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名校名师推荐188.2空间几何体的表面积与体积取新考明考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.主要考查涉及空间几何体的表面枳与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.基础知识自主学习一回扣其础知识训练基址题目一r知识梳理1 .多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式侧面展开图圆柱2 二 ” ”三r 1圆锥圆台侧面积S圆柱侧=2 1 公式S圆台侧=S圆锥侧=1M.+r2）13 .柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2s底V=_sh锥体（棱锥和圆锥）s表面积=s侧+s底V=%-3台体（棱台和圆台）s表面积=s侧+S上十s下v=g（s上+s下+Mss）h球S=4tR2【概念方法微思考】1 .如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2 .如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(V)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(V)(3)锥体的体积等于底面积与高之积.(X)31(4)已知球。的半径为R,其内接正万体的边长为a,则R=2a.(，)(5)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2tS.(X)题组二教材改编2 .已知圆锥的表面积等于12Ttcm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()3A.1cmB.2cmC.3cmD.2cm答案B解析S表=2+亦1=M+r2r=3/R2-r2=16-12=2.所以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥DABC体积的最大值为1X9/3X6=1873.3则这个棱锥的外接球的表面积（2）（2019长春东北师大附中模拟）一个棱锥的三视图如图所示,为（）A.34%B.25%C.41兀D.50兀答案A宽、高分别是4,3,3的长方体所解析根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线142+32+32V342就是其外接球的直径，所以有R=42=t4,从而求得其表面积为S=4充=34兀,故选A.课时作业“基础保分练B.16 + 4-J3D.48 + 4v3A.16+8,30.48+8,3答案0解析根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示,结合图中数据，计算它的表面积是S=2x1X2镉X4+3X4X4=48+8v3.2 .（2018鞍山质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）左视图B.2tt+ 8D.3 兀+ 4+4.2A.3tt+8C.2什4+472答案D解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1,右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2,组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为X4itX12+uX12+（272+2）X2=371+4+4小,故选D.3 .（2018锦州*II拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）蝌现图A.18B.24C.32D.36答案B解析由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图,三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为1x3X4X5-IxX3X4X3=30-6=24.2324 .算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=l2h,它实际36上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取3,那么，近似公式V怒l2h相当于将圆锥体积公942式中的兀近似取（22A. 725 B.?157355D.而答案解析V=32h = - ttX3 2h2兀仁12,125 /口 157 拓八八府lh,由石;T94?信广而,故选C.5 .（2018营口*II拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A与B.20C.16D.2033992的正方形为底面，高为 2答案B解析由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为的四棱锥，其体积为V1=：X2X2X2=8；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高33为2,其体积为V2=：X2X2X2=4,所以该几何体的体积为V=V1+V2=+4=g，故选B.2336 .如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r,则R=.必答案233解析由水面高度升高r,得圆柱体积增加了2求，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因3炉4- 3有匕止233=R-r故2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的7 .一个六棱锥白体积为2由，其底面是边长为侧面积为.答案121解析设六棱锥的高为h,则V=：Sh,3所以呼X4X6h=2V3,解得h=1.34设六棱锥的斜高为h,则h2+雨2=h，2,故h，=2.所以该六棱锥的侧面积为卜2X2X6=12.左视憎8 .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为答案2f解析由三视图可知，该几何体是一个组合体,它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为x兀x12x2=r；3球半径为1,体积为4x3.x13=；,所以，该几何体的体积为尹;二,9.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为巨T 左视图解析 如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1,四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2,下底为1,高为呼,所以该组合体的体积丫=1*2*（2+1）*乎x1+4*410.（2017全国n）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为答案14兀解析二.长方体的顶点都在球。的球面上,长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R,则2R=31“ c、 c c c=-X-X (1+ 2)X 6X 8=24, 2则几何体的体积为V= V1+V2= 72 + 24= 96.方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使AA111=2V 三棱柱=2 X SaabcX AA = 2* 24X 8= 96.+22+12=/4.球O的表面积为S=4兀R2=4兀*=14兀.11.（2019呼伦贝尔模拟）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为幡觇图答案解析由三视图可得该几何体由左、右两部分组成,左边为圆锥,右边为三棱锥.该几何体的体积V=1X1X612X1+1X1X1X2X1=-7+1.4332123ABC,且 AE / FC / BD, BD =12.如图，在ABC中，AB=8,BC=10,AC=6,DB，平面3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解 方法一 如图，取 CM=AN=BD,连接DM, MN, DN ,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则V几何体=V三棱柱+V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V1=1x8X6X3=72.四棱锥DMNEF的体积为1、，=BB = CC =8,所以V几何体V2=QXS梯形MNEFXDN3力技能提升练13 .某几何体的三视图如图所示，依次为主视图、左视图和俯视图，则这个几何体的体积为()主现图 左觇图俯觇图A.6 7t+ 4 B.8 tt+ 8 C.6 tt+ 23334D.8ti+-3答案 B解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的组合体,该组合体由一个三棱锥与四分之三球体组成,2,所以可得该几何体的其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一侧面与底面垂直，球半径为体积为V=3X45X23+1X1X4X2X2=8tt+8,故选B.43323其中俯视图是等腰直角三角形，则该14 .(2019湛江*II拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,三棱锥的外接球体积为-Zfl 主视图左视图俯视图答案4,3兀解析如图所示，在长、宽、高分别为2，册,2的长方体中,点E,F分别为对应棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥E-ABF,将三棱锥补形为三棱柱ABFA1B1E,则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取AB,A1B1的中点G,H,易知外接球的球心为GH的中点，据此可得外接球半径R=叱平2+12=8外接球的体积V=（tR3=4371.3V拓展冲刺练1,则该几何体的外接球的15 .某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为体积是（）-r-f-4*4 = 一俯视图J-J_ A_LI5.11010005000.10A.3B.112兀C.-9-兀D.81兀答案D解析该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC,三棱锥的高PD=6,且侧面PACL底面ABC, ACXBC,PA=PC=、42+62=V52,AC=8,BC=6,AB=82+62=10,.ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E,设该几何体的外接球的球心为O,OE，底面ABC,设OE=x,外接球的半径为R,则x2+邛2=32+(6-x)2,解得x=1.23，心胃+52二等，外接球的体积V=45XR3=5嗤叵兀.16 .如图，ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC，平面ABC,AB=4,EB=23.D(1)求证：DEL平面ACD;(2)设AC=x,V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.证明二.四边形DCBE为平行四边形，CD/BE,BC/DE.DC，平面ABC,BC?平面ABC,DCXBC.AB是圆O的直径，.1.BCXAC,且DCAAC=C,DC,AC?平面ADC,，BC，平面ADC.DE/BC,，DE，平面ADC.(2)解DC,平面ABC,DC/BE,BE,平面ABC.在RtABE中，AB=4,EB=2/.在RtABC中，AC=x,BC=,16x2(0x4),1Saabc=1ACBC=x416x2,-V(x)=V三棱锥EABC=3x416-x2(0x4).22x2(16-x2)!x一22=64,当且仅当x2=16x2,即x=22时取等号，当x=26时,体积有最大值8t3.
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