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相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、添加平行线构造“A”“X”型例1:如图,D是ABC的BC边上的点,BD:DC=2:1,E是AD的中点,求:BE:EF的值. 解法一:过点D作CA的平行线交BF于点P,则 PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF BE:EF=5:1.解法二:过点D作BF的平行线交AC于点Q, BE:EF=5:1.解法三:过点E作BC的平行线交AC于点S,解法四:过点E作AC的平行线交BC于点T,BD=2DC BE:EF=5:1.变式:如图,D是ABC的BC边上的点,BD:DC=2:1,E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, 求AF:CF的值.解法一:过点D作CA的平行线交BF于点P,解法二:过点D作BF的平行线交AC于点Q,解法三:过点E作BC的平行线交AC于点S,解法四:过点E作AC的平行线交BC于点T,推荐精选例2:如图,在ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使ADAE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证: (证明:过点C作CG/FD交AB于G)例3:如图,ABC中,ABAC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证明:ABDF=ACEF.分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。.方法一:过E作EM/AB,交BC于点M,则EMCABC(两角对应相等,两三角形相似).方法二:过D作DN/EC交BC于N.例4:在ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。求证:EFBC=ACDF 证明:过D作DGBC交AB于G,则DFG和EFB相似, BEAD, 由DGBC可得ADG和ACB相似, 即EFBCACDF.例5:已知点D是BC的中点,过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F,求证:推荐精选分析:利用比例式够造平行线,通过中间比得结论 .(或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.)例6:已知:在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是高,求证:BC2=2ACCD分析:本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题;让它归属一条线段,找到这一线段2倍是哪一线段.例7: 如图,ABC中,AD是BC边上中线,E是AC上一点,连接ED且交AB的延长线于F点.求证:AE:EC=AF:BF.分析:利用前两题的 思想方法,借助中点构造中位线,利用平行与2倍关系的 结论,证明所得结论. 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似. 例8:在ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CFAB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证:BP=PEPF 分析:在同一直线上的三条线段成比例,可以通过中间比转化,也可以通过线段相等,把共线的线段转化为两个三角形中的线段,通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系,有利于证明. 推荐精选二、作垂线构造相似直角三角形例9:如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证: 证明:过B作BMAC于M,过D作DNAC于N AM:AE=AB:AC (1) (1)+(2)得例10:ABC中,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MNCP,交AC、BC于M、N,求证:证明:过P作PEAC于E,PFCB于F,则CEPF为矩形 PF EC AB=45 RtAEP=RtPFB EC=PF (1) 在ECP和CNM中CPMN于Q QCN+QNC=90又 QCN+QCM=90 MCQ=CNQRtPECRtMCN 即 (2) 由(1)(2)得三、作延长线构造相似三角形例11. 如图,在梯形ABCD中,ADBC,若BCD的平分线CHAB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求HBC的面积。分析:因为问题涉及四边形AHCD,所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解:延长BA、CD交于点P CHAB,CD平分BCD CB=CP,且BH=PH BH=3AH PA:AB=1:2 PA:PB=1:3 ADBC PADPBC推荐精选例12. 如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG交AB于G,求证:FG=CFBF分析:欲证式即 由“三点定形”,BFG与CFG会相似吗?显然不可能。 (因为BFG为Rt),但由E为CD的中点,可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H,则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFB FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF 四、利用中线的性质构造相似三角形例13:如图,中,ABAC,AEBC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC.解:取BC的中点M,连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DCDBC=DCB CAM=C=DBC MACDBC 又 DC=1 MC= BC (1)又 RtAECRtBAC 又 EC=1 (2) 由(1)(2)得, 小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造MACDBC是解题关键 (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!) 推荐精选
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