f f -t%5 td十%i -* *i 1 *9V4:Fj -.nMiNid - x2y2二4 3mv；/Eq粒子经过磁场区域速度偏转角为120,这表明在磁场区域中轨迹为半此圆弧应与入射和出射方向相切。作出粒子运动轨迹如图中实线所示。轨迹11为圆心、R 为半径，且与两速度方向相切的圆弧，M、N 两点还应在所求磁场区域的边界3上。在过 M、N 两点的不同圆周中，最小的一个是以MN 为直径的圆周，所求圆形磁场区域的最小半径为(2)粒子进入电场做类平抛运动设从 b 到 c 垂直电场方向位移 X,沿电场方向位移 y,所用时间为 to则有 x =voty Jat2旦t22厂XQ又cot60解得yy =6mvo2/Eq9、如图所示，一质量为m,带电荷量为+q 的粒子以速度 vo从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点处穿过 x 轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为30 ,同时进入场强为 E、方向沿 x 轴负方向成 60角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方的试求:(1)圆形匀强磁场的最小面积。(2)c 点到 b 点的距离 s。解析:(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为 R，则有 R=mVqB30 xMN 为以 Or二丄MN二Rsin60二23mvo2qB面积为 S=二r23m2v24q2B2x =2 3mvo2/Eq10、如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，第一、第四象限是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向如 图。一个质量为 m，电荷量为+q 的带电粒子从 P 孔以初 速度 v0 沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角0=30,粒子恰好从 y 轴上的 C 孔垂直 于匀强电场射入匀强电场，经过x轴的Q点，已知OQ=OP,不计粒子的重力，求：(1)粒子从 P 运动到 C 所用的时间 t ；(2 )电场强度 E 的大小；(3)粒子到达 Q 点的动能 Ek。答案：(1 1)带电粒子在电磁场运动的轨迹如图所示，由图可知，带电粒子从C运动到Q Q 沿电场方向的位移为SE= DQ =OQ =OP =CPsi n30mvo=r :qB带电粒子从 C C 运动到Q Q 沿初速度方向的位移为sv。=CD =CO二CPcos30 h、；3r3mv0qB由类平抛运动规律1SEt22 mSvo =vot联立以上各式解得:(3(3 )由动能定理得：E12mv0= qESE2联立以上各式解得:E6mv2带电粒子在磁场中做匀速圆周CFCF 于 D,D,则由几何知识可知， A ACPOCPOAA CQCQ3 CDQCDQ 由图可知：CP=CP=2r =2叫qB属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4 个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点。x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第川象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第象限由沿X轴负方向的 匀强电场，场强大小与第川象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m，带电荷量大小11、如图所示，半径分别为 a、b 的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心0 处固定一个半径很小(可忽略)的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为 U，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场， 设有一个带负电 的粒子从金属球表面沿+ x 轴方向以很小的初速度逸出， 粒子质量为 m,电量为 q,(不计粒子重力，忽略粒子初速度)求：(1 )粒子到达小圆周上时的速度为多大？(2) 粒子以(1)中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值B。(3) 若磁感应强度取(2)中最小值，且 b =(. 2+ 1) a，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间。(设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回)解析(1)粒子在电场中加速，根据动能定律得：qU冷肿v=2qU m2(2 )粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动，qBm-r要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，如图，._b2 2则有 a2r2二b -r所以 r2b联立解得2bb2-a22mU(3)图中tanB二丄b2-a22ab则粒子在磁场中转过护 270 ,然后沿半径进入电场减速到达金因为 T 二空Bq粒子在3t=4 X-T43二b2-a2mbV2qU12、在图所示的坐标系中,xyMN为q的质点a，从y轴上y=h处的R点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过x = -2h处的p2点进入第川象限，恰好做匀速圆周运动，又经过进入第w象限，试求：(1) 质点a到达P2点时速度的大小和方向；(2) 第川象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场 的磁感应强度的大小；(3) 质点a进入第w象限且速度减为零时的位置 坐标解析、(1 1)质点在第H象限中做平抛运动，设初速度为v0，由.7 = 2 gh，其方向与x轴负向夹角v - 45(2(2)带电粒子进入第山象限做匀速圆周运动，必有mg = qE又恰能过负y轴2h处，故F2F3为圆的直径，转动半径2v又由qvB = m R-、2mg，方向与过P3点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，则:二、2g13.(2005 徐州二模)如图 13 -4 所示，在X 0的空间中，存在沿X轴方向的匀强电场，电场强度E =10N /C;在x 0的空间中，存在垂直xy平面方向的匀强磁场，磁感应强度y轴上方y _ _2h的p3点j6卜IXXi工XXXXXXXXXik丹血-2册XXXXEh =1gt22h =v0t解得平抛的初速度v0二.2gh在P2点，速度v的竖直分量vy二gt二2ghR吕=2h(3(3 )带电粒以大小为v，方向与x轴正向夹45：角进入第w象限，所受电场力与重力的合力为。2八 s，得 sggf此得出速度减为 o o 时的位置坐标是h, -h躅l：B = 0.5T。一带负电的粒子(比荷q/m=160C/kg)，在x = (06 m处的d点以v0=8m/s的初速度沿y轴正方向开始运动，不计带电粒子的重力。求(1)带电粒子开始运动后第一次通过 y 轴时距0点的距离;(2)带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场；(3)带电粒子运动的周期。vo“宀x/3兀答案：（1）m（2）s25120(2)粒子通过y轴进入磁场时在x方向上的速度vx=a11=8J3 m/ s因此tan -隹=用3二-60。粒子在第二象限以0为圆心做匀速圆周运动，圆弧所对的圆V0心角为2二-120，运动时间s。（3） （U j100 120解：(1)粒子在第一象限做类平抛运动(如图 13 -4 所示)，加速度aqE-1600m/s2,mJs，沿y方向的位移Gm。25运动时间ti二33 qB 120(3) 粒子从磁场返回电场后的运动是此前由电场进入磁场运动的逆运动，经时间t3=右，粒子的速度变为Vo，此后重复前面的运动。可见，粒子在电、磁场中的运动具有周期性，其周期T t2 t3=(3)s。100 12014、如图 13 -6 甲所示，空间存在着彼此垂直并作周期性变化的匀强电场和匀强磁场，电 场和磁场随时间变化分别如图乙、丙所示(电场方向竖直向上为正，磁场方向垂直纸面向里为正)。某时刻有一微粒从A点以初速v开始向右运动，图甲中虚线是微粒的运动轨迹(直线和半圆相切于 A、B、C、D 四点，图中V、E0和B0都未知)。(1)此微粒带正电还是带负电？可能是什么时刻从A 点开始运动的？(2) 求微粒的运动速度和 BC 之间的距离。图 13 -6答案：(1)带正电，t二0.1二(4 n- 3)s, n=1,2,3(2)2m/s,0.4m解：(1)微粒应带正电，并在t =0.1二(s)的时刻开始运动，这样，在A、B的运动阶段，只要满足qvB。二qE。mg，微粒即可做匀速直线运动，历时0.1二(s)至B。到B点,电场反向。在B C的运动阶段，要使微粒做圆周运动，必须qE0二mg，洛伦兹力qvB0提供向心力，周期T =0.2二(s)。到 C 点，电场、磁场同时反向。在C D的运动阶段，qvB二qEmg仍成立，微粒做匀速直线运动，历时0.1二(s)至 D。到 D 点，电场、磁场同时反向。在D A的运动阶段，因qE0=mg，洛伦兹力qvB提供向心力，运动0.1(s)至 A。到 A ,电场反向。此后，微粒周期性重复上述运动。因此，如果微粒在t = 0.5:(S)的时刻开始运动， 也能实现题设运动， 考虑到所有情况， 微粒从 案中所给出的通式。A点开始运动的时刻应为答(2):qvBo=qEmg,qE=mgm vT _ _ _qBo2g2二m0.2二(s) .v = 2m/sqBo二竺B C =2 r =0. 4mqBo15.( 05 年北京)如图所示，坐标系 xoy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B,在 x0 的空间里有沿 x 轴 正方向的匀强电场，场强的大小为 E, 一个带正电的 小球经过图中 x 轴上的 A 点，沿着与水平方向成9 =300角的斜向下直线做匀速运动，经过 y 轴上的 B 点进入 x0 的区域，要使小球进入 x0 区域后能在竖C直面内做匀速圆周运动，需在 x0 区域内另加一匀强电场若带电小球做圆周运动通过 x 轴上的 C 点，且 O/=OC 设重力加速度为 g,求:(1)小球运动速率的大小。(2) 在 x0 的区域所加电场大小和方向。(3)小球从 B 点运动 C 点所用时间及 OA 的长度答案：(1)油滴从 A 运动到 B 的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑兹力Sin30=作用而处于平衡状态，由题设条件知：所以油滴的运动速率为:v-（2）油滴在 x0 的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡,所以方向竖直向上（3）如右图所示，连接 BC,过 B 作 AB 的垂线交 x 轴于 O。因为/ 9 =30,所 以在 ABO 中,/AOB=60,又 OA=OC 故/ OCB9 =30,所以/CBO=3OO, OC=OB,则 O 为油滴作圆周运动的圆心。尺=竺T二2 砒设油滴作圆周运动的半径为 R,周期为 T,则 OC=OB=R 且：入由于/COB=12O，油滴从 B 运动到 C 的时间为又ZOZBO=3O所以OO= OB=IR2伽fl = -，所以16、如图 7 所示，X 轴上方有匀强磁场 B,下方有竖直向下匀强电场 E。电量为 q、质量 为 m （重力不计），粒子静止在 y 轴上。X 轴上有一点 N（L.0），要使粒子在 y 轴上由静止释 放而能到达 N点，问：（1）粒子应带何种电荷？释放点 M 应满足什么条件？粒子从 M 点运 动到 N 点经历多长的时间？【解析】：（1）粒子由静止释放一定要先受电场力作用（磁场对静止电荷没有作用力），所以 M 点要在-Y 轴上。要进入磁场必先向上运动，静上的电荷要向上运动必须受到向上的电 场力作用，而场强 E 方向是向下的，所以粒子带负电。洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。所以:13所以 OC=R+R=R-R=即 OA=3?m?TBq粒子由 M 运动到 N 在电场中的加速运动和减速运动的次数为粒子在 M 点受向上电场力，从静止出发做匀加速运动。在 仑兹力(方向沿+X轴)做匀速周围运动，经半个周期，回到 在电场力作用下做匀减速直线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动，在 点进入匀强磁场，做匀速圆运动，经半个周期回到 力作用下做匀减速运动直到速度为零。此后， 轨迹如图 8 所示。X 轴上的 Q 点,粒子重复上述运动直到0 点进入匀强磁场后，只受洛X 轴上的 P 点，进入匀强电场，X 轴上 P进入匀强电场，再在电场X 轴上的 N 点，运动(1)设释放点 M 的坐标为0在电场中由静止加速，B：(0.-y；。 )，则：qEyo= mV 彳在匀强磁场中粒子以速率 V 做匀速圆图70周运动，有：qBV=mR 设 n 为粒子做匀速圆周运动的次数(正整数)贝 V: L=n2R,所以 R=L/2n解式得：V=qBL/2 mn,所以 yo=qB2L2/8n2mE （式中n 为正整数)的时间都相等，设为 ti,则：yo= at2 11=qEt/m所以 ti=qEBLqE 8namE 2nE粒子在磁场中做匀速圆周运动的半周期为t2,共 n 次,12=nm/qB粒子从 M 点运动到 N 点共经历的时间为：t=(2n-1)t1+nt2=(2n-1)BL/2nE+nnm/qB (n=、2、3.17.(20 分)如图所示,在 xoy 坐标平面的第一象限内有一沿象限内有一垂直于平面向内的匀强磁场，现有一质量为从电场中坐标为(3L,L)的 P 点与 x 轴负方向相同的)y 轴正方向的匀强电场，在第四m 带电量为 q 的负粒子(重力不计)速度v0射入，从 O 点与 y 轴正方向成45夹角射出，求：(1) 粒子在 0 点的速度大小.(2) 匀强电场的场强 E.(3) 粒子从 P 点运动到 0 点所用的时间.0 xxxxxxx(2n-1)次，每次加速或减速XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX解:（1）粒子运动轨迹如图所示，设粒子在 P 点时速度大小为v,OQ 段为四分之一圆弧，QP 段为抛物线，根据对称性可知，粒子在 Q 点的速度大小也为v,方向与 x 轴正方向成 45.可得v二v0/cos45（2分）得，v = . 2v01212Q 到 P 过程，由动能定理得qEL mvmv0mv2qL（3）在 Q 点时,vy二v0tan450= v0由 P 到 Q 过程中，vy2L竖直方向上有：qE二ma（ 1 分）ya vQ 到 O 的时间：t21 _2Rv4v粒子从 P 到 O 点所用的时间:t=t1+t2= -丄4v水平方向有：X|=v0tj=2L（ 1 分）则 OQ=3L-2L=L（1分）得粒子在 OQ 段圆周运动的半径RL（2分）（1分）（3 分）（1 分）（2 分）（2 分）（2分）（2分）