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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）预测（上海卷）一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1、全集，集合，则 解析：， 2、设，如果是的充分非必要条件，则的范围是 解析：由得，又和也满足，3、函数（且）的图象经过点，其反函数的图象经过点，则_解析：由，得4、已知，则_解析：5、已知圆锥的母线长为，轴截面（过轴的截面）为直角三角形，则圆锥的全面积为_解析：轴截面为直角三角形，母线长为，圆锥的高为，底面半径为，从而全面积为6、函数，如果，则_解析：令，此函数为奇函数，由得，从而7、设是等差数列的前项和若，则_解析：由得，从而8、关于的不等式恒成立，则实数的范围是 解析：，9、若，则_解析：，10、函数，不等式的解集为，当时，则、这四个值中最大的一个是 解析：由已知得函数是开口向上的抛物线，且对称轴为，此函数在上单调递增，而，最大。11、若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、是坐标原点，则 解析：的周期为6，作出上的函数图像，得到，点、是关于点A对称，所以12、,若,则 解析：显然，令得，所以，13、若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 解析：函数在上的值域为，故，即14、如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是 解析：设右焦点为，则,所以=6a=48二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15在空间中，下列命题正确的是 答 ( ) A若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么ab B空间不同的三点确定一个平面C如果直线l/平面且/平面，那么D若直线与平面没有公共点，则直线/平面 解析：考查直线，平面的位置关系，选D16设实数均不为0，则“成立”是“关于的不等式与 的解集相同”的 答 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析：考查方程组的解集问题，选B17若复数同时满足，则 (是虚数单位，是的共轭复数) 答 ( )A B C D 解析：考查复数的共轭复数的概念，选D18已知数列共有5项，满足，且对任意，有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：(1)；(2)；(3)数列是等差数列；(4)集合中共有9个元素则其中真命题的序号是 答( )(1)、(2)、(3)、(4)(1)、(4)(2)、(3)(1)、(3)、(4)解析：考查数列的通项公式，选C三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分在长方体中，过、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体(1) 若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)求点D到平面的距离解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系由题知，可得点、 由是中点，可得. 于是， 设异面直线与所成的角为，则 因此，异面直线与所成的角为 (2)设是平面的法向量 又， 取，可得即平面的一个法向量是 20(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分已知函数，函数与函数的图像关于原点对称(1)求的解析式；(2)求函数在上的单调递增区间解析：(1)设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的 图像上， 于是有 所以， (2)由(1)可知，记 由，解得， 则函数在形如的区间上单调递增. 结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数只能是0和1 令得；时，得. 所以， 于是，函数在上的单调递增区间是和 21(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上设cm，矩形的面积为 (1)试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式， 并写出定义域；(2)试问如何截取(即取何值时)，可使得到的矩形的面积最大？ 解析：(1)依据题意并结合图形，可知： 当点在线段上，即时，； 当点在线段上，即时，由，得 于是， 所以， 定义域 (2)由(1)知，当时，； 当时， ，当且仅当时，等号成立 因此，的最大值为 答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为 22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分已知数列满足，对任意都有(1)求数列()的递推公式；(2)数列满足()，求通项公式；(3)设，问是否存在实数使得数列()是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由解析：(1) 对任意都有成立， 令，得 数列()的递推公式是 (2)由(1)可知，数列()是首项和公比都为的等比数列，于是由()，得()故 当时， 所以 (3) ， 当时， ， 依据题意，有，即 当为大于或等于4的偶数时，有 恒成立，又 随增大而增大，则，故的取值范围为； 当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为； 当时，由，得 综上可得，所求的取值范围是 23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的轨迹方程；(2)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围； (3)已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程解析：(1)依据题意，动点满足. 又，因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且 所以，所求曲线的轨迹方程是 (2) 设是曲线上任一点依据题意，可得是直径，又， 由，可得，即 的取值范围是 (另解：结合椭圆和圆的位置关系，有(当且仅当共线时，等号成立)，于是有) (3)证明因是曲线上满足的两个动点，由曲线关于原点对称，可知直线也关于原点对称若直线与定圆相切，则定圆的圆心必在原点因此，只要证明原点到直线的距离()是定值即可 设，点，则 利用面积相等，有，于是 又两点在曲线上，故 可得 因此， 所以，即为定值 所以，直线总与定圆相切，且定圆的方程为：
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