19级量子力学期末考试复习题 (1)

19级量子力学期末考试复习题1、利用经典模型加量子化条件推导出氢原子运动的能级和半径，并求跃迁频率。2、粒子在宽度为。的一维无限深方势阱中运动，若粒子处于基态，则在0,。/4区间发现粒子的概率是多少？11、设t=0时，粒子的状态为W(Q = A sin2 kx+coskx求：此时粒子的平均动量以及位置和动量的测不准关系态尹12、利用测不准关系原理计算线性谐振子的零点能。13、已知在矛和&的共同表象中，算符4,4的矩阵为(0 1。、J 0 1,0 1 0,0 -ii 00 i-i求它的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵4、,对角化14、厄米算符人与力满足关系：A2 =B2 =1,AB + BA = Q，求:(1)在人表象中n与命的矩阵表示;(2)在介表象中给出人与力的本征函数表达式.15、描写粒子状态的波函数在坐标表象为(/),在动量表象为C(P,t),在力学量Q表% (0% (0象为矩阵AQ) =,且他们都是归一化的，试指出|(r,0|2, |C(P,0|2及低的物理含义，并分别写出用这三个波函数计算力学量F(3)平均值的公式。16、在表象中系统能量算符为H = H/H,其中E. 0 1Fo AlH或；日，心 ，H较H。为一小量。0 e2 X 0试用微扰论求能量本征值，精确到二级近似并与此问题的精确解比较。17、已知某表象中Hamilton量的矩阵形式Pc0 )H =c30*00c_ 2/(1) 设cl,应用微扰论求片本征值到二级近似；(2) 设cL应用微扰论求片本征函数到一级近似。12，0、18、当为小参数时，用微扰法求矩阵2e 2 + e 3e*03e3 + 2e /的本征值（精确到两级微扰）和本征矢量（精确到一级微扰）。19、证明： _$z，s2_ =0 已知:ari = 4nn ,工|= J”+l + 1,证明a, a+ = 1 若为泡利矩阵，证明crAcrvaz =i在匚的本征态I）下：匚=奴=0 o20、设氢原子的状态是w =捉 W，。）V3一匕0（。，9）求轨道角动量z分量Lz和自旋角动量z分量缶的平均值;求总磁矩由=_土生W的z分量的平均值。2日 A一手如。1、2U 0）21、求 Sx =一八的本征值和所属的本征函数。22、已知a Pauli算符,在j表象下给出的矩阵表达式，并求出它们的本征函数和本征值。3、设= Aexp(-a2x2), a 为实常数，求: 归一化常数A (巳知Wdx =垦)。J-8a 粒子在何处出现的几率最大。A4、有一个粒子沿X轴方向运动，其波函数为（x） = ，试求:1 +次（1）归一化系数A； （2）粒子按坐标的概率密度分布函数；（3）在何处找到粒子的概率最大？最大概率为多少？,8 17T（可能用到的积分公式Jo 1 + x221py15、线性谐振子处于=W& （尤）#2 3） “4 （尤）2其中W“（X）为线性谐振子的能量本征函数，求：（1）t = 0时能量的平均值。（2），0时的波函数gt）以及能量的平均值。6、线谐振子在t = 0时处于代+土知，。）=牛租。&） +争态上，其中为线谐振子第个本征值对应的本征函数。求：（1） 7 = 0时归一化的波函数（2）在（X,O）态上能量的可测值、取值几率与平均值；（3）写出，0时刻的波函数。7、证明：（1）证明在定态中，概率密度和概率流密度与时间无关。(2)dFdtdFdtA A+须 F,Hin（3）厄米算符的本征值为实数。（4）厄米算符属于不同本征值的两个本征函数相互正交。8、设氢原子处于状态1V3a 0）= 5心（,）匕0 （仇9）土 心（尸） （仇。）求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的期望值。(2)、若已知，=0时，该粒子状态为:W (x,0)=无% (x) +1/2 (x),求，时刻该粒子的波9、质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为:xe(0,6z)x a(1) 、写出能量本征值E和归一化的本征函数乙3)；函数；若粒子在二维势阱中运动，其势函数为V(x,y) = !，(。, x v 0; y 。, y v 0)试求该体系的能级和本征函数，并讨论前两个能态的简并度。10、质量为的粒子在一维势场U(x) = J 0， Ovxvq中运动。设状态由波函数8,尤v0, xa、W(Q /= sin()cos2()描述。yja a a求：(1)粒子能量的可能值及相应的几率；(2) 粒子的平均能量歹；(3) 写出此状态在能量表象中的波函数。