椭圆的定义及其标准方程教学设计

课题：椭圆的定义及其标准方程鹿城中学田光海一、教案背景：1 .面向对象：高中二年级学生2 .学科：数学3 .课时：2课时4 .教学内容：高中新课程标准教科书数学北师大版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程椭圆及其标准方程二.教材分析本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方 程，对曲线和方程的概念有了一些了解， 对用坐标法研究几何问题有 了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可 以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课 有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。1 .教法分析结合生活经验观察发现、启发引导、 探究合作。在学生的生活体 验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生 数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件，精心构建学生自主 探究的教学平台，启发引导学生观察，想象，思考，实践，从而发现规 律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得 知识，体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。2 .学法分析从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例， 对曲线 和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认 识。从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一 定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具 备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例， 但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述如何“定性” “定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和 完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生 学好本节课的情感基础。3 .教学目标知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程， 掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方 程。过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提 高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的 推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法一一坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神4 .教学重点与难点 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法5 .教学准备通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学 资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。三、教学过程教 学 环 节教师活动学生活动设计意图创 设 情 景 引 入 新 课情景1:用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在 水平桌面上，截面为圆形.当端起水杯喝水时， 水杯倾斜，再观察水平面，止匕时截面为椭圆 形.(演示)问题1:联想生活中还有哪些是椭圆图形 2:/，问题2: (1严圆是怎么画出来的(2)圆的定咎是什么 4(3)圆的标准方气是仲么形式的学生观察 学生举例 学生思考 后回答。引入生活 ，卜青境激发 学生的学习欲望，自 然引入新 课，同时与 其实际相 联系，拓宽 学生思维，猜想：1、椭圆是怎么画出来的2、椭圆的定义发展他们联想、类比能力。使学生在 感叹祖国 科技辉煌 发展的氛 围中认识 椭圆。用类比的 思想，通过 已经学过 的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学互 动 探 究 形 成探究1将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉, 一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题:思考1:在纸板上作图说明什么同桌同学给学生提按照老师供一个动 的要求合手操作，合作画图，并作学习的思考轨迹上的点具机会；通过实验让学是什么3、椭圆的标准方程又是什么形式概思考2:在作图过程中，有哪些物体的位备什么特生去探究念置没变有哪些量没有变点。“满足什思考3:若调节两图钉的相对位置，所得展示学生么样的条到的图形有何变化成果。请学件下的点根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义一一与两个生代表本的集合为定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为小组交流椭圆”；让椭圆（绳长大于两定点间距离）.动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想探究结论：每个人都 动手画图， 自己思考 问题，由此 培养学生 的自信心。探究2利用动使学生经互在名苣长不变的情况F,改变两个图钉之间画显示结历椭圆概动的品目离，画出的椭圆有何变化果念的生成探当两个图钉重合在一起时，回出的图形是学生通过和完善过究什么课件观察程，提高其深当两个图钉之间的距离等于绳长时，回出变化情况归纳概括化的图形是什么请学生给能力，加深概当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个出经过修对椭圆本念图钉之间的品目离吗改的椭圆质的认识，定义：平面内与两个定点 乱为距离的和等于常定义并逐渐养教师指出：这学生思考后回答成严谨的科学作风M,有什）的点的轨迹叫椭圆。的距离嗔椭圆酎焦距思考1：焦?自占两隹占a）、）八、八、么性质 令椭圆上任一点M则有小：W 二 1一 二）补充：若2口二勿时，轨迹是线段芭玛；若2”加时，无轨迹。思考2:刚才在画图时，大家的绳长是一样的， 但是画出的椭圆一样吗椭圆的圆扁程度与什 么有关Fi、F2位置越近椭圆愈圆，Fi、F2位置越远椭圆越扁研前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭学生回答讨圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。学生先独探问题3:求曲线方程的一般步骤是什么立思考，之究建系、取点；列式；代换；化简；后全班交推证明流，确定最导下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆后的解决方方程的求法。（1）要建立椭圆方程应该如何方案，然后程建立坐标系分工合作，充分发挥 学生的学 习主动性。 通过坐标 系的不同选择，用不 同的方法 得到不同共同完成, 之后再交 流。学生思考 后主动发 言回答。以上三条, 尽量由学 生总结出的方程，通 过比较体 会曲线的 方程的不 确定性，理 解曲线与 方程的关 系，感受恰 当选择坐 标系的优 越性，感受 标准方程 的简洁、对 称、和谐之 美，并在实 践中通过 对比提高 决策能力、 计算能力、 培养学生 简约的思 维能力。(2)椭圆上动点M满足什么条件尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会 感到困难，教师进行提示。(把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物展台上投影。)问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方程，你能发现什么规律哪一种方程最简洁 22方程今与1 (a b 0) ()叫做椭圆的标 a b准方程。它表示焦点在x轴上，焦点坐标为Fi( c,0) , F2(c,0),其中 c2 a2 b2 .22二x2 1 (a b 0),它也是椭圆的标准 a b方程。此时，椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为Fi(0,c) F2(0, c),其中c2 a2 b2我们可以发现，以上两种方案是最好的。问：观察一下焦点分别在X轴、y轴上的椭圆的标准方程，如何根据方程判断其焦点在 X轴 上还是在y轴上(看分母大小，哪个分母大焦 点就在哪一条轴上)说明：(1)在两个方程中，总有ab0(2)椭圆的三个参数a、b、c满足：c2 a2 b2即a2 b2 c2, a 最大(3)要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母22的大小。例如椭圆i(m 0,n 0,m n)m n培养学生 的观察、分 析归纳能 力。当m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m 表示焦点在y轴上的椭圆。例1.适畲下列条产像%圆0)标准方程,22b a0)(1)a=4 , b=1,焦点在x轴(2)(2 2)2，G 2)2例 题 研 讨 变 式 精 析(3)两个焦点的坐标是(0,-2)和(0, 2)并且经过点(，)解：(1)因为焦点在x轴上，所以设所求方程为 22/ a=2xjb=y- 1,(a b 0) a b所求方程为2x，(2)因为焦点在y需上,y所似设所求方程为. a=4,b=1 22嗣吟程为(a b 0)(3)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准2、.2 y ,万程为x 161由椭圆的定义知，学生独立完成学生讨论培养学生 运用知识 解决问题 能力解决情景 设置中的 问题所以所求椭圆方程为例2.我国发射的神舟八号飞船变轨前，是在以 地心桎为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它 的近地点B距地面200公里，远地点A距地面 330公里，并且F2、A B在同一直线上，地球 半径约为6371km求轨道方程(精确到1knj)。练 习 检 测 当 堂 巩 固221、如果椭圆X-21上一点P到焦点Fl距 10036离是6,则点P到另一个焦点F2距离是。2、求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0, 2) , (0, -2),椭圆经过点R 3,5) 2 2(2)a+b=10,c= 2 回学生练习检测学习成果总结概括课后提升最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个 别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完 善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律 以及所学的数学思想和方法。这一节课你收获到了什么布置作业层次11 .教材练习题练习B第二题2 .你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点学生总结 出在知识、数学 思想等方 面的收获摆脱传统 教学中教 师小结的 做法，以 表格形式 出现，让 学生自己 总结，加 深对本节吗作图的依据是什么根据你的作图方法，能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗层次2课后利用深入的对椭圆的相关知识进行了解。课内容的 认识 层次1的 目的是强 化巩固本 节内容 层次2的 目的是激 发学生学 习的兴 趣，提身 数学文化 品位。六、板书设计1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程(1)、焦点在x轴上(2)、焦点在y轴上椭圆标准方程的推导过程 书写例1:例2:(1)详写(2)写关键步骤七、教学反思本节课整个教学过程为：提出问题一一探索一一解决问题 归纳反思一一提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知 识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更 使难点的突破水到渠成。本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问 题情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体 验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身经历知识的 产生过程。使学生在知识的形成过程中，获得数学的情感体验，享 受到成功的乐趣，同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高 和发展。课堂进行中通过实际操作、多媒体课件演示等，激发学生 的学习兴趣，使学生让学生在生生互动、师生互动中把学生的学习 过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过 程，希望对学生的思维品质的培养、数学思想的建立、心理品质的 优化起到良好的作用。本节课学生活动较多，知识拓展较深，运算较困难，因此本节 课不能按预计完成，剩余问题下节课解决。