直线和圆锥曲线的位置关系

精品聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：1研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。2涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。3充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。热点透析题型1:直线与圆锥曲线的交点个数问题例1已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1)，代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0.(*)(i)当2k2=0,即k=土点时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ii)当2k2w0,即kw土形时A=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(3-2k)2当A=0,即32k=0,k=2时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.3当A0,即k，,又kw土也，3故当k值或址k戊或&k，时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.3当A万时，方程(*)无解，l与C无交点.2综上知:当k=逝，或k=2,或k不存在时，l与C只有一个交点；3当pDkZ,或&k&，或k2时，l与C没有交点.假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且A(xi,yi),B(X2,y2),则2xi2yi2=2,2X22y22=2两式相减得:2(xiX2)(xi+x2)=(yiy2)(yi+y2)乃一外又.xi+x2=2,yi+y2=2.2(xix2)=yiyi即kAB=$一两=2但渐近线斜率为&,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.分析第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法一一“点差法”.易错点提醒：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2,就认为所求直线存在了.技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.热身训练1直线+1与双曲线二的右支交于不同的两点a、b,(1)求实数k的取值范围。(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。23【解】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程独一尸=1后，整理得(P-2)7+2*1+2=0依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故-2maA二侬1一8画2)仇解得k的取值范围为2(2)设A、B两点的坐标分别为(心”区,则由式得假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(gS,则由口_|_咫得：区7a一二）+丁科=0,即（瓦-）+&+1）（也+1）=0O整理得一1-一；二十一把式及一代入式，化简得霜+2袤无-6=0。厘（T-虎）（舍去）。66巧巧解得5或56+#存在5使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。题型2:有关弦长问题【例2】如图所示，已知椭圆1与抛物线X三2PH有公共焦点月g,o）gwM）,m是它们的一个交点，若而，且1网=5（1）求椭圆及抛物线的方程;（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。39颈至【解】（1），尸工的焦点2准线A：2,p=2c。设,由|网=5,得5,由W=4%,得尸2卡打，牙3=外冈=2#,.,一一工,1AI=加=%2,c=2。/二九为二2d代入*+4廿：解得/=32)2。工,7一1+-12Q椭圆方程为3632,抛物线方程为丫(2)设直线l的方程为少=#(工-幻，感谢下载载将l的方程与椭圆方程联立，得:（8+靖川-36/工436tp-8J=0AB = Jl+14x36（8-9二）（a“一如_12x8（上2+11抖源8十9|和二|小月”盘把二区半二人士或由1*年比3存在直线1,其方程为:题型3:与中点弦有关的问题【例3】已知双曲线方程(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。(2)是否存在直线1,使。为1被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由。m本题涉及弦的中点问题，可以选用差分法解决。(1)设心卜坨,巩2,则12一，江ni则有423 22-江二14 2-得5+QE-2a+F)=0。.%+肛=2，跖+73=2.2(4一七)-2,20丁口)=0若对二七，由=2知玉=%=1,则点A、B均不在双曲线上，与题设矛盾，口=% %工电飞一% .上。.J上o9-1二*F 直线AB的方程为2，即x-2y+1=0。J21企y_x一，,_ 双曲线的一条渐近线方程为2，而22, 二直线x-2y+1=0与双曲线交于两点，,-.x-2y+1=0为所求。(2)假设过N的直线l交双曲线于F6HRmM),则有22a工一二1生一丝二142,42。两式相减，得区+堀-2J+乃)-乃)=0。4y依题意，0y-x;双曲线的一条渐近线方程为21:一O，而2,直线l与双曲线没有公共点，7m1)以2为弦中点的直线不存在。题型4:对称问题【例4】在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为以。刃E的直角顶点,已知21cM，且点B的纵坐标大于零。(1)求向量上的坐标;求圆V-St+V-2冲。关于直线ob对称的圆的方程;(3)是否存在实数a,使抛物线口二1一1上总有关于直线OB对称的两个点?若不存在，理由；若存在，求a的取值范围【说明】这是一个非常好的、综合性强的题目要认真研究故一.=.u-30徂u=81X2O)1寸O(2)由*三向，得B(10,5),于是直线OB的方程为:由题设可知，圆的标准方程为：5方+1)、10。得圆心(3,-1),半径为而。设圆心(3,-1)关于直线OB的对称点为(x,y),则x= 1衿）二3 付L*故所求圆的方程为,u.-I（3）设尸氏小）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则_22k=U222 工井克L一一 a52曲 13 覆工产+即修心为方程 。寻。的两个相异实根。 -4,注 。于是由 “二-；3a 一7日-，行 。八一必7士一两3a故当m2时，抛物线6-1上总有关于直线OB对称的两点【评析】对称性问题是高考的热点，一般包括点对称与直线对称，要重视此类问题的常规解法，如本题主要考查两个方面：一是中点在对称轴上；二是利用垂直关系，通过联立方程组求解。一般情况下，对称问题都可以转化为点的对称来加以解决。2热身训练1若抛物线P=-1上总存在关于直线x+N=。对称的两点，求厘的范围.解法一：（对称曲线相交法）曲线量=.炉-1关于直线工+刀=Q对称的曲线方程为T=砂2T.如果抛物线二/T上总存在关于直线履+尸=0对称的两点，则两曲线三力尸-1与f二4-1必有不在直线工+，=上的两个不同的交点（如图所示），从而可由：1x+1=0代入三工-I得a有两个不同的解,-30=!解法二：（对称点法）4设抛物线y三口/-I上存在异于于直线元+卜二的交点的点”必）,且理而，加关于直线-x+j=0的对称点用hQ也在抛物线V3T上.则r/二4-1厂L2厅-1必有两组解.-（2）彳3a二仪%L必有两个不同解.n厘国1-此）二】有解.从而有”鼎-3婿T二1有两个不等的实数解.即：厘m1如口一+1二。有两个不等的实数解.3,.4sy_4aJ+1O.0a.?解法三：（点差法）设抛物线歹加一1上以*与乂*（覆/）为端点的弦关于直线x+a=对称，且以M%，K）为中点是抛物线沙士加*-1（即工一J*）内的点.从而有甬+=2砧，M+J3=2为（1）-（2）得:M-广武婷一4）左AA=*（均+/）=2仃口太触=1=2。%=1n元二，为=M(由阳出3a从而有4上有不同两点关于直线X+热身训练2试确定掰的取值范围，使得椭圆4少工+.对称.H+二=1,解:设椭圆工行一上以戒为)为端点的弦关于直线f冗+加对称,上十匕且以加值/为中点是椭圆43内的点.从而有二+J 一二八-(2)得45一4二-猛F)-乃=_35l+xQ_3%血一心心斗乃)4%由W而流在直线尸=4工+掰上=为=也凡=-3网=凶-科-利从而有r3-热身训练3已知直线1过定点A(4,0)且与抛物线三尔。)交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆包过原点O,求*的值.解:可设直线2的方程为方=阳+代入F=2得短-功*也=0.设取2口均，Wa=-8再均=堂=16则t-.由题意知，OPLOQ,则。R。=。即工丙+X必=16-助=0.P=2此时，抛物线的方程为.题型5:圆锥曲线中几何量的范围问题【例5】已知常数a0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+入n为方向向量的直线与经过定点B(0,a),以n+2入m为方向向量的直线相交于点P,其中为W*。(1)求点P的轨迹C的方程;0曰=_,卜(2)若2,过e(0,1)的直线1交曲线C于M、N两点，求即心皿的取值范围。【解】(1)设P点的坐标为(x,y),则上手=(工/+0,BSi),又n=(L。)，m=(0，故m+福二口，n+2凡m=0,2死。由题知向量酢与向量m十用n平行，故鼻+3=也。又向量诟与向量n+24m平行，故i=2加工。两方程联立消去参数兄，得点P(x,y)的轨迹方程是+砌(了一幻=2/，即口二史二二(2)-/-T,故点P的轨迹方程为纷一2卡:1,此时点E(0,1)为双曲线的焦点。若直线l的斜率不存在，其方程为x=0,l与双曲线交于22,15?砺二(之1)(一也9=1=L此时-若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，代入化简得2田一1)+4丘+”。直线i与双曲线交于两点,.&4幻。宙一”口且二一1叫即f设两交点为M5GoN&,-2k1/十三二-12二-此时；“一一二”二一一一二一正一一=*+1)硒=亲看=引+1)1rj|当-1k1或k口,故E/WN=Q +2HK(-oo,-综上所述,亘取甑的取值范围是22热身训练1如图，已知某椭圆的焦点是Fi(4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|FiB|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(xi,yi),C(X2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;求弦AC中点的横坐标;设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强.知识依托:椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.25错解分析:第三问在表达出“k=yd时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半彳公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用yo的范围求m的范围解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|FiB|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,N+y2所以b=5一户=3.故椭圆方程为乃+=1.2由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.254425因为椭圆右准线方程为x=4，离心率为工，根据椭圆定义，有|F2A|二M(4425xi),|F2C|=4-X2),4254259由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得X(4xi)+M(4X2)=2X%，由此得出:xi+X2=8.1十.a设弦AC的中点为P(x0,y0),则xo=4.解法一:由A(xi,yi),C(x2,y2)在椭圆上.勺始十25：=9式25公14+25对=9X5一得9(xi2x22)+25(yi2y22)=0,卢马+腐江山)(纥四)即9X工=士一均=0(xiwx2)西+强TAyi+yav-yi1,(kw。)-二而=%-r一=际=-7将1-代入上式，得9X4+25y0(止)=0:(kw0)25即k=36yo(当k=0时也成立).由点P(4,y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,253所以m=yo4k=yoyyo=-yyo.由点P(4,yo)在线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，991616得Myo二,所以5mo又一由；十二；一一一：.凡士+必当二。+二)工1三+2底1+/)+4=12，一洗（SI）+,1十431+4k12(1十二)_2左飙1+加1+花:走2 =%一争=4A3 .若直线X=,十咽与椭圆4相交于且E两点，当肉变化时，月”的最大值是？（目的：掌握弦长公式的应用，理解直线与椭圆相交弦的弦长随透的变化情况）【答案】5【解析】明4 .在抛物线4上求一点，使该点到直线=41-5的距离最短，该点的坐标是匕（目的：学会借用直线与圆锥曲线位置关系来讨论曲线上的点到直线距离的最值问题）（11）_【答案】之【解析】设直线？=如是与直线=4%-5平行且与抛物线a（11）工相切的直线，求得激三一1,切点为2,即为所求的点。_十匕=15 .已知对1fc6五,直线F-HT二与椭圆5m包有公共点，则实数港的取值范围是（）AQI）b（。与c1“口1,5）（目的：理解方程中含有一个参数的直线的特征，能够用直线上的特殊点判断直线与圆锥曲线的关系）【答案】I。1【解析】直线一%T=0恒过点（），当点（口）在椭圆上或椭圆内时此直线包与椭圆有公共点。6 .已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（行，0）直线y=x1与其相交于2M、N两点，MN中点的横坐标为3,则此双曲线的方程是（）A.34B.43C.52D.25（目的：理解双曲线中点弦的斜率、弦中点的坐标与方程中系数的关系）_I+方工=7【答案I（D）【解析I设双曲线方程为/一,一设赋3yj分别代入双曲线方程并相减即可求解。一口7 .设抛物线工（八与直线y=有两个交点，其横坐标分别是0血，而直线=敏士。）与五轴交点的横坐标是飞,那么F小七的关系是111111s十三十A.%NB.金孙阳C.天】餐fD.W+看（目的：能够发现直线与抛物线交点之间的特殊联系）bkb=-i+金=_,勺=一【答案】（B）【解析】由题意得：艮小厘故选（B）8 .抛物线44乂截直线”2二十占得弦加，若朋,F是抛物线的焦点，则总且3的周长等于（目的：学会运用抛物线的定义解决有关直线的与抛物线的关系问题）【答案】彳记君【解析】利用弦长公式及抛物线的定义求解。9 .双曲线1-=1的左焦点为尸，尸为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线FF的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）【答案】（-电。）31依）【解析】画出图形，利用数形结合法求解。10 .直线+9=0,以椭圆令12的焦点为焦点作另一椭圆与直线E有公共点且使所作椭圆长轴最短时,公共点坐标是（目的：学会运用等价转化的思想解决复杂问题）【答案】U【解析】设椭圆与直线的公共点为产，其长轴长2耳HI尸闻欲使2厘的值最小，需在直线上找一点户使其到两定点风用的距离和最小。（71-I-=111.已知直线与椭圆.3交于A?两点，时是从中点口为原点。（I）当直线上与直线”+乎=0平行（不重合）时，求直线知的斜率；/二空型（II）若卜/1,证明好十9,并求线段AB长取最大值时，直线!的方（目的：熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法；如运用中点弦、焦点弦、韦达定理等有关知识，采用引参、消参、设而不求、待定系数等常用方法解决问题。）（I）令北工卜坨,凯上）则两式相减得二一(H)由y =kx-b2 3,2i加6b=3+/)/ +2之而+/ 3 = 0, / +马=乃+，2。蚱“.田三川卜色6尹十d十：十10M2 ：走=土#时ML=2止匕时=土币父土#精品感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考感谢下载载