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直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面的相对位置的相对位置直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直目录 直线与平面相交直线与平面相交利用平面有积聚性的投影求利用平面有积聚性的投影求线面的交点线面的交点 例例 求直线求直线ABAB与铅垂面与铅垂面CDECDE的交点。的交点。X XO Oc cd de ec ce ed da ab bk kk kd dc ce eV VHHa ab bk kC CD DE EA AB Bk kK Kb ba a垂直面与一般线相交 由由ABAB与平面与平面CDECDE的交点，的交点，向上作垂线，与向上作垂线，与a b a b 交于交于k k ，则点则点K K（k k，k k）即为交点。即为交点。 可见性判断可见性判断：线面相交，：线面相交，交点把直线交点把直线ABAB分为分为AKAK和和BKBK两两段。由水平投影可看出，段。由水平投影可看出，AKAK在平面之前，所以在平面之前，所以a k a k 为可为可见，见，b k b k 与平面重影部分为与平面重影部分为不可见（用虚线画出）。不可见（用虚线画出）。e ec cd db ba a 直线与平面相交直线与平面相交利用直线有积聚性的投影求线面交点利用直线有积聚性的投影求线面交点 例例 求铅垂线求铅垂线ABAB与平面与平面CDECDE的交点。的交点。 因交点的因交点的H H面投影与直线面投影与直线ABAB的积聚投影重合，又因交的积聚投影重合，又因交点也属于平面，故可用平面点也属于平面，故可用平面内取点的方法，求交点的内取点的方法，求交点的V V面投影。过面投影。过a a（b b）作辅助线作辅助线dfdf，并求出，并求出d df f与与a ab b的交点的交点k k。 从从HH投影可看出投影可看出, ,m m在前，在前，n n在后，故在后，故b bk k可见，可见，a ak k与与平面的重影部分为不可见。平面的重影部分为不可见。X XO O（k k）f ff fe ee ec cd dd dC Ck k重影点重影点a ab ba(b)a(b)可见性判断：可见性判断：n n（m m）（利用重影点（利用重影点m m和和n n来判断）来判断）m m （n n）垂直线与一般面相交 平面与平面相交平面与平面相交关键是求平面与平面的公有线关键是求平面与平面的公有线交线交线两投影面垂直面相交两投影面垂直面相交交线是一条垂直于该投影面的垂直线。交线是一条垂直于该投影面的垂直线。HHX XO OR RV VQ QQ QHHS SV Vc cd d（d d）c cP PHHP PA AB B交线垂直交线垂直 于于HH面面Q QHHP PHHa ab ba a（b b）X XO O交线是交线是铅垂线铅垂线交线是交线是正垂线正垂线二垂直面相交 平面与平面相交平面与平面相交关键是求平面与平面的公有线关键是求平面与平面的公有线交线交线 例例 求铅垂面求铅垂面P P与三角形与三角形ABCABC的交线，并判断其投影的可见性。的交线，并判断其投影的可见性。一般面与投影面垂直面相交一般面与投影面垂直面相交可利用平面有积聚性的投影求出两平面的交线。可利用平面有积聚性的投影求出两平面的交线。 分别过分别过acac与与p p的交点的交点m m和和bcbc与与p p的交点的交点n n向上作垂线，向上作垂线，与与a ac c和和b bc c分别相交于分别相交于m m和和n n；连接；连接m mn n即为交线。即为交线。 从从HH投影可知，投影可知，amnbamnb在平在平面面p p之前，所以之前，所以V V投影投影a am mn nb b为可见。为可见。m mc cn n 与与p p的重影的重影部分为不可见。部分为不可见。a ab bc cX XO Op pHHp pc cb ba am mm mn nn n不可见不可见垂直面与一般面相交可见可见 平面与平面相交平面与平面相交 例例 求正六棱锥被正垂求正六棱锥被正垂面面P PV V 截切后的截交线。截切后的截交线。 只需分别求出正垂面只需分别求出正垂面P PV V 与与正六棱锥各棱面的交线。正六棱锥各棱面的交线。为求交线，可求出为求交线，可求出P PV V 与各与各条棱线的交点后依次连之条棱线的交点后依次连之。P PV Vs ss sa af fb bc ce ec c(e (e) )b b(f (f) )a ad dd d 注意应画出注意应画出H H 投影中仍投影中仍存在的棱线。存在的棱线。ABAB是是P PV V与左前与左前棱面的交线棱面的交线BCBC是是P PV V与前与前棱面的交线棱面的交线CDCD是是P PV V与右前与右前棱面的交线棱面的交线DEDE是是P PV V与右后与右后棱面的交线棱面的交线EFEF是是P PV V与后与后棱面的交线棱面的交线FAFA是是P PV V与左后与左后棱面的交线棱面的交线例 直线与平面平行直线与平面平行几何条件几何条件：若直线平行于平面内一直线，则直线：若直线平行于平面内一直线，则直线 与平面平行。与平面平行。若直线与若直线与投影面垂直面投影面垂直面平行，则该平面的投影面垂直面的积聚投平行，则该平面的投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行。影与该直线的同面投影平行。P PHHD DC CB BA AP PHHA AB BV VHHa ab ba ab bC CD Dc cc cd dd da ab ba ab bP PHHO OX XABAB平行于平行于P P平行平行AB AB CDCDAB AB P P X XO Oa ab ba ab bc cd dd dc ce ee ef ff fg gg gAB AB CDCDAB AB EFG EFG 线面平行 例例 判断直线判断直线ABAB与与 CDECDE是否平是否平行。行。 在三角形内作在三角形内作dfdf平行于平行于abab，求出，求出d df f, ,因因d df f不不平行于平行于a ab b, ,可知可知ABAB与与 CDECDE不平行。不平行。a ab ba ab bO OX Xc cd dd de ee ec cf ff f例不平行不平行平行平行 在三角形内作一水平线在三角形内作一水平线DFDF（df, ddf, df f），并过点），并过点a a作作abab平行于平行于dfdf，使，使abab长为长为20mm, 20mm, 并求出并求出a ab b。 例例 过点过点A A作水平线作水平线ABAB平行于平行于 CDECDE，ABAB长长20mm20mm. .c cc cd dd de ee eb b20 mm20 mmb bf fa aa af f平行平行O OX X例 平面与平面平行平面与平面平行几何条件几何条件：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相交直线对应平行，则这两平面平行。交直线对应平行，则这两平面平行。X XO Oc cf fc cf fb be ea ad da ad de eb bHHP PQ QA AC CD DF FB BE EP PQ Q两平面平行两平面平行Q QHHP PHHQ QP PX XO O当两个投影面垂直面相互平行时，它们的积聚投影也互相平当两个投影面垂直面相互平行时，它们的积聚投影也互相平行。行。两平面的积聚投影平行两平面的积聚投影平行面面平行KN CBKN CBKM ABKM AB 平面与平面平行平面与平面平行例例 判断判断 ABCABC与与 DEFDEF是是否平行。否平行。a ac ca ab bc cb bd df ff fd de ee eX XO On nn nm mk km mk k 过过 DEFDEF内的任意点内的任意点K K的水平投影的水平投影k k作作kmkm abab，作作kn kn cbcb，并求出相应的，并求出相应的k km m,k ,kn n; ; 由图中可看出，由图中可看出，k km m a ab b, , k kn n c cb b, , 所以所以两三角形互相平行。两三角形互相平行。两三角形两三角形平面平面互相平行互相平行例MKMK 平面平面P P 直线与平面垂直直线与平面垂直直线与一般面垂直直线与一般面垂直 几何条件几何条件：若一直线：若一直线 (相交相交或交叉或交叉)垂直于平面上的任意两垂直于平面上的任意两条相交直线，则此直线必垂直条相交直线，则此直线必垂直于该平面。于该平面。 在投影图上作平面的垂线在投影图上作平面的垂线时，可作出平面的水平线和正时，可作出平面的水平线和正平线作为面上的相交二直线。平线作为面上的相交二直线。此时所作垂线与水平线所夹的此时所作垂线与水平线所夹的直角，其直角，其HH投影仍为直角；垂投影仍为直角；垂线与正平线所夹的直角，其线与正平线所夹的直角，其V V 投影仍为直角。投影仍为直角。d dd de ee ea ab bc ca ab bc cO OX Xk km mm mk kMKMK ABCABCHHP PC CE EA AD D K KMMA A1 1C C1 1D D1 1E E1 1MKMK AEAE MKMK CDCD线面垂直 直线与平面垂直（续）直线与平面垂直（续） 直线垂直于某投影面的直线垂直于某投影面的垂直面时，它必然是该投影垂直面时，它必然是该投影面的平行线。即与面的平行线。即与铅垂面铅垂面垂垂直的直线必为直的直线必为水平线水平线；与；与正正垂面垂面垂直的直线必为垂直的直线必为正平线正平线。直线与投影面垂直面垂直直线与投影面垂直面垂直A AB BP PHHa ab bX XO Oa ab bb ba ap pp pd dd de ee ea ac cc cb ba ab bABAB是水平线是水平线CDCD是正平线是正平线ABAB是水平线是水平线DEDE是正平线是正平线X XO Oa ab ba ab bP PHHQ QV Vd dc cd dc cX XO OX XO O线面垂直n nn n 直线与平面垂直（续）直线与平面垂直（续）例例 过过MM点作一直线点作一直线MNMN垂垂直直 于于 ABCABC，并求其垂足。，并求其垂足。e ee ea ac ca ab bc cb bO OX Xk kd dd dm mm m 1 1 在在 ABCABC内任作水平线内任作水平线CECE和正平线和正平线ADAD，并过，并过m m及及m m点分别作点分别作mn cemn ce，m mn n a ad d，则直线则直线MN ABCMN ABC。 2 2 求求MNMN与与 ABCABC的交点的交点K K，并判断其投影的可见性。，并判断其投影的可见性。k k例 直线与平面垂直（续）直线与平面垂直（续） 2 2 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K。 3 3 用直角三角形法求用直角三角形法求AKAK的的实长。实长。c cc cb bb bX XO Om mm mn nn na aa ak kk k 1. 1. 过点过点A A作水平线作水平线ABAB MNMN，作正平线作正平线ACAC MNMN，则平面，则平面ABC ABC MN MN。距离实长距离实长 例例 求点求点A A到直线到直线MNMN的距离。的距离。例D D 直线与平面垂直（续）直线与平面垂直（续） 2. 2. 连连d de e。d de e与与b bc c交于交于f f，在在dede边上作出对应点边上作出对应点f f，连，连bfbf并并延长与延长与c c的垂直投影线相交得的垂直投影线相交得c c点。点。例例 已知已知AB BCAB BC，补全，补全HH投投影影。e ee ef ff fd dd dc cO OX Xb ba aa ac cb b 1. 1. 过点过点B B作水平线作水平线BDBD ABAB，作正平线，作正平线BEBE ABAB，则平，则平面面BDEBDE AB ABA AB BC C空间解决空间解决E EF F例ABAB Q Q 平面与平面垂直平面与平面垂直 几何条件几何条件 : 若一个平面通过另一个平面的一条垂线若一个平面通过另一个平面的一条垂线 , 那么那么这两个平面相互垂直。这两个平面相互垂直。 也就是说也就是说 , 一平面上如有一直线垂直一平面上如有一直线垂直于另一平面于另一平面 , 则这两个平面相互垂直则这两个平面相互垂直.e ee eX XO Od dd da ac cb bb bc ca an nm mp pm mp pn nMNMN ABC ABCHHQ QP P1 1P P2 2 例例 判断平面判断平面P P是否是否垂直于垂直于 ABCABC。A AB BP P1 1 Q P Q P2 2 Q Q平面平面P P ABC ABC二平面垂直 例例 判断平面判断平面P P与与 ABCABC是否垂直。是否垂直。 因过因过 ABCABC上的上的MM点所作的点所作的P P平面的垂线平面的垂线MNMN不在不在 ABCABC内，所以两平面不垂直内，所以两平面不垂直。n np pp pb ba ac cb ba ac cO OX Xn nm mm m例e ee e ABC ABC 平面平面P Pd dd dp pp pO OX Xa ac ca ab bc cb b ABC ABC 平面平面P P 例例 判断判断 ABCABC与铅垂面与铅垂面P P是否垂直。是否垂直。 因过因过 ABCABC内能作直线内能作直线AD AD 平面平面P P，所以两，所以两平面相互垂直平面相互垂直。例
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