资源描述
1.1.3四种命题间的相互关系【阅读教材【阅读教材】 根据下面的知识结构阅读教材，并识记四种命题间的相互关系及根据下面的知识结构阅读教材，并识记四种命题间的相互关系及真假关系，并会将命题等价转化真假关系，并会将命题等价转化. .【知识链接【知识链接】1.1.四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题. .2.2.判断命题真假的方法：根据已学过的数学知识，直接判断或推证或判断命题真假的方法：根据已学过的数学知识，直接判断或推证或取特值否定取特值否定. . 主题一：主题一：四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系【自主认知【自主认知】1.1.观察下面四个命题，命题观察下面四个命题，命题(1)(1)与命题与命题(2)(3)(4)(2)(3)(4)的条件和结论之间分的条件和结论之间分别有什么关系？别有什么关系？(1)(1)若若f(xf(x) )是正弦函数，则是正弦函数，则f(xf(x) )是周期函数是周期函数. .(2)(2)若若f(xf(x) )是周期函数，则是周期函数，则f(xf(x) )是正弦函数是正弦函数. .(3)(3)若若f(xf(x) )不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(xf(x) )不是周期函数不是周期函数. .(4)(4)若若f(xf(x) )不是周期函数，则不是周期函数，则f(xf(x) )不是正弦函数不是正弦函数. .提示：提示：命题命题(1)(1)的条件是命题的条件是命题(2)(2)的结论，且命题的结论，且命题(1)(1)的结论是命题的结论是命题(2)(2)的条件，对于命题的条件，对于命题(1)(1)和和(3)(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)(1)和和(4)(4)，其中一个命，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定. .2.2.通过问题通过问题1 1中的探究，你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗？中的探究，你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗？你能用数学语言描述出来吗？你能用数学语言描述出来吗？提示：提示：命题命题(2)(3)(2)(3)是互为逆否命题，命题是互为逆否命题，命题(2)(4)(2)(4)是互否命题，命题是互否命题，命题(3)(4)(3)(4)是互逆命题是互逆命题. .根据以上探究过程，试着写出四种命题之间的相互关系：根据以上探究过程，试着写出四种命题之间的相互关系：若若q,q,则则p p若若p,p,则则q q若若q,q,则则p p【合作探究【合作探究】1.1.判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面？判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面？提示：提示：判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了，是否都否定了否互换了，是否都否定了. .2.2.一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗？一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗？提示：提示：可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的. .3.3.在四种命题中，原命题是固定的吗？在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：提示：不固定，是相对而言的不固定，是相对而言的. .【过关小练【过关小练】1.1.命题命题p p：“若若m0m0，则，则x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根”，与命题，与命题q q：“若若x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实根，则没有实根，则m0”m0”的关系是的关系是( () )A.A.互逆互逆B.B.互否互否C.C.互为逆否互为逆否D.D.互否或互为逆否互否或互为逆否【解析【解析】选选C.C.因因q q的条件为的条件为p p的结论的否定，而结论为的结论的否定，而结论为p p的条件的否定的条件的否定. .2.2.命题命题p p：“若若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x x，y y全为零全为零”，与命题，与命题q q：“若若x x2 2+y+y2 200，则则x x，y y不全为零不全为零”的关系是的关系是_._.【解析【解析】由四种命题之间的关系知为互否命题由四种命题之间的关系知为互否命题. .答案：答案：互否命题互否命题主题二：主题二：四种命题的真假性及等价关系四种命题的真假性及等价关系【自主认知【自主认知】1 1. .主题一主题一 自主认知自主认知11中的中的四个命题，它们的真假性如何？四个命题，它们的真假性如何？提示：提示：命题命题(1)(1)为真命题，为真命题，(2)(2)是假命题，是假命题，(3)(3)是假命题，是假命题，(4)(4)是真命题是真命题. .2.2.若命题若命题(1)(1)为原命题，你发现哪两个命题的真假性相同？这种关系为原命题，你发现哪两个命题的真假性相同？这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成立？是否对任意的有这种关系的两个命题都成立？提示：提示：原命题与逆否命题，逆命题与否命题，真假性相同原命题与逆否命题，逆命题与否命题，真假性相同. .且这种关且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立系对任意两个互为逆否的命题都成立. .根据以上探究过程，试着写出四种命题真假性之间的关系：根据以上探究过程，试着写出四种命题真假性之间的关系：1.1.两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性的真假性. .2.2.两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. .相同相同【合作探究【合作探究】1.1.在四种命题中，真命题的个数可能有几个？在四种命题中，真命题的个数可能有几个？提示：提示：因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它们同真或同假，所以真命题的个数可能是们同真或同假，所以真命题的个数可能是0 0，2 2或或4.4.2.2.当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断？当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断？提示：提示：因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明. .【拓展延伸【拓展延伸】等价命题的证法与反证法的区别等价命题的证法与反证法的区别运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化，而反证法是先假设结论运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化，而反证法是先假设结论不成立，接着推出矛盾，从而得出假设不成立不成立，接着推出矛盾，从而得出假设不成立. .【过关小练【过关小练】1.1.命题命题“若若p p不正确，则不正确，则q q不正确不正确”的逆命题的等价命题是的逆命题的等价命题是( () )A.A.若若q q正确，则正确，则p p不正确不正确 B.B.若若q q不正确，则不正确，则p p正确正确C.C.若若p p正确，则正确，则q q不正确不正确 D.D.若若p p正确，则正确，则q q正确正确【解析【解析】选选D.D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若与逆命题等价的是否命题，否命题是若p p正确，则正确，则q q正确正确. .2.2.已知命题已知命题p p：“若若| |a|=|=|b| |，则，则a= =b”，则命题，则命题p p及其逆命题、否命及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是题、逆否命题中，正确命题的个数是( () )A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个【解析【解析】选选B.B.因为因为a=-=-b时，时，| |a|=|=|b| |，则命题，则命题p p为假命题，命题为假命题，命题p p的逆的逆命题为：若命题为：若a= =b，则，则| |a|=|=|b| |，为真命题；，为真命题；又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，原命题与其逆否命题互又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，原命题与其逆否命题互为逆否命题，故真命题的个数是为逆否命题，故真命题的个数是2 2个个. .【归纳总结【归纳总结】1.1.对四种命题间关系的说明对四种命题间关系的说明对于两个命题的条件和结论之间的关系，若对于两个命题的条件和结论之间的关系，若“只换位不换质只换位不换质”，则两，则两者之间就是者之间就是“互逆命题互逆命题”；若；若“只换质不换位只换质不换位”，则两者之间就是，则两者之间就是“互否命题互否命题”；若；若“既换位又换质既换位又换质”，则两者之间就是，则两者之间就是“互为逆否命互为逆否命题题”. .2.2.等价命题的两个关注点等价命题的两个关注点(1)(1)当两个命题互为逆否命题时，这两个命题是等价命题当两个命题互为逆否命题时，这两个命题是等价命题. .(2)(2)由于原命题与其逆否命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是由于原命题与其逆否命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是互为逆否关系，所以原命题与其逆否命题是等价命题，原命题的逆命互为逆否关系，所以原命题与其逆否命题是等价命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是等价命题题与原命题的否命题是等价命题. .类型一：类型一：四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系【典例【典例1 1】(1)(1)命题命题“若函数若函数y=f(xy=f(x) )是幂函数，则它的图象不过第四象是幂函数，则它的图象不过第四象限限”与命题与命题“若函数若函数y=f(xy=f(x) )不是幂函数，则它的图象过第四象限不是幂函数，则它的图象过第四象限”的的关系是关系是_._.(2)(2)命题命题“等底等高的两个三角形是全等三角形等底等高的两个三角形是全等三角形”与命题与命题“全等三角全等三角形是等底等高的两个三角形形是等底等高的两个三角形”的关系是的关系是_._.(3)(3)命题命题“若若abab，则，则c-2ac-2b”c-2abab，则，则7a7b”7a7b”的逆否命题是的逆否命题是“若若7a7b7a7b，则，则abab”.”.【解题指南【解题指南】从条件和结论的关系上进行分析判断从条件和结论的关系上进行分析判断. .【解析【解析】“四条边相等的四边形是正方形四条边相等的四边形是正方形”的否命题应为：的否命题应为：“四条四条边不相等的四边形不是正方形边不相等的四边形不是正方形”，说法错误；，说法错误；“若若x x2 2=9=9，则，则x=3”x=3”的否命题的逆否命题应为：的否命题的逆否命题应为：“若若x=3x=3，则，则x x2 2=9”=9”，说法错误；，说法错误；正确正确. .答案：答案：类型二：类型二：四种命题的真假性四种命题的真假性【典例【典例2 2】(2014(2014陕西高考陕西高考) )原命题为原命题为“若若 nNnN* *，则，则aan n 为递减数列为递减数列”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是次如下，正确的是( )( )A.A.真、真、真真、真、真 B.B.假、假、真假、假、真C.C.真、真、假真、真、假 D.D.假、假、假假、假、假 nn 1naaa ,2【解题指南【解题指南】因为原命题和其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真因为原命题和其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可假，所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可. .【解析【解析】选选A.A.由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也为真；而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真为真；而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真. .【延伸探究【延伸探究】若把本例中若把本例中“若若 aaa2 2aa3 3”，其他条件不变，则结果如何？，其他条件不变，则结果如何？【解析【解析】由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也为真，由已知条件可以判断原命题为真，所以它的逆否命题也为真，而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真而它的逆命题为真，所以它的否命题亦为真. .nn 1aa2【规律总结【规律总结】判断四种命题真假的两种方法判断四种命题真假的两种方法(1)(1)直接判断：利用命题真假判断的方法判断直接判断：利用命题真假判断的方法判断. .(2)(2)等价转化：由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四等价转化：由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆( (否否) )命题的真假，再命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成. .【巩固训练【巩固训练】已知命题已知命题p p：若：若a0a0，则方程，则方程axax2 2+2x=0+2x=0有解，则其原命题、有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数( () )A.4 B.2 A.4 B.2 C.1 C.1 D.0D.0【解析【解析】选选B.B.易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题是假命题. .【补偿训练【补偿训练】命题命题“已知已知a a，b b为正实数，若为正实数，若 则则ab”ab”与它的与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( () )A.0 B.1 A.0 B.1 C.2 C.2 D.4D.4【解析【解析】选选D.D.互为逆否的命题同真假，原命题是真命题，故其逆否命互为逆否的命题同真假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为题也为真，逆命题为“已知已知a a，b b为正实数，若为正实数，若abab，则，则 ”，这个命题是真命题，故否命题也为真，从而有这个命题是真命题，故否命题也为真，从而有4 4个是真命题个是真命题. .ab，ab类型三：类型三：等价命题的确定及应用等价命题的确定及应用【典例【典例3 3】判断命题判断命题“已知已知a a，x x为实数，若关于为实数，若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集，则的解集是空集，则a2”a04a-70，即抛物线与即抛物线与x x轴有交点，所以关于轴有交点，所以关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真集不是空集，故原命题的逆否命题为真. . 方法二：先判断原命题的真假如下：方法二：先判断原命题的真假如下：因为因为a a，x x为实数，关于为实数，关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集为空集，的解集为空集，所以所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70.+2)=4a-70.所以所以a 2.a 2.所以原命题是真命题所以原命题是真命题. .因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题命题. .74【延伸探究【延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )判断命题判断命题“已知已知a a，x x为实数，若关于为实数，若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集是空集，则的解集是空集，则a2”a2”的逆命题的真假的逆命题的真假. .【解析【解析】原命题的逆命题为原命题的逆命题为“已知已知a a，x x为实数，若为实数，若a2a2，则关于，则关于x x的不的不等式等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+20 0的解集是空集的解集是空集”. .判断真假如下：判断真假如下：抛物线抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上，判别式的开口向上，判别式=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)+2)=4a-7=4a-7，因为因为a2a2，所以，所以4a-714a-71，当，当0101时抛物线与时抛物线与x x轴有交点，当轴有交点，当00+20的解集是的解集是R R，则，则a ”a0+20的解集为的解集为R R，且，且抛物线抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2的开口向上，所以的开口向上，所以=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=+2)=4a-70.4a-70.所以所以a .a2x2且且y3y3，则，则x+yx+y5”5”，容易判断逆否命题为真，故原命题为真，容易判断逆否命题为真，故原命题为真. .答案：答案：真真2.2.证明：已知函数证明：已知函数f(xf(x) )是是(-(-，+)+)上的增函数，上的增函数，a a，bRbR，若，若f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b) )，则，则a+b0.a+b0.【证明【证明】原命题的逆否命题为已知函数原命题的逆否命题为已知函数f(xf(x) )是是(-(-，+ +) )上的增函数，上的增函数，a a，b bR R，若若a+ba+b00，则，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b).).若若a+ba+b00，则，则a-ba-b，b-ab-a，又因为又因为f(xf(x) )在在(-(-，+)+)上是增函数，上是增函数，所以所以f(a)f(-bf(a)f(-b) )，f(bf(b)f(-a)f(-a)，所以所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b) )，即逆否命题为真命题，即逆否命题为真命题. .所以原命题为真命题所以原命题为真命题. .
展开阅读全文