2009江苏高考数学立体几何二轮复习材料

立体几何二轮复习材料【课程目标】本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步。通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。【学习要求】1立体几何初步（1）空间几何体直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。能画出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出它们的直观图。了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格要求）。（2）点、线、面之间的位置关系理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。了解空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理（这4条定理的证明，这里不作要求）。理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能用图形语言和符号语言表述这些性质定理，并能加以证明。能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念；了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念（上述角与距离的计算不作要求）。（3）柱、锥、台、球的表面积和体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。2008江苏高考数学科考试说明对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）。了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。具体考查要求如下内容要求ABC14空间几何体柱、锥、台、球及其简单组成体三视图与直视图柱、锥、台、球的表面积和体积15点、线、面之间的位置关系平面及其基本性质直线与平面平行、垂直的判定与性质两平面平行、垂直的判定与性质BCAFDE16(08江苏卷)（14分）在四面体中，且E、F分别是AB、BD的中点，求证：（1）直线EF/面ACD（2）面EFC面BCD【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。（1）E、F分别是AB、BD的中点 EF是ABD的中位线EF/AD又面ACD，AD面ACD直线EF/面ACD（2）19(08山东文科)（本小题满分12分）ABCMPD如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积（）证明：在中，由于，ABCMPDO所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（）解：过作交于，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故12(08宁夏卷)已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）ABCD18(08宁夏卷)（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结，证明：面46422EDABCFG2解：（）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图） 3分ABCDEFG（）所求多面体体积7分（）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面12分7(08广东卷)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为AEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED18. (08广东卷)（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD=60,BDC=45,ADPBAD.(1)求线段PD的长；CPAB图5D(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积. 解：（1）因为是圆的直径，所以 又ADPBAD. 所以 （2）在中， 因为 所以 又 所以底面 三棱锥体积为11（06江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(D)（A）1个（B）2个 （C）3个（D）无穷多个73.（06天津卷）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明/平面；（2）设，证明平面ABCDA1B1C1D1A133（06安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：_（写出所有正确结论的编号） 3；4；5；6；7ABCDA134（06安徽卷）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1；2；3；4；以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）ACBC1B1A1P36.（06广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_37.（06湖南卷）过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条.C1CBA1 38.（06江西卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_39.（06江西卷）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为10.ABCPDEF41.（06辽宁卷）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_43.（06全国II）圆是以R为半径的球O的小圆，若圆的面积和球O的表面积S的比为，则圆心到球心O的距离与球半径的比49.（06四川卷）m、n是空间两条不同直线，、是空间两条不同平面，下面有四个命题：m，n，mnmn，n，mnmn，mnm，mn，n其中真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）。、.52.（06上海春）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为.4(07江苏)已知两条直线，两个平面给出下面四个命题：，；，；，；，其中正确命题的序号是（）、18(07江苏)如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（4分）本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力满分12分解法一：（1）如图，在上取点，使，连结，则，因为，所以四边形，都为平行四边形从而，又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而因此，四点共面（2）如图，又，所以，因为，所以为平行四边形，从而又平面，所以平面3(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）正方形圆锥三棱台正四棱锥ABCD20(07山东)（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，已知，BCDA（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由（1）证明：在直四棱柱中，连结，四边形是正方形又，BCDAME平面， 平面，平面，且，平面，又平面，（2）连结，连结，设，连结，平面平面，要使平面，须使，又是的中点是的中点又易知即是的中点综上所述，当是的中点时，可使平面19(07广东卷)（本小题满分14分）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积（1）求的表达式；图6PEDFBCA（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF/AC交AD与M,则，PM=，在PFM中， ，异面直线AC与PF所成角的余弦值为；（15）(07浙江卷)如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于。（关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。）20082009江苏各地考试试卷16（15分）已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）.（1）证明：平面PADPCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.（1）证明：依题意知：2分4分（2）由（1）知平面ABCD平面PAB平面ABCD.5分在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，设MN=h则8分要使即M为PB的中点.10分（3）连接BD交AC于O，因为AB/CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2ODO不是BD的中心10分又M为PB的中点在PBD中，OM与PD不平行OM所以直线与PD所在直线相交又OM平面AMC直线PD与平面AMC不平行.15分16已知ABCD是矩形，AD4，AB2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA平面ABCD()求证：PFFD；()问棱PA上是否存在点G，使EG/平面PFD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由PABCDFE（）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以AFB=DFC=45.所以AFD=90,即AFFD.又PA平面ABCD,所以PAFD. 所以FD平面PAF. 故PFFD. （）过E作EH/FD交AD于H,则EH/平面PFD,且 AH=AD. 再过H作HG/PD交PA于G,则GH/平面PFD,且 AG=PA. 所以平面EHG/平面PFD,则EG/平面PFD, 从而点G满足AG=PA. 18、在直三棱柱中，是的中点，是上一点，且（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积；（3）试在上找一点，使得平面（1）证明：为中点 ，又直三棱柱中：底面底面，平面，平面在矩形中：，即， ，平面； -5分（2）解：平面 =； -10分（3）当时，平面证明：连，设，连，为矩形，为中点，为中点，平面，平面平面 -16分17、已知直角梯形中, ,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.（1）求证：；（5分）（2）求证：；（5分）（3）在线段上找一点,使得面面,并说明理由. （5分）ABCDEGFABCDEGF解：（1）证明：由已知得：, （2分）, ,（5分）（2）证明：取中点，连接,，, ，（7分）, （10分）（3）分析可知，点满足时， （11分）证明：取中点，连结、容易计算,在中,可知,在中, ,（13分）又在中, （15分）（说明:若设,通过分析,利用推算出,亦可,不必再作证明）16在几何体ABCDE中，BAC=，DC平面ABC，EB平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（1）求证：DC平面ABE；（2）求证：AF平面BCDE；（3）求证：平面AFD平面AFE解：() DC平面ABC，EB平面ABCDC/EB，又DC平面ABE，EB平面ABE，DC平面ABE（4分）()DC平面ABC，DCAF，又AFBC，AF平面BCDE（8分）()由(2)知AF平面BCDE，AFEF，在三角形DEF中，由计算知DFEF，EF平面AFD，又EF平面AFE，平面AFD平面AFE（14分）17一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）.（1）求证：MN平面CDEF； （2）求多面体ACDEF的体积.解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADEBCF， 且AB=BC=BF=2，DE=CF=2CBF=取BF中点G，连MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NGCF，MGEF， 平面MNG平面CDEFMN平面CDEF.（2）取DE的中点H.AD=AE，AHDE，在直三棱柱ADEBCF中，平面ADE平面CDEF，面ADE面CDEF=DE.AH平面CDEF. 多面体ACDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在ADE中，AH=，棱锥ACDEF的体积为17ABCDEFG如图，矩形中，为上的点，且，AC、BD交于点G.（1）求证：（6分）；（2）求证；（6分）；（3）求三棱锥的体积（4分）.17 解.（1）证明：， AE平面ABE,ABCDEFG又，又BCBF=B， 6分 （）证明：依题意可知：是中点 则，而是中点 , 在中，且FG平面BFD,AE平面BFD. 12分（）解：，而是中点是中点 且中， 16分(其它求法一样给分)16 如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1A1BC1后得到的几何体（1） 画出该几何体的正视图；（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O平面A1BC1；（3） 求证：平面A1BC1平面BD1D解：（1）该几何体的正视图为：-3分（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，-6分 则D1OO1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1， 所以有直线D1O平面BA1C1；-8分（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1平面A1B1C1D1， 则DD1A1C1，-10分 另一方面，B1D1A1C1，-12分 又DD1B1D1= D1，A1C1平面BD1D，A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1平面BD1D-14分6、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,且的面积为16,过作轴,则的长为. 17、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：（7分）（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明.（8分）证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DC (1)连接DB，可知B、N、D共线，且ACDN 又FDAD FDCD，FD面ABCDFDACAC面FDN GNAC （2）点P在A点处证明：取DC中点S，连接AS、GS、GAG是DF的中点，GS/FC,AS/CM面GSA/面FMCGA/面FMC 即GP/面FMC17如图所示,在直四棱柱中,MABCDA1B1C1D1,点是棱上一点.()求证：面；(5分)()求证：；(5分)()试确定点的位置,使得平面平面. ()证明：由直四棱柱,得,所以是平行四边形,所以(3分) 而,所以面(5分)MABCDA1B1C1D1NN1O()证明：因为, 所以(7分)又因为,且，所以而，所以(10分)()当点为棱的中点时,平面平面取DC的中点N,连结交于,连结.因为N是DC中点,BD=BC,所以；又因为DC是面ABCD与面的交线,而面ABCD面,所以(13分)又可证得,是的中点,所以BMON且BM=ON,即BMON是平行四边形,所以BNOM,所以OM平面,因为OM面DMC1,所以平面平面(15分)ACBDSAABDS主视图左视图俯视图2已知一几何体的三视图如图，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。（1）3；（2）底面边长为4、高为2时体积最大，最大体积为3217 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点（1）求证：A1EBD；（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBD；（3）在（2）的条件下，求。证明：（1）连AC,A1C1正方体AC1中，AA1平面ABCD AA1BD正方形ABCD， ACBD且ACAA1=ABD平面ACC1A1且ECC1A1E平面ACC1A1BDA1E 4分 （2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O,EO由（1）得BD平面A1ACC1BDA1O,BDEO即为二面角A1-BD-E的平面角 6分AB=a，E为CC1中点 A1O= A1E= EO=A1O2+OE2=A1E2A1OOE 平面A1BD平面BDE 10分(3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O=V= 14分16.一个多面体的直观图和三视图如下:(其中分别是中点) (1)求证:平面;(2)求多面体的体积.(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且,.(1)取中点,连,由分别是中点,可设:,面面面.(2)作于,由于三棱柱为直三棱柱 面,且,17（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面,为的中点.（1）求证：PB|平面EAC；（2）求证：平面PBD 平面PAC ；（3）在侧面上找一点，使面。21如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积解：（1）连接，已知、分别为、的中点EF是三角形BD1D的中位线，EF/BD1；(3分)又，EF/面BD1C1(5分)（2）连接、BC1，正方体中，D1C1面BCC1B1，BC1面BCC1B1，所以D1C1 B1C6分在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1B1C，7分D1C1 、BC1面BC1D1，所以B1C面BC1D1(8分)BD1面BC1D1，所以有B1C BD1，(9分)在（1）已证：EF/BD1，所以EFB1C10分（3）连接B1D1，在各直角三角形中，计算得：EB1=3，EF=，FB1=，FC=，B1C=， 12分14分内容总结（1）立体几何二轮复习材料【课程目标】本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步（2）理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（3）理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行