高中数学基础复习 第六章 不等式 第3课时 算术平均数与几何平均数

要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析第3课时 算术平均数与几何平均数1.复习并掌握复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数平均数”的定理的定理.了解它的变式：了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)；(3) (ab0)； (4) (a，bR).以上各式当且仅当以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取时取等号，并注意各式中字母的取值要求值要求. abba22baab22222baba2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则，则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.2222babaabbaab2返回返回3.在使用在使用“和为常数，积有最大值和为常数，积有最大值”和和“积为常数，和有积为常数，和有最小值最小值”这两个结论时，应把握三点：这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三一正、二定、三相等、四最值相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件. 4.已知两个正数已知两个正数x，y，求，求x+y与积与积xy的最值的最值. (1)xy为定值为定值p，那么当，那么当xy时，时，x+y有最小值有最小值 ； (2)x+y为定值为定值s，那么当，那么当xy时，积时，积xy有最大值有最大值 . p2241s1.“a0且且b0”是是“ ”成立的成立的( ) (A)充分而非必要条件充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件必要而非充分条件 (C)充要条件充要条件 (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 2.甲、乙两车从甲、乙两车从A地沿同一路线到达地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的地，甲车一半时间的速度为速度为a，另一半时间的速度为，另一半时间的速度为b；乙车用速度；乙车用速度a行走了一半行走了一半路程，用速度路程，用速度b行走了另一半路程，若行走了另一半路程，若ab，则两车到达，则两车到达B地地的情况是的情况是( ) (A)甲车先到达甲车先到达B地地 (B)乙车先到达乙车先到达B地地 (C)同时到达同时到达 (D)不能判定不能判定 abba2课课 前前 热热 身身AA4.已知已知lgx+lgy1， 的最小值是的最小值是_. yx253下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的是的是( )(A)(B)(C)(D)xxxy0sin4sin-xxeey 4103loglog3xxyxxxy4C2返回返回5.某公司租地建仓库，每月土地占用费某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成与到车站的距离成正比，如果在距离车站正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用公里处建仓库，这两项费用y1和和y2分别为分别为2万元和万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站仓库应建在离车站( ) (A)5公里公里 (B)4公里公里 (C)3公里公里 (D)2公里公里 C【解题回顾解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立不全相等，则等号不成立. 1.设设a，b，c都是正数，求证：都是正数，求证：baaccbcba1112121212.(1)若正数若正数x、y满足满足x+2y1.求求 的最小值；的最小值； (2)若若x、yR+，且，且2x+8y-xy0.求求x+y的最小值的最小值. yx11【解题回顾解题回顾】第第(1)题常有以下错误解法：题常有以下错误解法： 错误的原因在两次运用错误的原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须第一次须x2y，第二，第二次须次须xy). 求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法. 241211221xyyxxy，xyyx22213.已知正数已知正数a、b满足满足a+b1. (1)求求ab的取值范围；的取值范围；(2)求求 的最小值的最小值. abab1【解题回顾解题回顾】函数函数f(x)x+a/x(a0)是一个重要的函数，应是一个重要的函数，应了解它的变化了解它的变化.f(x)x+a/x(a0)在在(0，a上是减函数，在上是减函数，在a，+)上是增函数上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义在研究此函数的过程中，应先确定它的定义域，若域，若xa/x成立，则可由极值定理求极值；若成立，则可由极值定理求极值；若xa/x不成不成立，则应在定义域内研究立，则应在定义域内研究f(x)的单调性的单调性. 【解题回顾解题回顾】用不等式解决有关实际用不等式解决有关实际应用问题，一般先要将实际问题数学应用问题，一般先要将实际问题数学化，建立所求问题的代数式，然后再化，建立所求问题的代数式，然后再据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值值. . 返回返回4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米米的无盖长方形沉淀箱，污水从的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从孔流入，经沉淀后从B孔流孔流出，设箱体的长度为出，设箱体的长度为a米，高度为米，高度为b米，已知流出的水中该米，已知流出的水中该杂质的质量分数与杂质的质量分数与a，b的乘积的乘积ab成反比成反比.现有制箱材料现有制箱材料60平平方米，问当方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计孔的面积忽略不计). 【解题回顾解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即本题应用了命题的等价转化思想，即“如果如果A是是B成立的充要条件，那么成立的充要条件，那么B也是也是A成立的充要条件成立的充要条件”. 返回返回5.设设a、b为正数，求证：不等式为正数，求证：不等式a+1b 成立的充要条成立的充要条件是：对于任意实数件是：对于任意实数x1，有，有ax+x/(x-1)b. (2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错. (1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错易错. 返回返回