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第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式coscos+sinsincoscos+sinsin coscos-sinsincoscos-sinsin sincos-cossinsincos-cossin sincos+cossinsincos+cossin tantan1tan tantantan1tan tan2.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式公公 式式 名名 公式公式 二倍角的正弦二倍角的正弦 sin 2=_sin 2=_二倍角的余弦二倍角的余弦 coscos 2=_ 2=_=_=_=_=_二倍角的正切二倍角的正切 tan 2=_tan 2=_2sin cos2sin cos coscos2 2-sin-sin2 22cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 222tan1tan判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确. .（请在括号中打（请在括号中打“”或或“”）（1 1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角）两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意是任意的的.( ).( )（2 2）存在实数）存在实数, ,使等式使等式sin(+)=sin +sinsin(+)=sin +sin 成成立立.( ).( )(3)(3)在锐角在锐角ABCABC中，中，sin Asinsin Asin B B和和cos Acoscos Acos B B大小不确大小不确定定.( ).( )（4 4）公式）公式 可以变形为可以变形为tan +tantan +tan=tan(+)(1-tan tan=tan(+)(1-tan tan ), ),且对任意角且对任意角,都成立都成立. . ( ) ( )（5 5）存在实数）存在实数，使，使tan 2=2tan .( )tan 2=2tan .( )tantantan()1tan tan 【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .对于任意的实数对于任意的实数, , ,两角和与差的正弦、两角和与差的正弦、余弦公式都成立余弦公式都成立. .(2)(2)正确正确. .如取如取=0=0，sin 0=0,sin 0=0,sin(+0)=sin =sin +sinsin(+0)=sin =sin +sin 0. 0.(3)(3)错误错误. . cos(A+Bcos(A+B) )0,0,即即cos Acos B-sin Asincos Acos B-sin Asin B B0.0.sin Asinsin Asin B Bcos Acoscos Acos B. B.AB,2(4)(4)错误错误. .变形可以，但不是对任意角变形可以，但不是对任意角,都成立都成立. .(5)(5)正确正确. .当当=k(kZ=k(kZ) )时，时，tan 2=2tan .tan 2=2tan .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） (5) (5) 1.tan =31.tan =3，则，则 的值等于的值等于( )( )（A A）2 2 （B B）3 3 （C C）4 4 （D D）6 6【解析【解析】选选D. D. 2sin2cos22sin22sin cos2tan 2 36.coscos 2.2.已知已知,均为锐角，且均为锐角，且 则则sin(+sin(+) )的的值是值是( )( )31sin ,cos ,53 46 238 2AB1515122 2CD15（ ）（ ）（ ）（ ）以上均不对【解析【解析】选选B.B.由由,均为锐角，均为锐角， 故故coscos sin(+)=sin cos +cos sinsin(+)=sin cos +cos sin 31sin ,cos ,53 42 2sin 53 ，3142 238 2.5353153.3.下列各式的值为下列各式的值为 的是的是( )( )【解析【解析】选选D.AD.A项：项：B B项：项：C C项项: :D D项：项：14222A 2cos1B 12sin 75122tan 22.5CDsin 15 cos 151tan 22.5 （ ）（ ）（ ）（ ）232cos1cos;1262 2312sin 75cos 150;2 22tan 22.5tan 451;1tan 22.5 11sin 15 cos 15sin 30.24 4.tan 204.tan 20+tan 40+tan 40+ =_.+ =_.【解析【解析】答案：答案：3tan20 tan40tan 20tan 40tan 603,1tan 20 tan 40 由得tan 20tan 4033tan 20 tan 40 , 代入所求得333tan20 tan 403tan 20 tan 403. 5.5.已知已知 则则sin 2=_.sin 2=_.【解析【解析】答案：答案：1sin()43 ，1sin(),43 221sin ()492712sin ()1.4997cos(2 )2977sin 2,sin 2.99 ，即，即79考向考向 1 1 三角函数的求值三角函数的求值 【典例【典例1 1】（1 1）已知）已知 则则sin 2sin 2的值为的值为( )( )4sin,sin cos0,5 2412424ABCD2525525 （ ）（ ）（ ）（ ）（2 2）（）（20132013珠海模拟）若珠海模拟）若是锐角，是锐角， 则则coscos 的值等于的值等于( )( )(3)(3)已知已知为第二象限角，为第二象限角， 则则tan 2tan 2的的值为值为_._.1sin()63，2 612 61AB662 312 31CD43（ ）（ ）（ ）（ ）33cos(),23 【思路点拨【思路点拨】（1 1）由）由sin sin 及及sin cossin cos 0 0可得可得coscos ，再利用倍角公式可解，再利用倍角公式可解. .（2 2）构造角）构造角 展开可求展开可求. .（3 3）由）由 求出求出sin sin ，coscos ，因此可求得，因此可求得tan tan ，再利用倍角公式可解，再利用倍角公式可解. .66 （），3cos()2【规范解答【规范解答】（1 1）选）选A.A.由由又又sin cossin cos 0,0,(2)(2)选选A.A.是锐角，即是锐角，即0 043sin,cos .55 得3cos.5 4324sin 22sin cos 2().5525 2，.66312 2sin()cos().6363cos cos()cos()cossin()sin6666662 23112 61.32326 又，答案：答案：333cos(),233cos(2)2333cos(),sin .233 （ ）由得，即226cos .3sin 2tan .cos 222 ()2tan 2tan 22 2.1tan21 ()2 又为第二象限角，2 2【互动探究【互动探究】本例题本例题(1)(1)中条件不变，如何求解中条件不变，如何求解coscos 2 2的值的值. .【解析【解析】故故2416sin ,sin.525 2167cos 212sin122525 ，7cos 2.25 【拓展提升【拓展提升】三角函数求值的两种类型三角函数求值的两种类型(1)(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数角函数转化为特殊角的三角函数. .(2)(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异的差异. .一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的值代入，从而达到解题的目的. .【提醒【提醒】解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角. .【变式备选【变式备选】已知已知 则则sin(+sin(+)=_.)=_.【解析【解析】又又33,0,cos(),44445 35sin(),413 3,4424 34cos(),sin().4545 330,444 答案：答案：35312sin(),cos(),413413sin()sin()3sin()()4433sin()cos()cos()sin()44444123563().51351365 又6365考向考向 2 2 三角函数化简三角函数化简 【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013冀州模拟）冀州模拟）（2 2）化简）化简 的结果是的结果是( )( )（3 3）23cos 20()2sin 80 321AB 2CD222（ ）（ ）（ ）（ ）22cos2sin 1Acos 1Bcos 1C3cos 1D3cos 1（ ）（ ）（ ）（ ）222cossin_.2tan()cos ()44【思路点拨【思路点拨】(1)(1)将将sinsin2 28080降幂约分即可求解降幂约分即可求解. .（2 2）将）将coscos 2 2利用倍角公式转化求解利用倍角公式转化求解. .（3 3）由于分子是一个平方差，分母中正切函数可转化成弦函）由于分子是一个平方差，分母中正切函数可转化成弦函数，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点数，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点. .【规范解答【规范解答】（1 1）选）选B.B.原式原式= =(2)(2)选选C. C. 3cos 201 cos 160223cos 203cos 202.3cos 1603cos 20222222cos 2sin 12cos 1 1 sin 1 23cos 13cos 1.(3)(3)原式原式= =答案：答案：1 12cos 22tan()cos ()44cos 2cos 2cos 21.cos22sin()cos()sin(2 )442 【互动探究【互动探究】将本例题（将本例题（1 1）中式子改为）中式子改为又将如何求解？又将如何求解？【解析【解析】23sin 702cos 10，23sin 703sin 703cos 202cos 1023cos 202.3cos 202【拓展提升【拓展提升】三角函数化简的技巧、方法和要求三角函数化简的技巧、方法和要求(1)(1)常用技巧：常用技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角. .正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值角的三角函数值. .一些常规技巧：一些常规技巧：“1”1”的代换、和积互化等的代换、和积互化等(2)(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化化(3)(3)化简要求：化简要求：能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使三角函数种数尽量少；使项数使项数尽量少；尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含尽量使被开方数不含三角函数三角函数. .【提醒【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos 21+cos 2=2cos=2cos2 2,1-cos 2=2sin,1-cos 2=2sin2 2形式相似，容易出错，应用时形式相似，容易出错，应用时要加强要加强“目标意识目标意识”. .【变式备选【变式备选】（1 1）【解析【解析】因为因为所以所以又因为又因为所以所以, ,原式原式= =所以，原式所以，原式= =答案：答案：11113cos 2(,2 )_.22222 32 ,2 2111cos 2cos 2cos|cos | cos .222 3,42 21111cos 12sin22222 （）2sin|sin| sin,222sin.2sin2（2 2）【解析【解析】22sin 20cos 803sin20 cos80_. 22sin 20cos 803sin 20 cos 8011(1 cos 40 )(1cos 160 )3sin 20 cos 8022111cos 40cos 1603sin 20 cos (6020 )22111cos 40(cos 120 cos 40sin 120 sin 40 )223sin20 (cos 60 cos 20sin 60 sin 20 ) 答案：答案：2113331cos 40cos 40sin 40sin 40sin 20244423311cos 40(1 cos 40 ).444 14考向考向 3 3 三角函数的综合应用三角函数的综合应用 【典例【典例3 3】（20132013济宁模拟）已知函数济宁模拟）已知函数f(x)= sin xcosf(x)= sin xcos x x+2cos+2cos2 2x-1(xR).x-1(xR).（1 1）求函数）求函数f(xf(x) )的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间 上的最大值和最上的最大值和最小值小值. .（2 2）若）若 求求coscos 2x 2x0 0的值的值. .2 30,2006f(x )x,54 2 ，【思路点拨【思路点拨】（1 1）逆用倍角公式和两角和的正弦公式，化简）逆用倍角公式和两角和的正弦公式，化简成一种三角函数可解成一种三角函数可解. .（2 2）利用）利用f(xf(x0 0) )求求 再构造角求解再构造角求解. .00sin(2x),cos(2x)66，【规范解答【规范解答】（1 1）函数函数f(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为 上为增函数，在区间上为增函数，在区间 上为减函数，上为减函数，又又所以函数所以函数f(xf(x) )在区间在区间 上的最大值为上的最大值为2 2，最小值为，最小值为-1.-1.2f(x)2 3sin xcos x2cos x123(2sin xcos x)(2cos x1)3sin 2xcos 2x2sin(2x),62T.2 f x2sin (2x)0,66在区间,6 2 f 01,f( )2,f( )1,62 0,2（2 2）由（）由（1 1）可知）可知f(xf(x0 0)=2sin (2x)=2sin (2x0 0+ )+ )，又因为，又因为所以所以606f(x )5，03sin (2x)0,6500200000027x,2x,4 26364cos(2x)1 sin (2x),665cos 2xcos (2x)66cos(2x)cos sin(2x)sin 666634 3.10 由，得，从而【拓展提升【拓展提升】三角函数公式和三角函数性质的关系三角函数公式和三角函数性质的关系（1 1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考）两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中查往往渗透在研究三角函数性质中. .需要利用这些公式需要利用这些公式, ,先把函先把函数解析式化为数解析式化为y =Asin(x+y =Asin(x+）的形式）的形式, ,再进一步探讨定义域、再进一步探讨定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. .（2 2）注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，）注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力主要考查基本运算能力【提醒【提醒】辅助角公式：辅助角公式：asin +bcos = (+asin +bcos = (+) )( (其中其中tantan= a,b= a,b为常数为常数).).22ab sinba，【变式训练【变式训练】已知函数已知函数f(x)=2sin xcos x+cosf(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR). 2x(xR).(1)(1)求求f(xf(x) )的最小正周期和最大值的最小正周期和最大值. .(2)(2)若若为锐角，且为锐角，且 求求tan 2tan 2的值的值. .2f(),83【解析【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+cos(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x 2x=sin 2x+cos 2xf(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为 最大值为最大值为222(sin2xcos2x)222sin(2x).42,2 2.为锐角，即为锐角，即 22f(),8322sin(2).231cos 2.3 0,0 2.2 22 2sin 21 cos 2.3sin 2tan 22 2.cos 2 【满分指导【满分指导】应用公式解决三角函数的综合问题应用公式解决三角函数的综合问题 【典例【典例】（1212分）分）(2012(2012广东高考广东高考) )已知函数已知函数 (1)(1)求求A A的值的值. .(2)(2)设设求求cos(+cos(+) )的值的值. .xf(x)Acos(),xR,f( )2.463且43028,0,f(4),f(4),231735 【思路点拨【思路点拨】已知条件已知条件 条件分析条件分析 代入解析式可求代入解析式可求A A 代入解析式可求代入解析式可求sinsin 代入解析式可求代入解析式可求coscos 利用平方关系可求利用平方关系可求cos ,sincos ,sin f( )23430f(4)317 28f(4)35 ,0,2 【规范解答【规范解答】（1 1） 3 3分分（2 2）由（）由（1 1）知）知5 5分分f( )2,Acos()2,31262A2.cos4xf(x)2cos().4614302cos(4)2cos(),43621715sin ,1430f(4),3177 12842cos(4)2cos ,cos .43628f(4)53755 又，分10cos()cos cos sin sin 8415313.121783,0,cos ,sin .2175517585 又分分【失分警示【失分警示】（下文（下文见规范解答过程）见规范解答过程）1.1.（20122012江西高考）若江西高考）若 则则tan2=tan2=（ ）【解析【解析】选选B.B.因为因为 所以所以解方程得解方程得tantan=-3,=-3,根据倍角公式得根据倍角公式得 故选故选B.B.sincos1sincos2，3344ABCD4433 （ ）（ ）（ ）（ ）sincos1sincos2，tan11tan12，3tan24 ，2.2.（20132013韶关模拟）已知韶关模拟）已知 若若a=fa=f（lg5lg5），）， 则（则（ ）（A A）a+ba+b=0 =0 （B B）a-b=0a-b=0（C C）a+ba+b=1 =1 （D D）a-b=1a-b=12f(x)sin (x),41bf(lg ),5【解析【解析】选选C.a=f(lgC.a=f(lg 5)= 5)=2sin (lg 5)421 cos(2lg 5)1 sin(2lg 5)22211 cos(2lg )1152bf(lg )sin (lg )55421 sin(2lg 5)ab1.2，则可得3.(20133.(2013东莞模拟东莞模拟) )计算计算 的结的结果等于果等于( )( )【解析【解析】选选A.sinA.sin 44 44cos 14cos 14-cos 44-cos 44cos 76cos 76=sin 44=sin 44cos 14cos 14-cos 44-cos 44sin 14sin 14=sin(44=sin(44-14-14) )=sin 30=sin 30= =1323ABCD2322（ ）（ ）（ ）（ ）1.2sin 44 cos 14cos 44 cos 764.(20124.(2012江苏高考江苏高考) )设设为锐角，若为锐角，若 则则 的值为的值为_4cos65（），sin212（）【解析【解析】因为因为 且且为锐角，为锐角，所以所以所以所以答案答案: :4cos()65，3(0,),sin(),6265所以3424sin(2)2sin()cos()23665525，27cos22cos () 1,3625sin(2)sin(2)123417 2sin(2)coscos(2)sin.343450 （）以17 2501.1.设函数设函数f(xf(x)=)=ab, ,其中其中a=(2cos x,1),=(2cos x,1),b=(cos=(cos x, sin 2x), x, sin 2x),xRxR，若，若f(xf(x)= )= 则则x=( )x=( )313x,3 3 ，ABCD4466（ ）（ ）（ ）（ ）【解析【解析】选选B.B.依题设，依题设，2f(x)2cos x3sin2x12sin(2x).612sin(2x)13,63sin(2x).625x,2x,332662x,x.634 由得即2.2.已知函数已知函数 其最大值为其最大值为M M，最，最小值为小值为m m，则，则M-mM-m等于等于( )( )（A A）1 1 （B B）2 2 （C C）3 3 （D D）4 4【解析【解析】选选B.B.由已知得由已知得231f(x)sin 2xcos x,xR,2231f(x)sin 2xcos 2x122sin(2x) 1.6maxminxR,f(x)0,f(x)2. Mm2.3.3.已知已知a=(sin x,cos(-x),=(sin x,cos(-x),b=(2cos x,2cos x)=(2cos x,2cos x)，函数，函数f(xf(x)=)=ab+1,+1,则则 的值为的值为_._.【解析【解析】因为因为f(xf(x)=)=ab+1=2sin xcos+1=2sin xcos x+cos(-x) x+cos(-x)2cos x+12cos x+1=2sin xcos=2sin xcos x-2cos x-2cos2 2x+1x+1=sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x答案：答案：-1-1f()42sin(2x)4f()1.4 ，所以
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