从平面向量到空间向量

从平面向量到空间向量2空间向量的运算(学案二)学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.自主整理1. 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于，记作a b,即 a b=.2. 空间向量的数量积的运算律 .(1)交换律：；(2)分配律：；(3) (入 R).3. (1) |a|=；(2 )a 丄 b；(3 )cos a,b=(a 丰 0,b )_04. 对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a的单位向量，记作与a同方向.例题讲解a,点E,F,G分别是D【例1】如图，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于AB,AD,DC的中点.求下列向量的数量积：(1) AB AC ;(2) AD BD;(3)GF BD ;(4) EF BC .变式训练1已知在空间四边形 OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:0A丄BC.【例2】如图所示，在空间四边形 OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, / OAC=45，/OAB=60 求OA与BC夹角的余弦值变式训练2如图，已知 ABC是正三角形,PA丄平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小2【例3】如图，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点.(1)求证:MN为AB和CD的公垂线；(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值.变式训练3.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,以顶点 A为端点的二条 棱长都为1,且两两夹角为60ADn(1)求AC1的长；(2)求AC1与面ABCD所成的角.筋练习作业1已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60。，则 |2a-3b|等于（）D.61A. 97B.97C. . 612. 下列各命题中，不正确的命题的个数为（） a a =|a| m（入 a） b=（m入）a ,（m,入 R） a （b+c）=（b+c） a a2b=b2aA.4B.3C.2D.13. 已知非零向量a,b不平行，并且其模相等，则a+b与a-b之间的关系是（）A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以4. 已知 PA丄平面 ABC, / ABC=120 ,PA=AB=BC=6,贝U PC 等于（）A.62B.6C.12D.1445. 已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60。，其模都为1,则|a-b+2c|等于（A. . 5B.5C. 6D.66. 已知i,j,k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a b等于（）A.-2B.-1C. D.27.已知在平行六面体 ABCD A B C中,AB=4,AD=3,AA =5, BAD=90 , / BAA = , DAA =60 J AC 等于（）A.85B. . 85C.5 i 2D.508.在四面体SABC中，各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点， 则异面直线EF与SA所成的角等于 （）A.90 B.60 C.45 D.30 9.已知a,b是夹角为60 的两单位向量，而c丄a,c丄b,且 |c|= ,3 ,x=2a-b+c,y=3b-a-c,则 cos x,y10.已 知 |OA|=5,|OB|=2, OA , OB =60 ,OC =2 OA + OB ,OD = OA-2OB ,则415. 如图所示，在正方体 证:A10丄平面 GBD.ABCD A1B1C1D1中,0为AC与BD的交点,G为CC1的中点，求以OC,OD为邻边的口OCED的对角线 0E的长为11. 已知线段AB的长度为6,2, AB与直线I的正方向的夹角为120。，则AB在I上的射影 的长度为.12. 已知 |a|=3r2 ,|b|=4,m=a+b,n=a+ Xdbb=135 ,m丄 n,则入 nn13. 设 a丄b,a,c= ,b,c =,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b+c 的模是3614. 在直二面角的棱上有两点A,B,ACAB,设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,6如图所示，正方形ABCD与正方形 ABEF边长均为1,且平面ABCD丄平面ABEF,点M在AC上移动，点N在BF上移动若CM=BN=a(Oa，那么空间两个向量a,b的夹角的a *b余弦cos a,b =，这个公式可用来求空间两直线所成的角|a|b|4. 在空间两个向量的数量积中，特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a的模|a|= . a2，这个公 式可用来求空间中线段的长度.将其推广为：|a b|=(.a _ b = a _2a *b b2 )2;|a+b+c|= . (a b c)2 二 a2 b2 c2 2a *b 2b * c 2c * a2 2 2 2=(a+b+c) =a +b +c +2a b+2b c+2c a.5. 对于三个不为0的向量若a b=a c，不能得出b=c，即向量不能约分.kk6. 若a b=k，不能得出a= 或b=,即向量不能进行除法运算.ba7. 对于三个不为0的向量，(a b)c工，即向量的数量积不满足结合律.8. 如何利用向量知识求线段的长度？7将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=(a)2来求解.选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应 该是确定的，已知的或可以求出的具体求模时，可分为两种不同情况：(1)不建坐标系，直接进行向量运算；(2)建立坐标系，用距离公式求线段长度9. 如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到，具体计算时可以用基向量表示，也可以用坐标运算进行但在求异面直线所成的角时，应注意 异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的 补角从平面向量到空间向量 学习目的空间向量的运算(学案二)1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.自主整理1. 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于a bcoSa,b，记作a -b，即a = a b coga, b).2空间向量的数量积的运算律 (1)交换律:a b=b a; - (2)分配律:a (b+c)= a b + a c; - (3)入(a - b)= ( ( XaR). - b3.(1) |a|= a a ;(2) a 丄 b= = a b=0;a b(3) cos a,b = (a 丰 0,b 丰 0).|a|b4. 对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向量，记作与a同方向.例题讲解a,点E,F,G分别是D【例1】如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于AB,AD,DC的中点求下列向量的数量积：(1) AB - AC;(2)AD BD;(3)GF BD;(4) EF BC .解析：由于空间四边形 ABCD各棱长都等于a,所以表面中各三角形均为正三角形所以有AB , AC , AD两两之间的夹角均为60用数量积的定义求解即可答案：(1)在空间四边形 ABCD中|AB|=|AC|=a且AB , AC =60所以AB所以AD 1 2AC =a acos60 = a .(2)| AD |=a,| BD |=a, AD , BD =60 29212BD=a cos60 = -a .(3)| GF |=21a,|AC|=a，又 GF / AC, GF , AC =n,2所以GF1 2 1 2 1 AC = ?acos 冗亠？ a .(4)因为 |EF|=a,|BC|=a, EF / BD,所以EF , BC = BC ,BD 1 2 1 2=60。所以 BC EF =丄 a2cos60 =1 a2.2 4小结 直接求两个向量的数量积时,应选取好基底，三个基向量的选取很重要三个向量两两之间夹角已知或可求,最好是特殊角，然后利用定义求解变式训练1已知在空间四边形 OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA丄BC. 证明：因为 OB=OC,AB=AC,OA=OA,9所以 OAC OAB.所以/ AOC= / AOB. 1因为 OA BC =0A (0C OB)=OAOC OAOB= |OA|OC |cos/ AOC- |OA|OB|cos/ AOB=0.所以 OA 丄 BC.【例2】如图所示，在空间四边形 OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, / OAC=45，/OAB=60求OA与BC夹角的余弦值.解析：求异面直线所成的角，可以用常规方法，也可以用向量夹角公式求解,cos OA, BC = OA * BC，应先求出EC .|OA|BC |答案：因为 BC = AC - AB ,所以 OA BC = OA -AC-OA -AB=| OA| | AC | cos OA, AC -| OA| | AB | cos OA, AB =8X4xcos135 -8 為xcos120=24-162.所以 cos OA,BC =处竺=243 2 .所以 oa 与 bc 夹角|OA|BC |855的余弦值为3-2 .25小结用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时，应注意角的范围，向量夹角范围是:0180 ,异面直线所成的角的范围是(0 ,90 ，当用夹角公式求出的角为钝角时，它的补角才等于异面直线所成的角变式训练2如图，已知 ABC是正三角形,PA丄平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小解：T PA丄平面ABC, ABC为正三角形，PA=AB=a,所以 PA 丄 AC, / BAC=60 ,PB=2a,AC=a. - - - - 1 2 所以 PB AC =(PA AB)AC 二 PAAC AAC=-a2.2所以cos PB, AC =PB AC|PB|AC|22a * a所以PB与AC所成的角为arccos.4a,点M,N分别是边【例3】如图，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于AB,CD的中点.(1)求证:MN为AB和CD的公垂线;(2)求MN的长; (3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值.101-解析：女口图，设 AB =p, AC =q, AD =r.由题意，可知 |p|=|q|=|r|=a.且p,q,r三向量两两夹角均为 60.111答案：(1)证明：MN = AN =(AC +AD) 1 AB =1 (q+r-p)222* * 1 1 1所以 MN AB = (q+r-p) p= (q p+r p-p2)= (a2 cos60 +a2 cos60 -a2)=0.所以MN丄AB,同理可证 MN丄CD.所以MN为AB与CD的公垂线.1 2 -(q+r-p)4P 12P 2解：由可知MN = (q+r-p),所以|MN | =(MN )=21222 1222=q +r +p +2(q r-q p-r p) = a +a +a +2(44所以丽|a.所以MN的长度为2、2a.2(3)解：设向量AN MN与MC的夹角为0,1=匚(q+r),21 2 1=(q - q2 21MC = AC - AM =q- p,21 12 12p+r q- r p) = (a _ a cos60一 1因为 AN= (AC+AD)21所以 AN -MC =(q+r)21(尹o =60。，则 |2a-3b|等于()A. 97fB.97C. 61D.611解析：|2a-3b|2=4a2+9-12a b=4 4+9 9-12 枸|b|cos60 =97-12 忽 X3 x =61.2所以 |2a-3b|=61 .答案:C2. 下列各命题中，不正确的命题的个数为().a *a =|a| m(入 a) b=(m入)a b(nR)a (b+c)=(b+c) a a2b=b2aA.4B.3C.2D.1解析：正确，不正确.答案:D3. 已知非零向量a,b不平行，并且其模相等，则a+b与a-b之间的关系是(A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以解析：因为(a+b) (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.所以(a+b)丄(a-b).答案:A4. 已 知PA丄 平 面12ABC, / ABC=120 ,PA=AB=BC=6,贝U PC 等于()A.62B.6C.12D.144解析：因为PPA AB BC,答案：C2 2 2 2 所以 PC =PA +AB +BC +2AB BC =36+36+36+2 36cos60 =144.所以 |PC|=12.5已知向量a,b,c两两之间的夹角都为 60。，其模都为1,则|a-b+2c|等于()A. 5B.5C.6D.6解析：(a-b+2c)=2(SA SB SC)2=a2+ b2+4c2-2a b+4a c-4b c=1+1+4-2cos60 =5.所以 |a-b+2c|=5.答案:A6. 已知i,j,k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a b等于()A.-2B.-1C. D.2解析:a b=(2 i-j+k) (i+j-3k)=2 i2-j2-3 k2=-2.答案:A7. 已知在平行六面体 ABCD A B C中 ,AB= 4,AD=3,AA =5, BAD=90 ,/ BAA = , DAA =60 贝U AC 等于()A.85 B. . 85C.52D.502解析：AC =(AB AD AA)2 =| AB |2 - | AD |2| AA |2 2(AB * AD AB * AA 亠亠AD AA) =50+2(10+7.5)=85.答案:B8. 在四面体SABC中，各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点，则 异面直线EF与SA所成的角等于（）A.90 B.60 C.45 D.30 解析:选SA、SB、SC为基向量表示其他向量.EF ES SF SC SASB,所以1 1 2 -SC *SA SA22丄 SB*SA| =21L1 11尹,戸钟寸匕SSB)所以cos EF, EA EF,EA Tt=45 .答案:C413a *a29. 已知a,b是夹角为60 勺两单位向量，而c丄a,c丄b,且|c|=3 ,x=2a-b+c,y=3b-a-c,贝U cosx,y =.解析：因为 |x|= J(2a -b + c)2 = J6 ,|y|= *：(3b a c)2 = JT0 ,93 15209_2_3晁x =(2a-b+c) (3b-a-c)= -一，所以 cos x,y =；=.答案:2 6 70 2010. 已知 |OA|=5,|OB|=2, OA,OB =60 ,OC =2OA+ OB ,OD =OA-2OB ,则以 OC,OD为邻边的口OCED的对角线OE的长为.解析：因为 OE = OC OD，所以 OE (OC OD)= (OA OB 2OA - 2OB)2= (3OA_OB)2 mOA?2- - OB6OA *OB =9 X25+4-6 為X2 xcos60 = 199.所以OE= 199 .答案:19911. 已知线段AB的长度为6 .2 , AB与直线I的正方向的夹角为120。，则AB在I上的射影的长度为.解析：AB在I上的射影的长度为| AB |cos120 6 2.答案:3 2212. 已知 |a|=3 w2 ,|b|=4,m=a+b,n=a+久abb =135 ,m丄 n,则 入 .解析:由 m丄 n,得(a+b) (a + 入b)=0,a2+ /a b + a b + 血2=0,3318+ 入 X3 2 X4xcos135 +3 .2 X 4X cos135 +16 入=0,4 入 +6=0答案=-2 2jiji13. 设 a丄b,a,c = ,b,c =，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b+c 的模是3 6解析：因为 |a+b+c| =(a+b+c) =|a| +|b| +|c| +2(a b+a c+b c)=1+4+9+2(0+1 XX1+2 X3-3)=17+6 -3,所以 |a+b+c |= .17 6 3.答案:.17 6 32 214. 在直二面角的棱上有两点A,B,AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB,设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求 CD 的长.解析:作出符合题意的空间直观图，不难发现ABCD为一空间四边形，由空间向量的加法运算法则，有 C CA AB BD，于是CD之长可求.答案：如图，依题意有AC,AB,BD两两垂直，所以CA AB =0, CABD =0, AB BD =0.所以 |CD |2= CD CD = (CA AB BD)(CA AB BD)=| CA| | AB| |BD | |=62+82+242=676.所以 CD= . 676 =26.15.如图所示，在正方体ABCD AiBiCiDi中,0为AC与BD的交点,G为 CCi的中点，求证:AiO丄平面 GBD.解析：只要证明A,0与面GBD内两个不共线向量垂直即可证明：设 AlBi =a, A, Di = b, AA = c,则 a b=0, b c=0,a c=0.1 而 A0 = AA AO = AA (AB AD)2=c+ (a+b),2BD = AD - AB = b-a,OG = OC CG (AB AD) CCi =(a+b)- c.2 2 2 2一11ii 2 2所以 4BD=(c+a+b)(-b-a)=c(b-a)+(a+b)(b-a)=c b-c a+(b-a)4=i (|bf-|a|2)=0.所以 A|O 丄 BD .所以 A1O 丄 BD .同理可证AO丄OG,所以AiO丄OG.又因为OGH BD=O,且AiO面GBD,所以AiO丄面GBD.16.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1,且平面ABCD丄平面ABEF,点M在AC上移动，点N在BF上移动.若CM=BN=a(Oa 2 ).(1)求MN的长度;(2)当a为何值时,MN的长最小；(3)当MN长最小时，求平面MNA与平面MNB所成的二面角 a的大小.解析：根据向量的基本运算 ，利用NM = FA AM这一关系来求|NM |2,这是求长度问题的常见方法EBF .答案：(1)AC= x 2 ,BF= . 2 ,CM=BN=a.aaAM =(1) AC , NF =(1-)V 22-a a NM -NF FA AM =(1- a ) BF FA +(1- a ) AC / 2 , 2=(1- a)(BE BA) FA+(1- a)( AB BC)2 . 2=(1-)(BE BA)_BE+(1-)(_BA BC)=(1-)BC+(-)BE、2 、. 2 、 2 . 2|NM p. NM 2 a BC BE2v2a 2 2a a p p 1 2(1P P(1P)BCBE+2a(a - 2)21 (0 : a ： .2).2 2由(1),知当a= 时,|MN |的最小值为2上,即M,N分别为AC,BF的中点时,MN长最小,2最小值为22取MN中点G,连结AG,BG.因为AM=AN,BM=BN,所以AG丄MN,BG丄MN.所以/ AGB是二面角 a的平面角. 、F6所以 | AG |=|BG |所以 cos a =42 2 2|GB | |GA| -| AB |2|GB|GA|E-.=所以二面角a3的大小为 arccos( 6 262(；)()-14 4晁762 *4 4课后总结1数量积是数量，可以是正数，也可以是负数或零，它没有方向，可以比较大小.a与b的数量积 的几何意义是：向量a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos a,b的乘积.2. 利用两个向量的夹角为,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一.23. 根据空间两个向量的数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b，那么空间两个向量a,b的夹角的余弦coSa b = a b，这个公式可用来求空间两直线所成的角|a|b|4. 在空间两个向量的数量积中，特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a的模|a|=a2，这个公 式可用来求空间中线段的长度.将其推广为：|a b|=(a _ b 二 a 士2a *b b2 )2；|a+b+c|= (a b c)2 二，a2 b2 c2 2a *b 2b *c 2c *a2 2 2 2=(a+b+c) =a +b +c +2a b+2b c+2c a.5. 对于三个不为0的向量若a b=a c，不能得出b=c，即向量不能约分.kk6. 若a b=k，不能得出a= 或b=,即向量不能进行除法运算.ba7. 对于三个不为0的向量，(a b)c工，即向量的数量积不满足结合律.8. 如何利用向量知识求线段的长度？将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=(a)2来求解.选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应 该是确定的，已知的或可以求出的.具体求模时，可分为两种不同情况：(1)不建坐标系，直接进行向量运算；(2)建立坐标系，用距离公式求线段长度.9. 如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到17具体计算时可以用基向量表示，也可以用坐标运算进行但在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角 的补角.