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24.3 24.3 正多边形和圆（一）正多边形和圆（一）问题问题3:什么样的图形是正多边形？什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形.复习回顾：复习回顾：问题问题1：n边形的内角和是边形的内角和是问题问题2：n边形的外角和是边形的外角和是0180)2(n360正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角中心角.正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心中心.外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距边心距.OABDEFG说出图中正多边形的说出图中正多边形的中心，半径，中心，半径，中心角，边心距，中心角，边心距， COG正多边形的正多边形的边心距边心距就是就是内切圆半径内切圆半径。中心既是中心既是外接圆的圆心外接圆的圆心也是也是内切圆的圆心内切圆的圆心。思考思考：正多边形的半径是外接圆半正多边形的半径是外接圆半径径。那么，正多边形的内切圆半径。那么，正多边形的内切圆半径是是 （用图中线段表示）（用图中线段表示）回答回答：1.正正n边形的内角和是边形的内角和是一个内角的度数是一个内角的度数是2.正正n边形的一个中心角是边形的一个中心角是3.正正n边形的一个外角是边形的一个外角是nn01802 ）（n0360n0360正多边形的正多边形的中心角中心角与与外角外角度数相等度数相等0180)2(nnn00180)2(180或 1.求出半径为求出半径为的圆内接正三角形的边长，边心距的圆内接正三角形的边长，边心距和面积和面积.ABCDO3边长边心距312面积思考：思考：则边心距为周长为正多边形的面积是,60,2402cmcm8cmlrS21正多边形的面积 2.求半径为求半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比长的比 。222思考思考：同一圆的内接正三角形，正方形，：同一圆的内接正三角形，正方形，正六边形中，周长最大的是正六边形中，周长最大的是123：正六边形正六边形那么半径为那么半径为n呢？呢？ABCDEFO1.如图正六边形如图正六边形ABCDEF内接于内接于 O，则，则ADB的度数的度数是是030O圆内接正六边形的圆内接正六边形的边长边长与与半径半径 。相等相等ABO是正三角形是正三角形 2.如果一个正多边形的每个外角都等于如果一个正多边形的每个外角都等于360，则这个，则这个正多边形的中心角等于正多边形的中心角等于 。 .有一边长为有一边长为4的正的正n边形，它的一个内角为边形，它的一个内角为1200，其内切圆半径为其内切圆半径为 . .已知正方形的内切圆半径已知正方形的内切圆半径r1，则这个正方形，则这个正方形的外接圆面积的外接圆面积S= .036322正多边形的正多边形的中心角中心角与与外角外角度数相等度数相等 .正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的半径之比1:2 1.如图：圆内接正五边形如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相相交于点交于点P，求，求APB的度数。的度数。ABCDEP2:如图如图,M,N分别是分别是 O内接正多边形内接正多边形AB,BC上的点上的点,且且BM=CN.(1)求图中求图中MON的度数的度数;(2)图中图中MON= ; 图中图中MON= ;(3)试探究试探究MON的度数与正的度数与正n边形的边数边形的边数n的关系的关系.ABCOABCDOOOABCDEFMNABCMMMNNN名师名师第第75页第页第15题题;41,4360)3(;180).2)2( ;360) 1 (. 1222000nnarRarRnnnnnnnn满足关系式和边长，边心距边形的半径）正（；边形的各外角为正（边形的各内角为正边形的中心角为正）下面说法中正确的有（个1 . A个2 .B个3 .C个4DD正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积34 160603230120012009009006023633361222284121.填表：填表：ABCDE问题问题1： 如图如图,把把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次连接各分依次连接各分点得到正五边形点得到正五边形ABCDE.为什么为什么?自学释疑：自学释疑：自学第自学第104页页-第第105页页。问题问题1：会会证明证明圆内接正五边形圆内接正五边形问题问题：能准确能准确说说出正多边形的中心，半出正多边形的中心，半径，中心角，边心距。径，中心角，边心距。问题问题：会会计算计算正多边形的中心角，半正多边形的中心角，半径，周长，边心距，面积。径，周长，边心距，面积。（重点）（重点）例例 有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六的正六边形边形,求地基的周长和面积求地基的周长和面积(精确到精确到0.1m2).解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等所以它的中心角等于于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径等于它的半径.360606因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距22422 3.r 亭子地基的面积亭子地基的面积211242 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr练习练习1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?为什么为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等四个角都相等.2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都各角都相等的圆内接多边形呢相等的圆内接多边形呢?如果是如果是,说明为什么说明为什么;如如果不是果不是,举出反例举出反例.各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形多边形A1A2A3A4An是是 O的内接多边形的内接多边形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,12233411.nnnA AA AA AAAA A23341452121.nnA A AA A AA A AA A A123.nAAAA 多边形多边形A1A2A3A4An是正多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO3.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积形的边长，边心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=1.2R在在RtABD中中 BAD=30,1322ADOAODRRR，cosADBADAB，323 .coscos30RADABRBAD21133 33.2224ABCSBC ADRRRABCDO解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形222BEOEOB222OEOB222OBOE 2222OEOBR边心距22222BCBERR边长2222ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE课堂小结课堂小结1. 圆的内切与外接正多边形圆的内切与外接正多边形2. 正多边形的内切圆与外接圆正多边形的内切圆与外接圆3. 正多边形的中心、半径、中心角、边心距正多边形的中心、半径、中心角、边心距4. 利用正多边形与圆的关系进行解题利用正多边形与圆的关系进行解题问题问题1： 如图如图,把把 O分成把分成把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依依次连接各分点得到正五边形次连接各分点得到正五边形ABCDE.为什么为什么?ABCDEO
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