共轭梯度法程序及调试结果分析

1、设计题目用共轲梯度法求二次函数二年+2片-共-2泅 的极小点及极小值。2、运行与程序(1)运行： 打开matlab,确定conjugate_grad_2d.m文件夹为当前目录。在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d(1,1,0.001) 选择不同的初始点坐标0,0,0,1,1,0,和迭代精度0.01 , 0.0001,进行运行时，需要多次调用conjugate_grad_2d函数。(2)程序及说明：function f=conjugate_grad_2d(x0,t)%用共轲梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1A2+2*x2A2-4*x1-2*x1*x2的极值点%已知初始点坐标：x0 %已知收敛精度：t %求得已知函数的极值：f x=x0;syms xi yi a;%定义自变量，步长为符号变量f=xiA2+2*yiA2-4*xi-2*xi*yi;唯“建符号表达式 f仅=1卸刈；麻表达式f对xi的一阶求导fy=diff(f,yi);哪表达式f对yi的一阶求导仅=subs(fx,xi,yi,x0);%代入初始点坐标计算对xi的一阶求导实值fy=subs(fy,xi,yi,x0);%代入初始点坐标计算对yi的一阶求导实值fi=fx,fy; %初始点梯度向量 count=0;%搜索次数初始为 0while double(sqrt(fxA2+fyA2)t眼索精度不满足已知条件s=-fi;蹴一次搜索的方向为负梯度方向if count=0 s=-fi; else s=s1; end x=x+a*s;%进行一次搜索后的点坐标f=subs(f,xi,yi,x);%构造一元搜索的一元函数()(a)f1=diff(f);%对函数。(a)进行求导f1=solve(f1);%得到最佳步长 aif f1=0ai=double(f1);%强制转换数据类型为双精度数值elsebreak 婿a=0,则直接跳出循环，此点即为极值点 end x=subs(x,a,ai);%得到一次搜索后的点坐标值f=xiA2+2*yiA2-4*xi-2*xi*yi; fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,xi,yi,x);fyi=subs(fyi,xi,yi,x);fii=fxi,fyi;%下一点梯度向量d=(fxiA2+fyiA2)/fxA2+fyA2);s1=-fii+d*s; %下一点搜索的方向向量count=count+1;%搜索次数加1fx=fxi;fy=fyi;%搜索后终点坐标变为下一次搜索的始点坐标endx,f=subs(f,xi,yi,x),count%输出极值点，极小值以及搜索次数3、运行结果及分析选择不同的初始点坐标0,0,0,1,1,0, 和迭代精度 0.01 ， 0.0001,( 1 ) f=conjugate_grad_2d(1,1,0.001)此程序运行1 秒后终止，结果如下：X = 4, 2%极小点坐标f = -8%极小值数值count = 2% 迭代次数f =-8(2) f=conjugate_grad_2d(0,1,0.001)此程序运行1 秒后终止，结果如下：X = 4, 2%极小点坐标f = -8%极小值数值count = 2% 迭代次数f =-8分析可得：(1) 由结果看出， 程序经过 2 次迭代， 得到二次函数的极小值坐标4,2, 极小值 -8 ；表明共轭梯度法收敛速度较快，计算量较小，稳定性高。(2) 选择不同的初始点坐标0,0,0,1,1,0,1,1,都是经过 2次迭代得到一致的结果；表明共轭梯度法初始点的选择不影响收敛结果。(3) 选择迭代精度0.0001 ， 程序将近运行4 秒才结束； 可知迭代精度越高时， 程序运行的时候越长，所以在实际应用中选择适当的迭代精度，有利于提高计算的 效率。(4) 从共轭梯度法的计算过程可以看出，第一个搜索方向取作负梯度方向，这就是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进，故它又被称作旋转梯度法。