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万有引力定律与天体运动两体问题 仅有两个质点组成的孤立系统,两个质点的质量为m1、m1,相互作用力大小为f,从m1至m2的矢径为 .R对m2,由牛顿第二定律有2222d rfmdt()将(1)代入(2):212212.m md Rfmmdt121212()m mmmmm令称为与的折合质量,则有223d Rfdt() (3)式表明,若取m1为参照系(一般不是惯性系,在此系中牛顿第二定律不成立),则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力 的作用下按牛顿第二定律所形成的运动,而无须考虑惯性力的作用.f取二者的质心C为参照系(惯性系). 设C到m1的矢径为 . rr1121mrRmm()有Cr1m2mRff“卫星怪象”问题 卫星(质量为m)与地球(质量为M) 系统的总能量为.2MmEGr 21().22MmMmmvGGrr 即于是可知2122MmmvGr1.2KPEEE 对两端的变化量有即1.2KPEEE ( G).2Mmr ()KE()E1()2PE一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化(1)天体通常相距很远,故可将天体处理为质点.(2)很多时候,某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的:a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因(如质量相对很大)在某惯性系中可认为几乎不动,这时问题很简单(我们通常讨论的就是这种情况).二、引力问题的基本动力学方程如图,行星m在太阳M的有心引力作用下运动.vr太阳mMrvrv行星的横向加速度 等于零.(=)rrdvardt有径向动力学方程22()rrdvMmmamrGdtr 解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中,由牛顿运动定律和引力定律vr太阳mMrvrv211sin22rvr常量此式变化后即得开普勒第二定律:表明:开普勒第二定律是角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动. 又因万有引力为保守力,故“太阳+行星”系统的机械能守恒221()2MmmvGr 常量当然,此方程也不限于行星做椭圆轨道运动! 因为引力为有心力,故行星对太阳参考轴角动量守恒2sinrrmvrmvr m常量三、天体绕日运动的轨道与能量0rrvMm 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律(角动量守恒、机械能守恒等)可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程:2222232.,1.1cospLELrpeeGMmG M m(其中, )轨道方程为一圆锥曲线方程: (1)01Ee时,为椭圆, (即开普勒第一定律); 2GMmEa 总能量为:(2)01Ee时,为双曲线的一支,总能量为:GMmEaOxy( ,0)F cMmabroabcmMrxy焦点M位于其中一个内焦点M位于01Ee时,为抛物线,(3)总能量为:0E FMmxyOM位于焦点.cea2(1)pae 例1(天体轨道的判定) 如图,太阳系中星体A做半径为R1的圆运动,星体B作抛物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1,且两轨道在同一平面上,两星体运动方向也相同. 设B运动到近日点时,A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆. 解计算新星体C的机械能.在径向: 可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为123ABABm Rm RRmm在切向:A、B合并过程中动量也守恒,()ABCAABBmmvm vm v则有研究式中的vA、vB:1.AGMvR故因A作圆运动,CABM日() 1R2R例题解答例题解答CvAvBv3R.CR3设 距日,三星速度如图12ABABmmRmm所以22BGMvR利用,C星体的机械能为111()()22ABABABABGMM mmmmGmmRRmm因此,新星体C的轨道为椭圆.EAm),距离为d,在引力作用下绕不动的质心作圆周运动. 设这两颗星近似为质点. 在超新星爆炸中,质量为M的星体损失质量M. 假设爆炸是瞬时的、球对称的,并且对残余体不施加任何作用力(或作用力抵消),对另一颗星也无直接作用. 试求,在什么条件下,余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离.解需计算爆炸后的总机械能. 如图,爆炸前两星绕质心旋转. 22212.VvMmMmGrrd旋转的角速度 满足由以上诸式得到.()()GGVmvMd Mmd Mm,爆炸后的瞬间,因球对称爆炸所以(M-M)位置、速度均不变.无作用,故m的位置、速度也不变.因爆炸对星体m也CMmr12rVv12rrd12,.mMrdrdMmMm旋转半径满足新系统的质心C还在两星连线上的原处吗?新系统的质心C还会静止吗?Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv新系统的势能为()PMM mEGd 新系统在新质心参照系中的动能为2211()()()22KCCEMM Vvm vv 由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为()().()()CmvMM VmvMVMVvMMmMMm注意到式中的()0.mvMV.()CMVvMMm所以进而得到系统在新质心系中的动能为221()()2()1()2()KMVEMMvMMmMVm VMMm 新系统仍被约束的条件是0.PKEEPKEE将、的表达式代入,整理得1().2MMmCr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv()PMM mEGd ()GVmd Mm,.()GvMd Mm另解 用二体问题折合质量法爆炸前:两星折合质量().()MM mMMm.MmMm两星折合质量等效的运动如图(a).22vMmGdd旋转的速度v 满足得到()G Mmvd爆炸后:等效的运动如图(b).新系统的势能().PMM mEGd 新系统的动能212KEv代入系统约束的条件0.PKEE解得1().2MMm(b)()MMvdMvd(a)()().()MM mG MmMMmd12()()()()MM mG MmMMmd212
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