圆的基本概念与性质（解析版）(共36页)

精选优质文档-倾情为你奉上必有师教育学科教师辅导讲义学员姓名：张弈年 级：初三辅导科目：初中数学学科教师：迟婷上课时间2018-03-10 08:00-09:30授课主题圆的基本概念与性质圆的相关概念一圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径；（2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”；（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧；圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角一考点：圆的相关概念二重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆三易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别题模一：圆的相关概念例1.1.1 如图，ABC中，A=50，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量DOE的度数是（ ）A 50B 60C 70D 80例1.1.2 如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A （-1，2）B （1，-1）C （-1，1）D （2，1）例1.1.3 设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了米，并使得铁丝均匀地离开地面则下面说法中比较合理的是（ ）A 你只能塞过一张纸B 你只能塞过一只书包C 你能钻过铁丝D 你能直起身体走过铁丝随练1.1 过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ）A 1条B 2条C 3条D 无数条随练1.2 如图，的直径与弦的延长线交于点，若，则 随练1.3 点O在直线AB上，点A1、A2、A3，在射线OA上，点B1、B2、B3，在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为_秒垂径定理一 垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用一考点：垂径定理二重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距三易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题题模一：垂径定理例2.1.1 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A 2cmB cmC 2cmD 2cm例2.1.2 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A 40cmB 60cmC 80cmD 100cm例2.1.3 如图，已知在扇形OAB中，半径，正方形FCDE的四个顶点分别在和半径OA、OB上，求CD的长随练2.1 如图，O的弦AB垂直半径OC于点D，CBA=30，OC=3cm，则弦AB的长为（）A 9cmB 3cmC cmD cm随练2.2 如图，内接于，为线段的中点，延长交于点，连接，则下列五个结论，正确结论的是随练2.3 如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）A 5mmB 6mmC 8mmD 10mm随练2.4 如图，在梯形中，以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二一圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等若，则，2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等二应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角一考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中题模一：弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例3.1.1 在O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（ ）A 30B 45C 60D 90例3.1.2 如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，BCD=25，则下列结论错误的是（）A AE=BEB OE=DEC AOD=50D D是的中点例3.1.3 如图，以的边为直径的分别交于点，连结，若，则 例3.1.4 如图，点A、B、C、D都在O上，OCAB，ADC=30（1）求BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形随练3.1 下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（ ）A B C D 随练3.2 如图，A，B，C，D均为O上的点，且，则下列说法不正确的是（ ）A B C D 随练3.3 如图，点A、B、C、D在O上，OBAC，若BOC=56，则ADB=_度随练3.4 如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度数；（2）过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长 作业1 有一圆形纸片，要用折叠的方法找出其圆心，至少要折叠（ ）A 1次B 2次C 3次D 4次作业2 如图，在RtABC中，C=90，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（）A 5B 5C 5D 6作业3 下列说法正确的有（ ）在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；度数相等的弧叫做等弧；优弧大于劣弧；直角三角形的外心是其斜边中点A B C D 作业4 如图，O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为_作业5 如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，PAD为等腰三角形作业6 如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OEAC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F若，则OF的长为（ ）A B C 1D 2作业7 如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为_cmOP_cm作业8 在O中，AB是O的直径，AB=8cm， ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是_作业9 如图，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，ABCD，ADC=60，设AB=3x（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求O的半径R的值作业10 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm作业11 在O中，点C是劣弧AB的中点，则线段AB和线段AC的大小为（ ）A B C D 无法确定作业12 如图，在O中，AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则的度数为（ ）A mB C D 作业13 将一张半径为4的圆形纸片（如图）连续对折两次后展开得折痕AB、CD，且，垂足为M（如图），之后将纸片如图翻折，使点B与点M重合，折痕EF与AB相交于点N，连接AE、AF（如图），则AEF的面积是_作业14 如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，弦CDBM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E（1）求证：ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长答案解析圆的相关概念题模一：圆的相关概念例1.1.1【答案】D【解析】 如图，根据题意得：OC=OB=OD=OE，A=50，B+C=130，CEO+BDO=130，AEO+ADO=230，EOD=360AAEOADO=36050230=80例1.1.2【答案】C【解析】 如图所示，AW=1，WH=3，AH=12+32=；BQ=3，QH=1，BH=12+32=；AH=BH，同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1，1）故选C例1.1.3【答案】D【解析】 ，随练1.1【答案】A【解析】 过圆上一点只能做一条最长的弦为直径随练1.2【答案】 【解析】 连接，共能得到两个等腰三角形，为的2倍，继而由外角得到随练1.3【答案】 （101+5050） 【解析】 动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（1+2+3+4）单位长度，100=425，动点M到达A100点处运动的单位长度=425+（1+2+100）=100+5050，动点M到达A101点处运动的单位长度=100+1+5050，动点M到达A101点处运动所需时间=（101+5050）1=（101+5050）秒故答案为：（101+5050）垂径定理题模一：垂径定理例2.1.1【答案】C【解析】 解：作ODAB于D，连接OA根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得AB=2cm故选C例2.1.2【答案】A【解析】 连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，直径为200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，OM=60cm，ME=OEOM=10060=40cm例2.1.3【答案】 【解析】 该题考查的是垂径定理过点O作于点H，交DE于点K，连接OF，如图：OH过圆心，四边形FCDE是正方形，设，则，在RtOGF中，即，解得即CD的长为随练2.1【答案】A【解析】 CBA=30，AOC=2CBA=60，ABOC，ADO=90，OAD=30，OD=OA=3=（cm），由勾股定理得：AD=4.5cm，ABOC，OC过O，AB=2AD=9（cm），随练2.2【答案】 【解析】 是的半径，且是的中点，；（故正确）；（故正确）随练2.3【答案】C【解析】 连接AB，OA，过点O作ODAB于点D，钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，mm，mm，ODAB，在RtOAD中，mm随练2.4【答案】 【解析】 如图，作，垂足为，垂足为，则四边形是矩形。 又 又 四边形是矩形 又 在中，又在 是等腰直角三角形又 弧，弦，圆心角之间的关系知一推二题模一：弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例3.1.1【答案】D【解析】 如图所示：连接BO，AO，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，DO=DB，DOAB，BOD=B=45，A=AOD=45，AOB=90例3.1.2【答案】B【解析】 CD是O的直径，弦ABCD，=，AE=BE，BCD=25，AOD=2BCD=50，故A，C，D正确；但不能证得B正确故选B例3.1.3【答案】 【解析】 如图，连接为的直径，例3.1.4【答案】 （1）60（2）见解析【解析】 （1）点A、B、C、D都在O上，OCAB，=，ADC=30，AOC=BOC=2ADC=60，BOC的度数为60；（2）证明：=，AC=BC，AO=BO，BOC的度数为60，BOC为等边三角形，BC=BO=CO，AO=BO=AC=BC，四边形AOBC是菱形随练3.1【答案】A【解析】 该题考查的是圆的基本性质和垂径定理图既是轴对称图形也是中心对称图形，说法正确，垂径定理中，当直径垂直弦，则可以推出平分弦，说法正确，相等的圆心角所对的弧相等的前提是必须在同圆或者等圆的条件下，如果两圆不等大，即便圆心角相等，也只能推出弧度相等，而弧长不相等，说法错误，故正确说法为，故答案选A随练3.2【答案】D【解析】 ，故A正确；，故B正确；，故C正确；OCD不一定是等边三角形，OC不一定等于CD，故D错误随练3.3【答案】 28【解析】 OBAC，=，ADB=BOC=28故答案为：28随练3.4【答案】 （1）60（2）7【解析】 （1）证明：在AEB和DEC中，AEBDEC（ASA），EB=EC，又BC=CE，BE=CE=BC，EBC为等边三角形，ACB=60；（2）OFAC，AF=CF，EBC为等边三角形，GEF=60，EGF=30，EG=2，EF=1，又AE=ED=3，CF=AF=4，AC=8，EC=5，BC=5，作BMAC于点M，BCM=60，MBC=30，CM=，BM=BC2-CM2=2，AM=AC-CM=，AB=AM2+BM2=7作业1【答案】B【解析】 该题考查的是圆的基本性质一个圆中2条直径的交点为圆心或一条直径的中点为圆心，故将一个圆形纸片最少要对折2次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心故本题答案选B作业2【答案】A【解析】 本题考查直角三角形及圆的知识根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BC以及CD，然后用勾股定理解答即可连接CD，在RtABC中，则CD=BC=5，依据勾股定理可求AC=5故选A作业3【答案】B【解析】 在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧正确；在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合，正确；度数相等的弧叫做等弧，错误；同圆中优弧大于劣弧，故原命题错误；直角三角形的外心是其斜边中点，正确作业4【答案】 【解析】 该题考察垂径定理，最值问题作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P此时，最小。且等于AE,作直径AC，连接CE,根据垂径定理得A是半圆的三等分点，, ,，又AC为圆的直径，,即的最小值是作业5【答案】 2或4或【解析】 当PA=PD时，此时P位于四边形ABCD的中心，过点P作PEAD于E，作PMAB于M，则四边形EAMP是正方形，PM=PE=AB=2，PM2=AMBM=4，AM+BM=4，AM=2，PA=2，当PA=AD时，PA=4；当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则ADOPDO，DOAP，AG=PG，AP=2AG，又DA=2AO，AG=2OG，设AG为2x，OG为x，（2x）2+x2=4，x=，AG=2x=，PA=2AG=；PA=2或4或，故答案为：2或4或作业6【答案】C【解析】 ，OEAC，在ADO和OFE中，ADOOFE（AAS），故选C作业7【答案】 3；5【解析】 过点O作OEAB于点E，连接OB，AB=8cm，AE=BE=AB=8=4cm，O的直径为10cm，OB=10=5cm，OE=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm作业8【答案】 8【解析】 如图，作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，AB为直径，CD为直径，CM+DM的最小值是8cm作业9【答案】 （1）；（2）；最大值为（3）【解析】 （1）作AHCD于H，BGCD于G，如图，则四边形AHGB为矩形，HG=AB=3x，四边形ABCD为等腰梯形，AD=BC，DH=CG，在RtADH中，设DH=t，ADC=60，DAH=30，AD=2t，AH=t，BC=2t，CG=t，等腰梯形ABCD的周长为48，3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，AD=2（8-x）=16-2x，CD=8-x+3x+8-x=16+x；（2）S=（AB+CD）AH=（3x+16+x）（8-x）=-2x2+8x+64，S=-2（x-2）2+72，当x=2时，S有最大值72；（3）连结OA、OD，如图，当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为（8-2）=6，则AE=3，DF=9，点E和点F分别是AB和CD的中点，直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6-a，在RtAOE中，OE2+AE2=OA2，a2+32=R2，在RtODF中，OF2+DF2=OD2，（6-a）2+92=R2，a2+32=（6-a）2+92，解得a=5，R2=（5）2+32=84，R=2作业10【答案】 50【解析】 如图，设圆心为O，连接AO，CO，直线l是它的对称轴，CM=30，AN=40，CM2+OM2=AN2+ON2，302+OM2=402+（70OM）2，解得：OM=40，OC=50，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm作业11【答案】C【解析】 在O中，点C是劣弧AB的中点，作业12【答案】B【解析】 AOB的度数为m，弧AB的度数为m，弧ACB的度数为，作业13【答案】 【解析】 该题考查圆内线段计算与折叠问题连接ME，纸片沿EF折叠，B、M两点重合，则，又，同理可求，AEF是等边三角形，则，AEF的面积为：作业14【答案】 （1）见解析（2）2【解析】 （1）证明：AB是O的直径，BM是O的切线，ABBE，CDBE，CDAB，=，AD=AC=CD，ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ONAD于N，由（1）知，ACD是等边三角形，DAC=60AD=AC，CDAB，DAB=30，BE=AE，ON=AO，设O的半径为：r，ON=r，AN=DN=r，EN=2+，BE=AE=，在RtNEO与RtBEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（）2+（2+）2=r2+，r=2，OE2=+25=28，OE=2专心-专注-专业