高考数学一轮复习 第8节 正弦定理和余弦定理的应用课件

第第三三章章三三角角函函数、数、解解三三角角形形第第八八节节正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理的的应应用用抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题一些与测量和几何计算有关的实际问题.怎怎 么么 考考 利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变形综合考查常与解三角形的知识及三角恒等变形综合考查. 实际问题中的有关概念及常用术语实际问题中的有关概念及常用术语(1)仰角和俯角：仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图如图)(2)方位角方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点点 的方位角为的方位角为(如图如图)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角方向角：相对于某一正方向的水平角(如图如图)北偏东北偏东：指北方向顺时针旋转：指北方向顺时针旋转到达目标方向到达目标方向东北方向：指北偏东东北方向：指北偏东45或东偏北或东偏北45.其他方向角类似其他方向角类似(4)视角：视角： 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如如 图图)1从从A处望处望B处的仰角为处的仰角为，从，从B处望处望A处的俯角为处的俯角为，则，则，之间的关系是之间的关系是 ()ABC90 D180答案：答案： B解析：解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知根据仰角与俯角的含义，画图即可得知2若点若点A在点在点C的北偏东的北偏东30，点，点B在点在点C的南偏东的南偏东60，且且ACBC，则点，则点A在点在点B的的 ()A北偏东北偏东15 B北偏西北偏西15C北偏东北偏东10 D北偏西北偏西10答案：答案： B解析：解析：如图所示，如图所示，ACB90，又又ACBC，CBA45，而而30，90453015.点点A在点在点B的北偏西的北偏西15.答案：答案： A4(2011上海高考上海高考)在相距在相距2千米的千米的A、B两点处测量目标两点处测量目标点点C，若，若CAB75，CBA60，则，则A、C两点两点之间的距离为之间的距离为_千米千米5(2012泰州模拟泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有一船向正北航行，看见正东方向有相距相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一，另一灯塔在船的南偏东灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行，则这艘船每小时航行_海里海里答案：答案：8 解三角形应用题常有以下几种情形解三角形应用题常有以下几种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这里需作出这些三角形，先解或两个以上的三角形，这里需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程设出未知量，从几个三角形中列出方程(组组)，解方程，解方程(组组)得出所要求的解得出所要求的解(3)实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理弦定理答：该救援船到达答：该救援船到达D点需要点需要1小时小时巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)1(2012兰考质检兰考质检)如图，为了测量河如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点的宽度，在一岸边选定两点A，B望望对岸的标记物对岸的标记物C，测得，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则这条河的宽度为，则这条河的宽度为_答案：答案： 60 m解析：解析：如图在如图在ABC中，过中，过C作作CDAB于于D点，则点，则CD为所求河的为所求河的宽度在宽度在ABC中，中，CAB30，CBA75，ACB75，ACAB120 m.在在RtACD中，中，CDACsin CAD120sin 3060(m)，因此这条河宽为因此这条河宽为60 m.解：解：在在ABD中，设中，设BDx m，则则BA2BD2AD22BDADcos BDA，即即1402x210022100 xcos 60，整理得整理得x2100 x9 6000，解得解得x1160，x260(舍去舍去)，故故BD160 m.冲关锦囊冲关锦囊 求距离问题要注意求距离问题要注意(1)画出示意图后，要首先确定所求量所在的三角形，若其画出示意图后，要首先确定所求量所在的三角形，若其 他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一 确定三角形中求解确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理便于计算的定理.精析考题精析考题3(2012开封模拟开封模拟)如图，测量河对岸的如图，测量河对岸的旗杆高旗杆高AB时，选与旗杆底时，选与旗杆底B在同一水在同一水平面内的两个测点平面内的两个测点C与与D.测得测得BCD75，BDC60，CDa，并在，并在点点C测得旗杆顶测得旗杆顶A的仰角为的仰角为60，则旗杆高，则旗杆高AB为为_4(2012西宁模拟西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔要测量底部不能到达的电视塔AB的的高度，在高度，在C点测得塔顶点测得塔顶A的仰角是的仰角是45，在，在D点测得点测得塔顶塔顶A的仰角是的仰角是30，并测得水平面上的，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度，求电视塔的高度冲关锦囊冲关锦囊 求解高度问题首先应分清求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角 都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解 问题的答案，注意方程思想的运用问题的答案，注意方程思想的运用.例例3(2012苏北四市联考苏北四市联考)如图，为如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的条直线上的A，B，C三点进行测量三点进行测量已知已知AB50 m，BC120 m，于，于A处处测得水深测得水深AD80 m，于，于B处测得水深处测得水深BE200 m，于，于C处测得水深处测得水深CF110 m，求，求DEF的余弦值的余弦值巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)5(2012东北三校模拟东北三校模拟)港口港口A正东方正东方 向的向的B处有一轮船，距离检查站处有一轮船，距离检查站 C 31海里，该轮船从海里，该轮船从B处沿正西处沿正西 方向航行方向航行20海里后到达海里后到达D处观测处观测 站，已知观测站与检查站站，已知观测站与检查站C距离距离 21海里，与港口海里，与港口A距离距离15海里，问检查站海里，问检查站C在港口在港口A的什的什 么位置？么位置？答案：答案：检查站检查站C在港口在港口A的北偏东的北偏东30方向距离港口方向距离港口A24海里的位置海里的位置 冲关锦囊冲关锦囊(1)测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义(2)在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点会正、余弦定理综合使用的特点答题模板答题模板利用正、余弦定理解实利用正、余弦定理解实际问题的答题模板际问题的答题模板考题范例考题范例(12分分)(2010福建高考福建高考)某港口某港口O要将一件重要物品用小艇要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口港口O北偏西北偏西30且与该港口相距且与该港口相距20海里的海里的A处，并正以处，并正以30海里海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以艇沿直线方向以v海里海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达到30海里海里/小时，试小时，试设计航行方案设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小即确定航行方向和航行速度的大小)，使，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由模板建构模板建构 解斜三角形应用题的一般步骤为：解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第一步：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形解量尽量集中在有关的三角形AOB中，建立一个解斜三角中，建立一个解斜三角形的数学模型；形的数学模型；第三步求解：利用余弦定理，把第三步求解：利用余弦定理，把S用用t表示出来表示出来第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解而得出实际问题的解点击此图进入点击此图进入