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第三十讲 数据的描述与数据的代表1.1.了解：算术平均数、加权平均数、中位数和众数的概念，极了解：算术平均数、加权平均数、中位数和众数的概念，极差、方差、标准差的定义差、方差、标准差的定义. .2.2.掌握：一组数据的平均数、中位数和众数的求法，体会它们掌握：一组数据的平均数、中位数和众数的求法，体会它们在实际问题中的意义在实际问题中的意义. .3.3.会：求一组数据的平均数、中位数和众数，根据具体问题，会：求一组数据的平均数、中位数和众数，根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度；计算一组数据的极能选择合适的统计量表示数据的集中程度；计算一组数据的极差、方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度；会用一差、方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度；会用一组数据的特征量分析、解决简单的实际问题，并做出统计决策组数据的特征量分析、解决简单的实际问题，并做出统计决策与推断与推断. .一、数据的代表一、数据的代表1.1.数据的代表有数据的代表有:_:_、_、_._.2.2.平均数平均数(1)(1)算术平均数算术平均数: =_(n: =_(n个数据个数据x x1 1,x,x2 2，x xn n) )；(2)(2)加权平均数加权平均数: =_.: =_.平均数平均数众数众数中位数中位数x12n1(xxx )nx1 12 2k k12kx fx fx ffff3.3.众数众数: :一组数据中出现一组数据中出现_的那个数据叫做这组数据的那个数据叫做这组数据的众数的众数. .4.4.中位数中位数:n:n个数据按个数据按_排列排列, ,处于处于_位置的一个位置的一个数数( (或最中间或最中间_)_)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数. .次数最多次数最多大小顺序大小顺序最中间最中间两个数据的平均数两个数据的平均数【即时应用【即时应用】1.1.下列数据下列数据5 5，3 3，6 6，7 7，6 6，3 3，3 3，4 4，7 7，3 3，6 6的众数是的众数是_._.2.2.某品牌专卖店对上个月销售的男运动鞋尺码统计如下：这组某品牌专卖店对上个月销售的男运动鞋尺码统计如下：这组统计数据中的众数是统计数据中的众数是_码码. .3 34141尺码尺码( (码码) )3838393940404141424243434444销售量销售量( (双双) )6 68 81414202017173 31 13.3.在综合实践课上，五名同学做的作品的数量在综合实践课上，五名同学做的作品的数量( (单位：件单位：件) )分别分别是：是：5 5， 7 7， 3 3， 6 6， 4 4，则这组数据的中位数是，则这组数据的中位数是_件件. .4.4.某车间某车间5 5名工人日加工零件数分别为名工人日加工零件数分别为6 6，1010，4 4，5 5，5 5，则这，则这组数据的平均数是组数据的平均数是_._.5 56 6二、数据的波动二、数据的波动1.1.刻画数据的波动情况的有刻画数据的波动情况的有:_:_、_、_._._反映数据的波动范围反映数据的波动范围,_,_、_反映数据的波动大小反映数据的波动大小. .2.2.极差极差: :一组数据中最大数据与最小数据的差一组数据中最大数据与最小数据的差. .3.3.方差方差: :是各个数据与平均数之差的是各个数据与平均数之差的_._.即即s s2 2=_.=_.4.4.标准差标准差: :是方差的是方差的_，即，即s=_.s=_.极差极差方差方差标准差标准差极差极差方差方差标准差标准差平方的平均数平方的平均数22212n1(xx)(xx)(xx)n算术平方根算术平方根2s【即时应用【即时应用】1.1.甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6 6次，统次，统计两人的成绩得平均数计两人的成绩得平均数x x甲甲=x=x乙乙，方差，方差s s甲甲2 2s s乙乙2 2，则成绩较稳，则成绩较稳定的是定的是_(_(填填“甲甲”或或“乙乙”).).2.2.一组数据一组数据1010，1414，2020，2424，1919，1616的极差是的极差是_._.3.3.一组数据一组数据6,7,8,9,106,7,8,9,10的方差是的方差是_，标准差是，标准差是_._.4.4.甲，乙，丙，丁四位同学在四次数学测验中，他们成绩的甲，乙，丙，丁四位同学在四次数学测验中，他们成绩的平均数相同，方差分别为平均数相同，方差分别为s s甲甲2 2=5.5=5.5，s s乙乙2 2=7.3=7.3，s s丙丙2 2=8.6=8.6，s s丁丁2 2 =4.5=4.5，则成绩最稳定的是，则成绩最稳定的是_._.甲甲14142 22丁丁【记忆助手【记忆助手】“三数三数” 中位数，概念清，排题序，处当中中位数，概念清，排题序，处当中. . 数为偏，两平均，众数判断要整理数为偏，两平均，众数判断要整理. . 数据出现当最多，众数、中位数、平均数数据出现当最多，众数、中位数、平均数. . 各有局限各有优，不同侧面表集中各有局限各有优，不同侧面表集中. . 【核心点拨【核心点拨】1.1.平均数、众数、中位数都是反映一组数据的集中趋势的统计平均数、众数、中位数都是反映一组数据的集中趋势的统计量量. .众数代表一组数据的众数代表一组数据的“多数水平多数水平”，中位数代表一组数据的，中位数代表一组数据的“中等水平中等水平”. .2.2.一般来说，一组数据的极差、方差一般来说，一组数据的极差、方差( (或标准差或标准差) )越小，这组数越小，这组数据就越稳定据就越稳定. .平均数、众数、中位数平均数、众数、中位数中考指数：中考指数： 知知识识点点睛睛平均数、众数、中位数都是从不同的侧面反映一组数平均数、众数、中位数都是从不同的侧面反映一组数据集中趋势的统计量：据集中趋势的统计量：(1)(1)平均数：优点是应用较为广泛，它的大小与一组数平均数：优点是应用较为广泛，它的大小与一组数据中的每一个数据都有关，能够较为全面利用并能反据中的每一个数据都有关，能够较为全面利用并能反映出一组数据的信息，缺点是它容易受到个别数据太映出一组数据的信息，缺点是它容易受到个别数据太大或太小变化的影响大或太小变化的影响. .(2)(2)中位数：优点是计算简单，不易受到个别数据太大中位数：优点是计算简单，不易受到个别数据太大或太小变化的影响，缺点是不能够充分利用所有数据或太小变化的影响，缺点是不能够充分利用所有数据的信息的信息. .(3)(3)众数：优点是当一组数据中某些数据多次重复出现众数：优点是当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数能够较为准确地描述一组数据的集中趋势时，众数能够较为准确地描述一组数据的集中趋势. . 特特别别提提醒醒1.1.一组数据的平均数和中位数都只有一个，而一组一组数据的平均数和中位数都只有一个，而一组数据的众数可能没有，也可能不止一个数据的众数可能没有，也可能不止一个. .2.2.一组数据的平均数和中位数可能不是这一组数据一组数据的平均数和中位数可能不是这一组数据中的某个数，而一组数据的众数一定是这组数据中中的某个数，而一组数据的众数一定是这组数据中的一个数据的一个数据. .【例【例1 1】(2012(2012宜宾中考宜宾中考) )宜宾今年宜宾今年5 5月某天各区县的最高气温月某天各区县的最高气温如下表：如下表：则这则这1010个区县该天最高气温的众数和中位数分别是个区县该天最高气温的众数和中位数分别是( )( )(A)32,31.5 (B)32,30(A)32,31.5 (B)32,30(C)30,32 (D)32,31(C)30,32 (D)32,31区区县县翠屏翠屏区区南南溪溪长长宁宁江江安安宜宜宾宾县县珙珙县县高高县县兴兴文文筠筠连连屏屏山山最最高高气气温温() )3232323230303232303031312929333330303232【思路点拨【思路点拨】从小到大排列数据从小到大排列数据 找出现次数最多的得到众数找出现次数最多的得到众数 计算中间两个数的平均数得中位数计算中间两个数的平均数得中位数【自主解答【自主解答】选选A.A.因因3232出现次数最多，故众数是出现次数最多，故众数是3232；由小到大；由小到大排列：排列：29,30,30,3029,30,30,30，31,32,32,32,32,3331,32,32,32,32,33，其中最中间两个数，其中最中间两个数的平均数为的平均数为(31+32)(31+32)2=31.52=31.5，即中位数是，即中位数是31.5.31.5.【对点训练【对点训练】 1.(20121.(2012黄石中考黄石中考)2012)2012年年5 5月某日我国部分城市的最高气温月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：统计如下表所示：请问这组数据的平均数是请问这组数据的平均数是( )( )(A)24 (B)25 (C)26 (D)27(A)24 (B)25 (C)26 (D)27【解析【解析】选选C. C. (27+27+24+25+28+28+23+26)=26,(27+27+24+25+28+28+23+26)=26,选选C.C.城市城市武汉武汉成都成都北京北京上海上海海南海南南京南京拉萨拉萨深圳深圳气温气温()()27272727242425252828282823232626182.(20122.(2012湘潭中考湘潭中考) )已知一组数据已知一组数据3,a,4,53,a,4,5的众数为的众数为4 4，则这组，则这组数据的平均数为数据的平均数为( )( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【解析【解析】选选B.B.由题意得由题意得a=4a=4，所以其平均数为，所以其平均数为(3+4+4+5)(3+4+4+5)4=4.4=4.3.(20123.(2012衢州中考衢州中考) )某中学篮球队某中学篮球队1313名队员的年龄情况如下：名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄中的中位数是则这个队队员年龄中的中位数是( )( )(A)15.5 (B)16 (C)16.5 (D)17(A)15.5 (B)16 (C)16.5 (D)17【解析【解析】选选B.B.把所有的数据按照从小到大把所有的数据按照从小到大( (从大到小从大到小) )排列，这排列，这组数据的个数是奇数个，正中间的数是中位数组数据的个数是奇数个，正中间的数是中位数.这组数据有这组数据有1313个，是奇数个，则第个，是奇数个，则第7 7个数是中位数个数是中位数. .将这组数据从小到大排列，将这组数据从小到大排列，第第7 7个数是个数是1616，中位数是中位数是16.16.故选故选B.B.年龄年龄( (单位：单位：岁岁) )1515161617171818人数人数3 34 45 51 14.(20124.(2012凉山州中考凉山州中考) )一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200200双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：一般来讲，鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关一般来讲，鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的( )( )(A)(A)平均数平均数 (B)(B)中位数中位数 (C)(C)众数众数 (D)(D)方差方差 尺码尺码/ /厘米厘米232323.523.5242424.524.5252525.525.52626销售销售量量/ /双双5 5101022223939565643432525【解析【解析】选选C.C.最畅销的鞋子也就是卖出的鞋的尺码组成的这组最畅销的鞋子也就是卖出的鞋的尺码组成的这组数据中出现次数最多的，即众数数据中出现次数最多的，即众数. .5.(20115.(2011株洲中考株洲中考) )为建设绿色株洲，某校初三为建设绿色株洲，某校初三08010801、08020802、08030803、08040804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树则这四个班平均每班植树_株株. .【解析【解析】植树的总数除以班级数即可，植树的总数除以班级数即可，答案：答案：2525班次班次植树株数植树株数080108012222080208022525080308033535080408041818222535 1825.4极差、方差、标准差极差、方差、标准差中考指数：中考指数： 知知识识点点睛睛1.1.极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度( (数据波数据波动大小动大小) )的量的量. .2.2.一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定稳定. .3.3.当一组数据的平均水平接近时，要以分析这组数据的当一组数据的平均水平接近时，要以分析这组数据的方差或标准差来判定其稳定性方差或标准差来判定其稳定性. . 特特别别提提醒醒一组数据的极差、方差、标准差越小，并不表示这组数一组数据的极差、方差、标准差越小，并不表示这组数据越好，只能说明这组数据的波动较小据越好，只能说明这组数据的波动较小. .【例【例2 2】(2011(2011滨州中考滨州中考) )甲、乙两名同学进行射击训练，在甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶相同条件下各射靶5 5次，成绩统计如下：次，成绩统计如下：若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？谁的射击成绩更稳定些？命中环数命中环数7 78 89 91010甲命中相应环数的次甲命中相应环数的次数数2 22 20 01 1乙命中相应环数的次乙命中相应环数的次数数1 13 31 10 0【思路点拨【思路点拨】 加权平均数的定义加权平均数的定义 计算平均数计算平均数 方差的定义方差的定义 计算方差计算方差 结果结果【自主解答【自主解答】甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为: : (7 (72+82+82+102+101)=81)=8， (7(71+81+83+93+91)=81)=8，s s甲甲2 2= = 2 2(7-8)(7-8)2 2+2+2(8-8)(8-8)2 2+(10-8)+(10-8)2 2=1.2=1.2，s s乙乙2 2= = (7-8)(7-8)2 2+3+3(8-8)(8-8)2 2+(9-8)+(9-8)2 2=0.4.=0.4.ss甲甲2 2ss乙乙2 2，乙同学的射击成绩比较稳定乙同学的射击成绩比较稳定. .1x5甲1x5乙1515【对点训练【对点训练】 6.(20126.(2012达州中考达州中考)2011)2011年达州市各县年达州市各县( (市、区市、区) )的户籍人口统的户籍人口统计表如下：计表如下：则达州市各县则达州市各县( (市、区市、区) )人口数的极差和中位数分别是人口数的极差和中位数分别是( )( )(A)145(A)145万人万人 130130万人万人 (B)103(B)103万人万人 130130万人万人(C)42(C)42万人万人 112112万人万人 (D)103(D)103万人万人 112112万人万人县县( (市、区市、区) ) 通川通川区区 达县达县 开江开江县县 宣汉宣汉县县 大竹大竹县县 渠县渠县 万源万源市市 人口数人口数( (万万人人) ) 42 42 135 135 60 60 130 130 112 112 145 145 59 59 【解析【解析】选选D.D.极差为极差为145-42=103(145-42=103(万人万人) )；先把人口数按从小到；先把人口数按从小到大的顺序排列，中间的数是大的顺序排列，中间的数是112112万人；因此，这组数据的极差是万人；因此，这组数据的极差是103103万人，中位数是万人，中位数是112112万人万人. .7.(20117.(2011丹东中考丹东中考) )如果一组数据如果一组数据x x1 1,x,x2 2,x,xn n的方差是的方差是3 3，则，则另一组数据另一组数据x x1 1+5,x+5,x2 2+5,+5,，x xn n+5+5的方差是的方差是( )( )(A)3 (B)8 (C)9 (D)14(A)3 (B)8 (C)9 (D)14【解析【解析】选选A.A.分析题中数据，第二组数据的每一项都比第一组分析题中数据，第二组数据的每一项都比第一组数据的每一项多数据的每一项多5 5，所以，所以 ，则根据方差公式：，则根据方差公式：比较两组数据的方差结果，比较两组数据的方差结果，s s2 22 2=s=s1 12 2=3.=3.21xx52222112n1sxxxxxxn2222212n1sx5(x5)x5(x5)x5x5n 22212n1xxxxxx,n【拓展延伸【拓展延伸】一组数据的规律性变化与其平均数、方差的规律一组数据的规律性变化与其平均数、方差的规律变化之间的关系：变化之间的关系：平均数平均数方差方差x x1 1,x,x2 2, ,x,xn ns s2 2x x1 1+a,x+a,x2 2+a,+a,x,xn n+a+as s2 2kxkx1 1,kx,kx2 2, ,kx,kxn nk k2 2s s2 2kxkx1 1+a,kx+a,kx2 2+a,+a,kx,kxn n+a+ak k2 2s s2 2xxakxkxa8.(20128.(2012德阳中考德阳中考) )已知一组数据已知一组数据1010，8 8，9 9，x x，5 5的众数是的众数是8 8，那，那么这组数据的方差是么这组数据的方差是( )( )(A)2.8 (B) (C)2 (D)5(A)2.8 (B) (C)2 (D)5【解析【解析】选选A.A.这组数据的众数是这组数据的众数是8 8，x=8.x=8.这组数据的平均这组数据的平均数是数是 根据方差公式计算根据方差公式计算s s2 2= = (10-8)(10-8)2 2+ +(8-8)(8-8)2 2+(9-8)+(9-8)2 2+(8-8)+(8-8)2 2+(5-8)+(5-8)2 2=2.8.=2.8.14310898585 ，159.(20129.(2012青岛中考青岛中考) )某次知识竞赛中，某次知识竞赛中，1010名学生的成绩统计名学生的成绩统计如下：如下：则下列说法正确的是则下列说法正确的是( )( )(A)(A)学生成绩的极差是学生成绩的极差是4 4(B)(B)学生成绩的众数是学生成绩的众数是5 5(C)(C)学生成绩的中位数是学生成绩的中位数是8080分分(D)(D)学生成绩的平均数是学生成绩的平均数是8080分分分数分数( (分分) )6060707080809090100100人数人数( (人人) )1 11 15 52 21 1【解析【解析】选选C.C.因为这因为这1010名学生中，中间两名学生的成绩都是名学生中，中间两名学生的成绩都是8080分，所以学生成绩的中位数是分，所以学生成绩的中位数是8080分分. .10.(201210.(2012株洲中考株洲中考) )市运会举行射击比赛，校射击队从甲、市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛乙、丙、丁四人中选拔一人参赛. .在选拔赛中，每人射击在选拔赛中，每人射击1010次，次，计算他们计算他们1010发成绩的平均数发成绩的平均数( (环环) )及方差如下表及方差如下表. .请你根据表中请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是数据选一人参加比赛，最合适的人选是_. _. 甲甲乙乙丙丙丁丁平均数平均数8.28.28.08.08.08.08.28.2方差方差2.12.11.81.81.61.61.41.4【解析【解析】从平均数来看，甲和丁的成绩比另外两个同学的成绩从平均数来看，甲和丁的成绩比另外两个同学的成绩优秀，在甲和丁中，甲的方差大于丁的方差，所以丁的成绩较优秀，在甲和丁中，甲的方差大于丁的方差，所以丁的成绩较稳定，所以最合适的人选是丁稳定，所以最合适的人选是丁. .答案：答案：丁丁【创新命题【创新命题】统计知识在决策中的应用统计知识在决策中的应用【例】【例】(2011(2011宿迁中考宿迁中考) )省射击队为从甲、乙两名运动员中选省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表表( (单位：环单位：环) )：第一第一次次第二第二次次第三第三次次第四第四次次第五第五次次第六第六次次甲甲10108 89 98 810109 9乙乙10107 7101010109 98 8(1)(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是_环，乙的环，乙的平均成绩是平均成绩是_环；环；(2)(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；(3)(3)根据根据(1)(1)、(2)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适合适? ?请说明理由请说明理由【解题导引【解题导引】【规范解答【规范解答】(1)9 9(1)9 9计算平均数计算方差比较结果做出决策 2222222222222212 s109899989109996121 10 1 10631s10979109109998961414 1 10 163 甲乙 ；(3)(3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适【名师点评【名师点评】通过对统计知识在决策中的应用的分析和总结，通过对统计知识在决策中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创创新新点点拨拨 此类题目的特点是：给出几组数据，通过对几组数据情此类题目的特点是：给出几组数据，通过对几组数据情况的分析，对实际问题作出决策况的分析，对实际问题作出决策. .解题时既要比较统计解题时既要比较统计量的大小，又要与实际问题结合，灵活决策量的大小，又要与实际问题结合，灵活决策. .解解题题启启示示 解答此类题目时，应首先比较几组数据的平均数，在平解答此类题目时，应首先比较几组数据的平均数，在平均数相同的情况下，再通过计算方差，比较几组数据的均数相同的情况下，再通过计算方差，比较几组数据的波动大小波动大小. .另外，在实际问题中，还应具体问题具体分另外，在实际问题中，还应具体问题具体分析，如数据的变化趋势、最高值和最低值、众数、中位析，如数据的变化趋势、最高值和最低值、众数、中位数等数等. .(2011(2011雅安中考雅安中考) )某初中数学老师要从甲、乙两位学生中选一某初中数学老师要从甲、乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲、乙两人前名参加数学竞赛，甲、乙两人前5 5学期的数学成绩如下表：学期的数学成绩如下表：第一学第一学期期第二学第二学期期第三学第三学期期第四学第四学期期第五学第五学期期 甲甲757580 80 858590909595乙乙 95958787888880807575(1)(1)分别求出甲、乙两人前五学期的数学平均成绩分别求出甲、乙两人前五学期的数学平均成绩. .(2)(2)在下图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图在下图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图. .(3)(3)如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由说明理由. .【解析【解析】(1)(1)甲的平均成绩甲的平均成绩=(75+80+85+90+95)=(75+80+85+90+95)5=855=85，乙的平均成绩乙的平均成绩=(75+80+87+88+95)=(75+80+87+88+95)5=85.5=85.(2)(2)如图，如图，(3)(3)派甲去，因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势派甲去，因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势. .
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