浙教版初中数学八年级下册方差和标准差-知识讲解(共5页)

精选优质文档-倾情为你奉上方差和标准差知识讲解 【学习目标】1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义；2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题.【要点梳理】要点一、方差和标准差1.方差 在一组数据中，设它们的平均数是，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好 （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.2.标准差一般地，一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差.要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定.要点二、方差和标准差的联系与区别联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小.方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.【典型例题】类型一、方差和标准差1. 一组数据2，1，0，1，2的方差是（ ）A1B2 C3D4【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：计算.【答案】B【解析】该组数据的平均数是0，所以=2.【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.举一反三：【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为，其方差为，则3年后这五名队员年龄的方差为_【答案】0.8.2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（）A.1 B. C.2 D.4【思路点拨】根据标准差的概念计算标准差是方差的算术平方根【答案】D；【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=2=4故选D【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键标准差是方差的算术平方根举一反三：【变式】下列说法：其中正确的个数有（）（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好；（2）一组数据的众数只有一个；（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4；（4）一组数据的标准差一定是正数A0个 B1个 C2个 D4个【答案】B.提示：（1）正确.类型二、方差和标准差的实际应用3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数 甲 55 149191 135 乙 55 151110 135 分析此表得出如下结论：（ ） （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大 A（1）（2） B（1）（2）（3） C（2）（3） D（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.举一反三：【变式】（2015崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是=85,=85，=85，=85，方差是=3.8，=2.3，=6.2，=5.2，则成绩最稳定的是（）A甲 B乙 C丙 D丁【答案】B.解：=3.8，=2.3，=6.2，=5.2，成绩最稳定的是乙故选B4.（2016春商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）品种第1年第2年第3年第4年第5 年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8（1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？（2）哪种水稻的产量比较稳定【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定【答案与解析】解：（1），所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高；（2）甲中水稻产量的方差是：（9.810）2+（9.910）2+（10.110）2+（1010）2+（10.210）2=0.02，乙种水稻产量的方差是：（9.410）2+（10.310）2+（10.810）2+（9.710）2+（9.810）2=0.2440.020.244，产量比较稳定的水稻品种是甲【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图： 请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势【答案】植株编号12345甲种苗高75458乙种苗高64565，甲种水稻比乙种水稻长得更高一些，乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些5.（2015春安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：甲109.81010.210乙9.9101010.110（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些【答案与解析】解：（1）甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）5=10，乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）5=10，甲机床所加工零件直径的方差=（1010）2+（9.810）2+（1010）2+（10.210）2+（1010）2=0.013，乙机床所加工零件直径的方差=（9.910）2+（1010）2+（1010）2+（10.110）2+（1010）2=0.004，（2）S2甲S2乙，乙机床生产零件的稳定性更好一些【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)甲9582888193798478乙8375808090859295 (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数； (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由【答案】解：(分)， (分) 甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分 (2)由(1)知分，所以，从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；从方差来看，因为，所以甲的成绩较稳定；从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩专心-专注-专业