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第四节基本不等式的应用考向考向 1 1 与基本不等式相关的范围问题与基本不等式相关的范围问题【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013盐城模拟盐城模拟) )若若m=( -1)( -1)( -1),m=( -1)( -1)( -1),a+b+ca+b+c=1,a,b,c=1,a,b,c均大于均大于0,0,则则m m的取值范围是的取值范围是. .(2)(2)已知已知a,bR,a+b+aa,bR,a+b+a2 2+b+b2 2=24,=24,则则a+ba+b的取值范围是的取值范围是. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)把把“1=a+b+c1=a+b+c”代入代入, ,再由基本不等式可求结果再由基本不等式可求结果. .(2)(2)利用利用 求解求解. .1a1b1c222abab()22【规范解答【规范解答】(1)a+b+c=1,(1)a+b+c=1,m= m= 答案答案: :8,+)8,+)111(1)(1)(1)abcabcabcabc(1)(1)(1)abcbc ac ab2 bc 2 ac 2 ab8,abcabcm8.(2)a(2)a2 2+b+b2 22ab,2ab,当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”,2(a=”,2(a2 2+b+b2 2)(a+b)(a+b)2 2, ,即即a a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2, ,当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”,=”,24-(a+b)=a24-(a+b)=a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2, ,当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”,=”,即即(a+b)(a+b)2 2+2(a+b)-480,+2(a+b)-480,解关于解关于a+ba+b的二次不等式的二次不等式, ,得得-8a+b6.-8a+b6.a+ba+b的取值范围是的取值范围是-8,6.-8,6.答案答案: :-8,6-8,61212【拓展提升【拓展提升】常见的求参数取值范围的关注点常见的求参数取值范围的关注点利用利用 ab(a,bR)ab(a,bR)求最值时求最值时, ,要注意和要注意和a+ba+b为为定值时定值时, ,平方和平方和a a2 2+b+b2 2有最小值有最小值, ,平方和平方和a a2 2+b+b2 2为定值时为定值时, ,和和a+ba+b有有最大值最大值. .【提醒【提醒】应用时注意不等号的方向应用时注意不等号的方向. .222abab()22【变式训练【变式训练】已知已知a,ba,b为正数为正数,ab,ab=a+b+3,=a+b+3,求求abab的范围的范围. .【解析【解析】abab=a+b+3 +3,=a+b+3 +3,abab- -30,- -30, 3 3或或 -1(-1(舍去舍去),),ab9ab9当且仅当当且仅当a=b=3a=b=3时取时取“=”,=”,abab的范围是的范围是9,+).9,+).2 ab2 ababab考向考向 2 2 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用【典例【典例2 2】某单位建造一间地面面积为某单位建造一间地面面积为12m12m2 2的背面靠墙的矩形的背面靠墙的矩形小房小房, ,由于地理位置的限制由于地理位置的限制, ,房子侧面的长度房子侧面的长度x x不得超过不得超过5m.5m.房屋房屋正面的造价为正面的造价为400400元元/m/m2 2, ,房屋侧面的造价为房屋侧面的造价为150150元元/m/m2 2, ,屋顶和地屋顶和地面的造价费用合计为面的造价费用合计为5 8005 800元元, ,如果墙高为如果墙高为3m,3m,且不计房屋背面且不计房屋背面的费用的费用. .当侧面的长度为多少时当侧面的长度为多少时, ,总造价最低总造价最低? ?【思路点拨【思路点拨】用长度用长度x x表示出造价表示出造价, ,利用基本不等式求最值即可利用基本不等式求最值即可. .但要注意变量但要注意变量x x的取值范围为的取值范围为0 x5;0 x5;判断函数取最小值时的判断函数取最小值时的x x是否在定义域内是否在定义域内, ,若不在定义域内若不在定义域内, ,不能用基本不等式求最值不能用基本不等式求最值, ,可以考虑单调性可以考虑单调性. .【规范解答【规范解答】设总造价为设总造价为y,y,由题意可得由题意可得, ,y=3(2xy=3(2x150+ 150+ 400)+5 800400)+5 800=900(x+ )+5 800(0 x5),=900(x+ )+5 800(00y0得得x4(x4(x0,b0)=2(a0,b0)上上, ,则则3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为. .yxba【思路点拨【思路点拨】(1)(1)利用向量垂直的充要条件利用向量垂直的充要条件: :数量积为数量积为0,0,得到得到x,yx,y满足的等式满足的等式; ;利用幂的运算法则将待求的式子变形利用幂的运算法则将待求的式子变形; ;利用基利用基本不等式求出式子的最小值本不等式求出式子的最小值, ,注意检验等号何时取得注意检验等号何时取得. .(2)(2)求得求得P P点坐标代入直线方程点坐标代入直线方程, ,再用再用“1”1”的代换转化为基本不的代换转化为基本不等式求解等式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)ab, ,a=(x-1,2),=(x-1,2),b=(4,y),=(4,y),4(x-1)+2y=0,4(x-1)+2y=0,即即4x+2y=4.4x+2y=4.1616x x+4+4y y=2=24x4x+2+22y2y 当且仅当当且仅当2 24x4x=2=22y2y, ,即即4x=2y=24x=2y=2时取等号时取等号, ,故答案为故答案为8.8.答案答案: :8 84x 2y42 22 28,(2)(2)由函数由函数f(xf(x)=log)=log2 2k(x+4)+2+1k(x+4)+2+1可知可知, ,当当x=-4x=-4时时,f(x,f(x)=2,)=2,即即P P点坐标为点坐标为(-4,2).(-4,2).又又P P在直线在直线 =2(a0,b0)=2(a0,b0)上上, ,故故 =2,=2,即即 =1,=1,3a+2b=(3a+2b)( )=8+3a+2b=(3a+2b)( )=8+等号当且仅当等号当且仅当3a3a2 2=4b=4b2 2, ,即即 时取得时取得. .答案答案: :24ba21abyxba21ab3a4bba82 1284 3,2 3a2,b31384 3【互动探究【互动探究】若本例若本例(2)(2)中函数改为中函数改为f(xf(x)=2)=2k(x+1)k(x+1)+1,+1,其余条件其余条件不变不变, ,又将如何求解又将如何求解? ?【解析【解析】由由f(xf(x)=2)=2k(x+1)k(x+1)+1+1可知图象恒过定点可知图象恒过定点P(-1,2),P(-1,2),依题意依题意,P,P在直线上在直线上, ,故故即即 3a+2b= 3a+2b= 等号当且仅当等号当且仅当 时取得时取得. .所以所以3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为212ba ，111b2a ，1173ab7(3a2b)()2 3,b2a2ba2313a,b132272 3.2【拓展提升【拓展提升】1.1.函数中应用基本不等式求最值的类型函数中应用基本不等式求最值的类型(1)(1)以指数、对数函数为载体构建条件以指数、对数函数为载体构建条件, ,应用基本不等式求最值应用基本不等式求最值. .(2)(2)以二次函数为载体以二次函数为载体, ,结合根的分布、定义域、值域构建条件结合根的分布、定义域、值域构建条件, ,应用基本不等式求最值应用基本不等式求最值. .(3)(3)以高次函数为载体以高次函数为载体, ,结合导数构建条件结合导数构建条件, ,应用基本不等式求应用基本不等式求最值最值. .2.2.基本不等式在其他数学知识中的应用基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值基本不等式求最值, ,是本部分中常见题型是本部分中常见题型, ,其解题的关键是正确其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式, ,同时要注意基同时要注意基本不等式的使用条件本不等式的使用条件. .【变式备选【变式备选】若直线若直线2ax-by+2=0(a0,b0)2ax-by+2=0(a0,b0)被圆被圆x x2 2+y+y2 2+2x-4y+1+2x-4y+1=0=0截得的弦长为截得的弦长为4,4,则则 的最小值是的最小值是. .【解析【解析】圆圆x x2 2+y+y2 2+2x-4y+1=0+2x-4y+1=0即即(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,圆心为圆心为(-1,2),(-1,2),半径为半径为2,2,设圆心到直线设圆心到直线2ax-by+2=02ax-by+2=0的距离等于的距离等于d,d,则由弦长公式得则由弦长公式得 即直线即直线2ax-by+2=02ax-by+2=0经过圆心经过圆心, ,-2a-2b+2=0,a+b=1-2a-2b+2=0,a+b=1，11ab22 4d4,d0,则则当且仅当当且仅当a=ba=b时等号成立时等号成立, ,故式子的最小值为故式子的最小值为4.4.答案答案: :4 411ababbab a2224,abababa b【满分指导【满分指导】基本不等式与数列的综合应用基本不等式与数列的综合应用【典例【典例】(16(16分分) )设各项均为正数的数列设各项均为正数的数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已已知知2a2a2 2=a=a1 1+a+a3 3, ,数列数列 是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式( (用用n,dn,d表示表示).).(2)(2)设设c c为实数为实数, ,对满足对满足m+nm+n=3k=3k且且mnmn的任意正整数的任意正整数m,n,km,n,k, ,不等不等式式S Sm m+S+Sn ncScSk k都成立都成立. .求证求证:c:c的最大值为的最大值为 . .nS92【思路点拨【思路点拨】【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意知由题意知:d0:d0， 2 2分分3( +d)3( +d)2 2-a-a1 1=( +2d)=( +2d)2 2, ,化简化简, ,得得:a:a1 1-2 -2 d+dd+d2 2=0, =d,a=0, =d,a1 1=d=d2 2, ,4 4分分 =d+(n-1)d=nd,S=d+(n-1)d=nd,Sn n=n=n2 2d d2 2, , 5 5分分当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2d d2 2-(n-1)-(n-1)2 2d d2 2=(2n-1)d=(2n-1)d2 2, ,适合适合n=1n=1的情形的情形. .故所求故所求a an n=(2n-1)d=(2n-1)d2 2. . 7 7分分n11SSn1 dan1 d.213232132aaa3aS3 SS,S1a1a1a1anS(2)(2)由由 =d=d及及 +(n-1)d,+(n-1)d,得得d0,Sd0,Sn n=n=n2 2d d2 2. .于是于是, ,对满足对满足题设的题设的m,n,k,mnm,n,k,mn, ,有有S Sm m+S+Sn n= = 9 9分分所以所以所以所以c c的最大值为的最大值为 . .1111分分1an1Sa2222222k99dmkS ,2nnd2md2max9c2，92另一方面另一方面, ,任取实数任取实数a ,a ,设设k k为偶数为偶数, ,令令m= k+1,n= k-1,m= k+1,n= k-1,则则m,n,km,n,k符合条件符合条件, ,且且S Sm m+S+Sn n=(m=(m2 2+n+n2 2)d)d2 2=d=d2 2( k+1)( k+1)2 2+( k-1)+( k-1)2 2= d= d2 2(9k(9k2 2+4).+4).1212分分于是于是, ,只要只要 即当即当k k 时时,S,Sm m+S+Sn n d0,b0,a0,b0,若不等式若不等式 恒恒成立成立, ,则则m m的最大值为的最大值为. .【解析【解析】 ,a0,b0, ,a0,b0,又又5+ =5+4=9.5+ =5+4=9.当且仅当当且仅当 , ,即即a=ba=b时取时取“=”=”号号. .mm的最大值为的最大值为9.9.答案答案: :9 921mab2ab21mab2ab21()(2ab)mab；212b2a()(2ab)4 1abab 2b 2a2ab2a2bba4.(20134.(2013盐城模拟盐城模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=log)=loga a(x-1)+1(a0,a1)(x-1)+1(a0,a1)的图象恒过点的图象恒过点A,A,若点若点A A在直线在直线mx-y+nmx-y+n=0=0上上, ,则则4 4m m+2+2n n的最小值为的最小值为. .【解析【解析】由题意由题意A(2,1).A(2,1).2m-1+n=0,2m-1+n=0,2m+n=1.2m+n=1.44m m+2+2n n=2=22m2m+2+2n n当且仅当当且仅当2 22m2m=2=2n n,2m=n= ,2m=n= 时取等号时取等号. .答案答案: :2m n2 22 2.122 21.1.若若“ ”“ ”是是“对对正实数正实数x,2x+ c”x,2x+ c”的充要条件的充要条件, ,则则实数实数c=c=. .【解析【解析】若若c0,c0, c-2x,c0, c-2x,根据根据x x是正数有是正数有acx-2xacx-2x2 2, ,y=cx-2xy=cx-2x2 2在在x x是正数时是正数时, ,值域是值域是y-2y-2( )( )2 2+c+c = , = ,则则a ,a ,于是于是答案答案: :1 11a8axaxc4c42c82c82c1c1.882.2.定义定义f(M)=(m,n,pf(M)=(m,n,p),),其中其中M M是是ABCABC内一点内一点,m,n,p,m,n,p分别是分别是MBC,MBC,MCA,MCA,MABMAB的面积的面积, ,已知已知ABCABC中中, BAC=30, BAC=30, ,f(N)=( ,x,yf(N)=( ,x,y),),则则 的最小值是的最小值是. .【解析【解析】 ,BAC=30 ,BAC=30, ,所以由向量的数量积公式得所以由向量的数量积公式得AB AC2 3 ，1214xyAB AC2 3 AB AC cos BAC2 3, AB AC4 ，ABC1SAB AC sin BAC1,2 由题意得由题意得, ,等号在等号在x= ,y= x= ,y= 时取到时取到, ,所以最小值是所以最小值是18.18.答案答案: :181811xy1.22 1414y4xy 4x2() xy2(5)2(52)18xyxyxyxy，1613
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