2018届河北省定州中学（高补班）下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018届河北省定州中学（高补班）下学期第一次月考数学试题（解析版）一、单选题1. 若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为，所以在内有两解， 令，则，所以在为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值， 当时， 当时， 所以，所以， 即实数的取值范围是，故选D.2. 一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ）A. 5 B. 25 C. 55 D. 75【答案】D【解析】由题意知：小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，共有以下四种情形：一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况；二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有种情况；三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行每次飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况；四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有种情况；故而共有种情况，故选：D3. 设分别为双曲线的左、右顶点， 是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，点P在双曲线上，得，所以，即 设函数，,所以f(x)在区间单调递减，在区间单调递增。，即,又均值不等式等号成立条件当且仅当，所以.选C.【点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点，另一动点，则（2）椭圆上任意关于原点对称的两点，另一动点，则4. 已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有 （ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】D【解析】由题意得，f(x)=0有三个零点,-1,1,0,而有两个解-1,和1. 有四个解，无解。所以共6个解，选D.【点睛】复合函数零点问题，一般把内函数当整体，再由外到内或由内到外解决。5. 已知圆的方程为，直线与圆交于A，B两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）A. 1 B. 6 C. 1或7 D. 2或6【答案】C【解析】圆可化标准方程：直线可变形为，即圆心为（1，0），半径r=1,直线过定点（2，2），由面积公式 所以当时，即点到直线距离为时取最大值。，解得k=1或7,选C.【点睛】本题选择合适是三角形面积公式是关键，选择，使运算更简单，也更好理解。6. 如图，在ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2BDBC；类似地有命题：在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有SSBCMSBCD.上述命题是 ()A. 真命题B. 增加条件“ABAC”才是真命题C. 增加条件“M为BCD的垂心”才是真命题D. 增加条件“三棱锥ABCD是正三棱锥”才是真命题【答案】A【解析】因为AD平面ABC，AE平面ABC，BC 平面ABC，所以ADAE，ADBC在ADE中，AE2MEDE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM平面BCD，AMBC，所以BC平面ADE，所以BCDE，BCAE又，所以选A7. 设， 分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由分别是函数和的零点， 所以，即，因为，所以，则，所以，即，所以，且 所以，则，即的取值范围是，故选D.8. 设， 分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B9. 设函数 ，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，且函数在为单调递减函数，则函数在为单调递增函数，又因为，所以，解得，故选C.10. 已知函数在R上是单调递增函数,则的最小值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】 由题意的， 因为函数在上单调递增，所以满足，可得，且 所以，当且仅当时等号成立，所以，故选A. 点睛：本题考查了函数的单调性的应用，以及基本不等式求最值问题，解答中根据函数在上单调递增，列出不等式组，求解，代入，利用基本不等式求最值是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.11. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A. 23 B. 42 C. 12 D. 52【答案】A【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又 = ，当且仅当时等号成立。选A.【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交于，则有，抛物线的极坐标方程为，所以 ，所以，即证。12. 红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种【答案】D【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.二、填空题13. 在中, , .若以为焦点的双曲线经过点,则该双曲线的离心率_.【答案】【解析】 由题意，以为焦点的双曲线过点，且 所以，且， 又由双曲线的定义可知，所以， 在中，由余弦定理可得，即，所以且，解得点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据三角形的余弦定理转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)14. 设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为_.【答案】【解析】由题意得，设与在公共点处的切线相同，由题意得，即，由可得或（舍去），设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，实数的最大值为答案：点睛：本题以导数的几何意义为载体，考查函数最值的求法具体来讲就是根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求函数的最大值的问题处理，最后根据导数求解即可15. 锐角中，角的对边分别为，若，则取值范围是_【答案】16. 已知椭圆E： (ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】 如图所示，椭圆的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 所以离心率点睛：本题考查了椭圆的定义及几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)三、解答题17. 动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点.（1）求曲线的方程；（2）求证： ；【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（）由题意，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，即动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，即可求解抛物线的方程.（）设直线的方程为，由得，可得直线和直线的方程，求的，即可证得.试题解析：（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线故其方程为.（2）证：设直线的方程为： 由得： 设， ，则， 由得： ，直线的方程为： 直线的方程为： -得： ，即将代入得： 故， 18. 已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，记函数在上的最小值为，求证： .【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求导得，结合，由点斜式可得切线方程；（2）由，得，令，则在上单调递增，又，则存在使得成立，从而得，求导求范围即可.试题解析：（1）由题意知，则所求切线方程为，即.（2）由题意知，.令，则在上单调递增，又，则存在使得成立，.当时，当时，.令，则，.点睛：利用导数求函数的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，得到最值.