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正弦定理和余弦定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点使用正弦定理要注意的问题解的个数问题已知两边和其中一边的对角问题已知两角一边问题 三角形的面积公式使用余弦定理要注意的问题已知两边与夹角问题 已知三边问题正、余弦定理的综合运用学习目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题学习重点1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用；2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法学习难点正、余弦定理的灵活应用学习过程复习预习回忆在三角函数中学过的公式A. 三角函数诱导公式：B. 三角函数的两角和或差公式:C. 三角函数的二倍角公式：D. 三角函数的辅助角公式：知识讲解考点1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理1222, 222 a = b + C 2bccos A ;b =内容abc.=2R sin A sin Ba + c 一sin C9992accos B ;c 二 ” + b=2abcos CCD a = 2Rsin A, b =2Rsin B, c = 2Rsin C,99b + c_-a-abccos A= 2bc sin A = 2r, sin B=2R, sin C 二 2R (其中 R 是9c2a + cb变形形式cos B = 2acAABC外接圆半径）(3)a : b : c = sin A:sin B : sin C2i 2a + bCCQ C一 c2二 2ab asin B = bsin A,bsin C = csin B, asin C = csin已知两角和任一边，求另一角和其他两条边.已知三边，求各角；解决三角已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他形的问题两个角考点2在八ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形41/sC/仝A* w关系式a= bs in Absin Av av b&为a bab解的个数一解两解一解一解无解例题精析【例题1】【题干】在SBC中，内角A, B, C的对边分别为a,求黠的值；1(2)若cos B二4,八ABC的周长为5,求b的长.b, c,己知cos _ 2cos 2ca二：石;s B二来自于网络搜索a b c【解析】由正弦定理，设snC文档来自于网络搜索G _ sin 2sinC_ sin则晋二kBA,文档来自于网络搜索bksin B ksin B sn Bcos A一2cos C 2sin C 一 sin A所以二d7；=，文档来自于网络搜索cos Bsin B即(cos A一2cos C)s in B 二(2s in C 一 sin A)cos B,化简可得 sin(A+ B)二 2sin(B+ C).又因为A+B+ C二n所以sin C二2sin A.因此2.文档来自于网络搜索sin A由snA八2得c= 2a.由余弦定理及cos B二寸得文档来自于网络搜索1 22丄 2 2accos n - 2 丄 la2 _ la2 v A _ a /b = a + c - B a +X4-4/A / 9H所以b二2a.又a+b+ c二5,从而a= 1.因此b= 2.【例题2】【题干】在八ABC中，a, b, c分别为内角A, B,求角A的大小；若sin B + sin C二Q3,试判断 ABC的形状.C的对边，且2asin A= (2b c)sin B+ (2c b)sin C文档来自于网络搜索7 / 9A【解析】 2asi n A= （2b 一 c） s in B+ （2c一 b） si n C,得 2a2 = （2b 一 b+ （2c一 b） c,即卩 bc= b2+ c2一 a2, 2, 2 2 ,b + c a 1ocos A=二一，A A二60 文档来自于网络搜索2bc 2（2） A+B+ C二 180 B+ C二 180 60 二 120 由sin B+sin C二3,得sin B+ sin（120 一 B） = d3,文档来自于网络搜索 sin B + sin 120 Cos B 一 cos 120 Sin B 二 V3.| sin B +当cos B二心，即卩sin（B+ 30 ）二1.文档来自于网络搜索 又0 vBv 120 , 30 vB + 30 v 150 , B+ 30 二 90 ,即 B= 60 A= B= C =, ABC 为正三角形.【例题3】【题干】 己知a, b, c分别为 ABC三个内角A, B,求A;(2)若a二2/ ABC的面积为V3,求b, c.C的对边，acos C + 73asin C b c= 0文档来自于网络搜索/ 9A【解析】（1 ）由acos C+ f3asin C 一 b一 c二0及止弦定理得 sin Acos C+ Q3si n Asin C 一 sin B 一 sin C = 0.因为n A C,所以曲 sin Asin C 一 cos Asin C 一 sin C 二 0.由于sin CmO,所以si门卜一 2*文档来自于网络搜索n又 0 Av n 故 A= 3.1厶ABC的面积S二2bcsin,故be二4文档来自于网络搜索而 a= b2+ C 一 2bccos A,故 b + c= 8.解得b二c二2.in /【例题4】【题干】（2012江西高考）（本小题满分12分）在JBC中,n 1一csin （4+ B ） za.文档来自于网络搜索n(1)求证：B- C = 2；若曰予（2,求厶ABC的面积.角A, B, C的对边分别为a, b c已知/Thbsi门（+Cj【解析】（1）证明：由 bsin （4+ CJcsin+ Bj= a,应用正弦定理，得 sin Bsin+ Cj一 sin Csinf一 b二 sin A, sinB （爲C + cos CJ-sin Csin B + cos B = , ? （3分）文档来自于网络搜索整理得 sin Bcos C 一 cos Bsin C= 1,即 sin （B 一 C） = 1, ? （5 分）3n由 丁- 0B, C A= 0.文档来自于网络搜索7. （2012江苏高考）在八ABC中，已知AB -AC二3BA BC 求证：tanB= 3tan A；J5(2)若 cos,求A的值.IQ ABC 中,课程小结(1) 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在AB? ab? sin Asin B.文档来自于网络搜索(2) 在八ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角 或直角图形AB关系式a= bsin AbsinAab解的个数一解两解一解一解
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