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名校名师推荐4.6正弦定理和余弦定理取新考明考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度基础知识自主学习一回扣其础知识训练基册题目知巧榛理1.正弦定理、余弦定理在4ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为4ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)a=b=c=2R()sinAsinBsinC(2)a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22cacosB;c2=a2+b22abcosC变形(3)a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2RsinC;_a_.ob.c(4)sinA=2R,sinb=2R，sinC=2R；(5)a：b：c=sinA：sinB：sinC;(6)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAb2+c2a2cosA=2bc；cosB=c2+a2-b2a2+b2-c2c;cosC-门2ac2ab2.在4ABC中，已知a,b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形AA-AcX关系式a=bsinAbsinAabab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式1(1)S=/aha(ha表不边a上的同)，1 11(2)S=/absinC=/acsinB=/bcsinA;1（3）S=2（a+b+c）（r为二角形内切圆半径）.【概念方法微思考】1 .在ABC中，/A/B是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由/A/B可推出sinAsinB.2 .如图，在ABC中，有如下结论：bcosC+ccosB=a.试类比写出另外两个式子.20提示acosB+bcosA=c;acosC+ccosA=b.r基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确（请在括号中打或X”）（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（X）（2）当b点统典题深度剖析重点唯点奈维探究题型一利用正弦、余弦定理解三角形一一一师生共研 例1 （2018天津）在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 (1)求角B的大小；(2)设 a= 2, c=3,求 b 和 sin(2A- B)的值.+c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.（X）在ABC中，a7=.人a+b：c0.（，）sinAsinA+sinBsinC（4）在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.（V）题组二教材改编2 .在ABC中，acosA=bcosB,则这个三角形的形状为答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,一一,、-一，、TT即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=兀一2B,即A=B或A+B=；,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.3 .在ABC中，A=60,AC=4,BC=243,则ABC的面积为答案2.3解析23=4sin60sinBsinB=1,B=90,题组三易错自纠4.在 ABC 中，角 A, BC所对的边分别为a,b,c,若cbcosA,则4ABC为（）B.直角三角形A.钝角三角形D.等边三角形C.锐角三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA,1.sin(A+B)sinBcosA,.sinAcosB+cosAsinB0,1.cosB1.c20，角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.（2018包头*II拟）设4ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则C=答案解析由3sinA=5sinB及正弦定理，得3a=5b.又因为b+c=2a,所以a=gb,c=；b,所以a2+b2-c2cosC=2ab5b2+b2_7b23b+3bJ_12X5bXb23因为ce(o,%所以c=2.(_ka, b, c.已知 bsin A= acosB J.题型分类深度剖析解 （1）在4ABC中，由正弦定理sin A sin B可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB6即sinB=cos96；,所以tanB=J3.又因为BC（0,%所以B=*.3兀（2）在4ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=3,得b2=a2+c22accosB=7,故b=7.由bsinA=acosBJ；可得sinA=2167-因为ac,所以cosA=277.因止匕sin2A=2sinAcosA=473,cos2A=2cos2A-1=7.所以sin(2AB)=sin2AcosBcos2AsinB=电1_1*叁祗727214.思维升华（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.跟踪训练1在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC等于（）7 A.257B- -25C 工 D24 2525答案解析8b=5c,，由正弦定理，得 8sin B=5sin C.X/C=2B,8sinB=5sin2B,8sinB=10sinBcosB.sinBw0,1.cosB=称,cosC=cos2B=2cos2B1=25-(2)如图所示，在4ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD,2AB=JBD,BC=2BD,则sinC的值为答案解析AB=a, -. AB = AD,2AB=/3BD, BC=2BD,.AD=a, BD =翠，BC=4a.AABD,3, 32 , 4a之 2a +1-a 3中，cos/ADB =, sinZADB =2a 32ax 3 .sin/BDC苦.在.中，黑BCsin/ BDCsin C =BD sin/ BDC 近BC题型二和三角形面积有关的问题.f师生共研例2在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,b, c.已知 b + c= 2acos B.(1)证明：A=2B;2a(2)若ABC的面积S=I，求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,是sinB=sin(A-B).又A,BC(0,向，故0A-B2,、x+2亚x,解得2也2x/2b,所以bc=42,11.一2一Saabc=2bcsinA=X4*X=2.题型三正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在4ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若a=2bcosC,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案C解析方法一由余弦定理可得a=2ba，bjc,因此a2=a2+b2-c2,得b2=c2,于是b2ab=c,从而ABC为等腰三角形.方法二由正弦定理可得sinA=2sinBcosC,因此sin(B+C)=2sinBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,于是sin(B-C)=0,因此B-C=0,即B=C,故4ABC为等腰三角形.(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,sin(B+C)=sin2A,即sin(兀一A)=sin2A,sinA=sin2A.AC(0,.sinA0,.sinA=1,即A=j,.ABC为直角三角形.引申探究1.本例(2)中，若将条件变为2sinAcosB=sinC,判断ABC的形状.解.12sinAcosB=sinC=sin(A+B),l-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.sin(A-B)=0.又A,B为AABC的内角.A=B,.ABC为等腰三角形.2,本例(2)中，若将条件变为a .7Sx 7 应3 所以CD=一产二=生生. ,33+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,判断ABC的形状.解a2+b2c2=ab,1-cosC=-,2ab2._兀又0C7t,1.c=3,又由2cosAsinB=sinC得sin(BA)=0,，A=B,故4ABC为等边三角形.命题点2求解几何计算问题例4如图，在四边形ABCD中，/DAB=3,AD:AB=2:3,BD=/7,ABXBC.(1)求sinZABD的值;(2)若/BCD：?求CD的长.解(1)因为AD:AB=2:3,所以可设AD=2k,r7tAB=3k.又BD=47,ZDAB=3,所以由余弦定理，得(47)2=(3k)2+(2k)22X3kx2kcos；,解得k=1,所以AD=2,AB=3,ADsinZDAB2X2亚sin/ABD=BD=3厂7.一，,21(2)因为ABBC,所以cos/DBC=sin/ABD=7,所以sinZ DBC = 277,所以BDCDsinZ BCD sin/DBCA+B+C=兀这个结论.（2）求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.跟踪训练3（1）在ABC中，cos2B=等或（a,b,c分别为角A,B,C的对边），则ABC的22C形状为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2 B a+ c Cos2=2C?答案BEL2B1+cosB解析,cos2=2，a2c2b2.(1+cosB)c=a+c,.a=cosBc=2，2a2=a2+c2-b2,，a2+b2=c2,.ABC为直角三角形.（2）在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案（m-也V6+V2）解析如图所示，延长BA与CD相交于点巳过点C作CF/AD交AB于点F,则BFABBE.在等腰三角形CBF中，ZFCB=30,CF=BC=2,.BF=22+222X2X2cos30=乖取在等腰三角形ECB中,ZCEB=30,/ECB=75,BE2BE=CE，BC=2，sin75sin300.be=2x+血=福+小.142乖V2ab/3,C=30,则B等于（）A.30B.60C.30或60D.60M120答案D解析c=2,b=25，C=30,.由正弦定理可得bsinC2*“万镉sinB=七,由bc,可得30B180,c22B=60或B=120.3.（2018丹东模拟）在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sinA,bc=2,则ABC的面积为（）1 1A,B.4C.1D.2答案A12.解析由cos2A=sinA,得12sin2A=sinA,解得sinA=；（负值舍去）,由bc=2,可得ABC的面积S=1bcsinA=1x2X1=2224.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量 m= a,cos A ；n =B b, cos -,p=ijc,cosC共线，则4ABC的形状为（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案A解析-向量m=a,cos2j,n=,cos2四线，acos旦=bcosA22.由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA.AA旦B旦A2sin2cos2cos2=2sin2cos2cos2则sinA=sinB.ATtBTt0,0,2222ABF2=2,即A=B.同理可得B=C.ABC的形状为等边三角形.故选A.2,2a, b, c,右 cos C=7-, bcos A35.（2018本溪质检）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为+acosB=2,则ABC的外接圆面积为（）A.47tB.8ttC.9兀口.36兀答案解析c= bcos A+ acos B= 2,由 cos C = 23-2,得 sin C = -3,、 一c再由正弦定理可得2R=寂=6,R=3,所以4ABC的外接圆面积为 卡2=9兀，故选C.6.在ABC中，角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,sin A, sin B, sin C成等比数列,且c=2a,贝U cos B的值为（）1A.4B.3答案解析所以因为sin A, sin B, sin C成等比数列, sin2B = sin Asin C,由正弦定理得b2 = ac又 c=2a,故 cos B =a2+c2b2 a2+4a2 2a22ac4a34.a,b,c.若(a2+c2b2)tanB=V3解析由余弦定理，得a2+c2-b2只=cosB2ac结合已知等式得cosBtanB=号,c3-sinB=又0Bti,.b=9；2rr.331冗8.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,仁若a=衣，sinB=,C=,则b=答案11解析因为sinB=且B（0,兀）所以B=*B=66又C=-5B+C/3+1解析=2,B=-,C=-由正弦定理sin B sin C得C=一八 2X bsin Csin B衣=272,_7tTCOS47t7t 7t3+cos -sin -11贝U SaABC = bcsin A=X2X 2/ X 加;也=V3+ 1.10.如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADXAC,sin/BAC=*，AB=3/2,AD=o3,则BD的长为答案小解析因为sin/BAC=232,且ADXAC,所以sin+ZBAD卜零所以cosZBAD=232,在ABAD中，由余弦定理，得BD=AB+AD+ 32-2X 3皿* 3*辛=艰.11. (2018通辽模拟)设 ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, a= btan A.(1)证明:sin B = cos A;2ABADcosBBADsinA=sinBsinAcosA又.力6(0,兀)sinA0,.1=sinB,即sinb=cosA.cosA(2)解由sinCsinAcosB=sin(A+B)sinAcosB=4,1-cosAsinB=4.由(1)知，sinB=cosA,cos2A=(2)右 sin C - sin Acos B= 且 B 为钝角，求 A, B, C.(1)证明由正弦定理知 焉=磊=氤=限1. a= 2Rsin A, b=2Rsin B,代入 a= btan A得，由于B是钝角，4故AC3，2,cosA=，A=WsinB=3，B=23r，C=l(A+B)=6,.、，112. (2018北乐)在ABC中，a=7,b=8,cosB=-7.(1)求/A;(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cosB=7,所以sinB=凡1-cos2B=邛3.由正弦定理得sin人=空/=溟b2,-一、一,TTTT由题设知2/Btt,所以0/A2ab,当且仅当a=b时取等号，所以2absin2+6户2ab,sinc+6产1,故只能a=b且C+j=:,所以ABC为正三角形.14. （2018包头*II拟）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinB=，3bcosA.若a=4,则ABC周长的最大值为.答案12解析由正弦定理asin Absin B可将asinB=J3bcosA转化为sinAsinB=3sinBcosA.又在ABC中，sinB0,.sinA=J3cosA,即tanA=V3.0A(b+c)2-3-2，则(b+c)2w64,即b+cW8(当且仅当b=c=4时等号成立),.ABC的周长l=a+b+c=4+b+cw12,即最大值为12.“拓展冲刺练a15.在ABC中，C=6。，且痛=2,则ABC面积S的取大值为答案3.34解析由C=60。及一J=J=2,可得c=娟.sinCsinA,由余弦定理得3=b2+a2abab(当且仅当a=b时取等号),1 1333S=2absinCwqX3x2=4,.ABC的面积S的最大值为挛.416.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2(bc)2=(2J3)bc,且sinB=1+cosC,BC边上的中线AM的长为小.(1)求角A和角B的大小；(2)求4ABC的面积.解(1)由a2-(b-c)2=(2-V3)bc,得a2b2c2=/bc,即b2+c2-a2=3bc,b2+c2-a2cosA=2bc一_一兀又0ATt,-A=6,又sinB=1+cosC,0sinB1,cosC0,即C为钝角，B为锐角，且B+C=57,则sin氏一C(=1+cosC,化简得cosC+3p-1，解得C=,回言.31(2)由(1)知，a=b,sinC=,cosC=-2,在ACM中，由余弦定理得AM2=b2+|2-2b2cosC22=b2+（审,解得b=2,故$abc=gabsinC=2*2X2X乎=/11AB=2,.SAABC=2X2X2思维升华(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用7.（2018通辽模拟）在4ABC中，角A,B,C的对边分别为ac,则角B的值为答案料2
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