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2022-1-261 两条直线的交点坐标2022-1-262已知：直线已知：直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，如何求其交点坐相交，如何求其交点坐标？标？几何元素及关系几何元素及关系 代数表示代数表示点点A A A (a, b) A (a, b) 直线直线l点点A A在直线在直线l上上 直线直线l1 1与与l2 2的交点是的交点是A A : :0 0l l A Ax x B By y C C+ + += =0 0A A a aB B b bC C+ + += =1 11 11 12 22 22 20 00 0A A x xB B y yC CA A x xB B y yC C + + += = + + += = 点点A A的坐标是方程组的解的坐标是方程组的解2022-1-263对于两条直线对于两条直线 和和 , ,若方程组若方程组 有惟一解，有无数组解，无解，则两直有惟一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？线的位置关系如何？1 11 11 11 1: :0 0l l A A x xB B y yC C+ + += =2 22 22 22 2: :0 0l l A A x xB B y y C C+ + += =1 11 11 12 22 22 20 00 0A A x xB B y yC CA A x xB B y yC C + + += = + + += = 平行重合相交无解无穷多解唯一解解方程组直线21212121,llllllll2022-1-264例例1 求下列两条直线的交点坐标求下列两条直线的交点坐标:022:0243:21yxlyxlx xy yO O1-1-212-2-1l1l22022-1-265例例1 1：求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.例例2 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: :l l1 1：x x2y+2=02y+2=0，l l2 2：2x2xy y2=0.2=0.解：解方程组3x+4y2 =02x+y+2 = 0l1与l2的交点是M（- 2，2）解：解方程组x2y+2=02xy2=0l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=k x把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为y= xx= 2y=2得x= 2y=2得2022-1-266练习练习：求经过原点及两条直线：求经过原点及两条直线l l1 1:3x+4y-2=0,l:3x+4y-2=0,l2 2:2x+y+2=0:2x+y+2=0的交点的的交点的直线的方程直线的方程. .?0)22(243 ,图形有何特点表示什么图形方程变化时当yxyx2022-1-267问题问题2 2：如何根据两直线的方程系数之间的关：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？系来判定两直线的位置关系？0 : 0: 22221111CyBxAlCyBxAl111111222222 ABCABCABCABC=111111222222 ABCABCABCABC = =11112222 ABABABAB 1212llll与与 重重合合1212llll与与 平平行行1212llll与与 相相交交斜率不存斜率不存在单独考在单独考虑虑2022-1-268例例2 2、判定下列各对直线的位置关系，若相交，、判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标则求交点的坐标121212:0 (1) :33100:340(2) :6210 :3450 (3) :68100lxylxylxylxylxylxy 2022-1-269设直线设直线l1 1、 l2 2的方程分别为的方程分别为 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0， 在在什么条件下有什么条件下有l1 1l2 2？A1A2+B1B2=02022-1-2610例5：求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，且垂直于直线x+3y5=0的直线方程。解法一：解方程组x+2y1=0，2xy7=0得x=3y= 1这两条直线的交点坐标为（3，-1）又直线x+2y5=0的斜率是1/3所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x3）即 3xy10=0解法二：所求直线在直线系2xy7+（x+2y1）=0中经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =32+21解得 = 1/7因此，所求直线方程为3xy10=02022-1-2611练习练习1 1、A A和和C C取什么值时取什么值时, ,直线直线Ax-2y-1=0Ax-2y-1=0与直线与直线6x- 6x- 4y+C=0: 4y+C=0: 相交，相交， 平行，平行， 重合，重合， 垂直垂直2022-1-2612 1. 1. 已知直线已知直线l1 1：x+x+ay-y-2a-2=0=0和和l2 2：ax+y-1-x+y-1-a=0=0，若，若l1 1/l2 2，求，求a的值的值. .若若l1 1l2 2，求，求a的值的值. . 2. a为何值时，为何值时， 直线直线l1.1.( (a-1)x-x-2y+4=0y+4=0l2 2:x-:x-ay-1=0y-1=0，(1)(1)平行平行 （2 2）垂直）垂直2022-1-2613 例例3 3 设直线设直线y=k(x+3)-2y=k(x+3)-2和和x+4y-4=0 x+4y-4=0相交，且交点相交，且交点P P在第一象限，求在第一象限，求k k的取值的取值范围范围. . 例例2 2 求经过两直线求经过两直线3x+2y+1=03x+2y+1=0和和 2x-3y+5=02x-3y+5=0的交点，且斜率为的交点，且斜率为3 3的直线的直线方程方程. .x xy yo oB BA AP P2022-1-2614巩固：两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）24 （C）6 （D）以上都不对若直线kxy+1=0和xky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1 （C）（0，1） （D）（1，）若两直线（3a）x+4y=4+3a与2x+（5a）y=7平行，则a的值是（A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错2022-1-2615直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必有（A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B）（C）两条直线的斜率相等截距也相等（D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（mR，且m0）2 21 12 21 12 21 1C CC CB BB BA AA A
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