经济数学(函数习题与答案)

第一章函数习题1123(1) f( ')=1.下列各组函数是否相同？为什么?x丐g(x)二刃tan(arctanx)f(x)2xx3x3g(x)一2x(3)?(x).xx-与g(x)=1yf(x)与sf(t)解(1)因为对f(x)xx-G(-OO,+OO),f(x)与g(x)都有定义且,tan(arctanx)一g(x)所以两个函数相同(2)因为两个函数的对应规则不同，所以两个函数不同xf(x)K.j"小因为函数x的定义域为D1D(f)xR且；0而函数g(x)的定义域为D2=D(f广R所以由D1*D2知,两个函数为不相同的函数(4)两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同2.求下列函数的定义域2?(1)yx-1+71x2x(2)y-lg(3-x)x-1f一x,x0(4)yx,0tCx或2x2,2x解(1)由偶次根式的定义可知,x应满足关系式x2-10故函数的定义域为D(f)(:1)-(1).(2)由关系式3-x0-1i'0X1故函数的定义域为D(f)(3)要使该函数有意义(1,X3).应满足关系式1x2口x,普盘奥日一,V大。珈待1,x.故函数的JE义域为d(f)=(1,1)(1,).(4)后为分段函数的定义域为各分段函数定义域之弁集，故D(f)=(-8,0)U0,2U(2,+8尸(-83.已知f(x)=1、，求f(0),f(2),f(+OO).1x2f(x+),f(x+h)f(X)其中h#0.hx),f(2x)1,f(),f(2h),Xf(0)=0时，11022=2f(2)二时，1f(-t)一f(-x)-12t，所以2t时,t(t中0)时f(2t)122t112tf(2f(th)2x.2x3f(2x),1-h)-1th2,所以2(x1).,所以xf(xh)1(xh2)(x2).4 .求下列函数的值.f(x)Jx1x%1,求f(0),f(1a),f(15).j2x+3?x>1(1)1f(arcsin).(2) f(x)-sinx，求2解(1)当X=0时，f(0)=1.当1+a<1时，即a<0时，f(1a)2a.当1+a>1,即a<0时,f(1司2a5+2a,a0f(1a)即52a,a0当X=-1.5<1时,有'f(15广一0.5.(2)因为f(x)=sinx,1111f(-arcsin一)=sin(arcsin)=-sin(arcsin_一一).所以22225 .求函数的定义域：(1)若"x)的定义域是-4,4,求f(x2)的定义域；若f(x)的定义域是0,3a(a>0)，求f(xa)f(xa)的定义域若f(x)的定义域是0,1,求f(lgx)的定义域；若f(1"x)的定义域是-1,1,求f(x)的定义域.解(1)因为f(x)中的x满足-4<x<4所以f(0)中的x2必须满足4-x24,即2x2.f(x。)故函数'27的定义域是-2,2.一a)(2)欲使函数有定义，须且只需使f(xa)和f(x同时有JE乂,于是(a 0)0-xa-3aiy父0xa3a即a<x<2a.故函数f(xa)f(x的定义域为a,2a.1一X_因为f(lgX)中的1gX,必须满足01gX，即1Ww10.X)故函数f(lg,的定义域为1,10.(4)由f(1诙)的定义域为-1,1,得-1wX01即0<1-X<2故函数f(X)的定义域为0,2.f(X)6 .设函数对一切正数都湎足方程f(Xy)=f(x)+f(y).试证下列各式:f(_1)-.f(X)X(1) f(1)0(2)XXf(-)-f(X)f(y)(3)y证(1)在已知方程中，令X=1,y=1,得f(1)=f(1)f(1)=2f(1)即f(1)一0.。1y=1f(1)f(X)f()0(2)在已知方程中，令X,则X1 f(-)f-即X.1在已知等式中，不变，而将V用y代换彳导f(X)-f(X)f(-)yy将(2)式代入上式，得f(*)-f(X)-f(y)y7.当K为何值时+ +kx 22 kx2的JE义域是(-°°, +°° ).k 0 h时,f(x)二)2 -，此时函数的JE义域为(-°°,+°°).k-0时，只要+隶：kx22kx20,即(2k74x2k<0，也就是0<k<2时,函数的定义域为(-oo,+oo).f(x)=故当0wk<2时,函数kx2+2kx+2的定义域是(-8,+8).习题121 .判断下列函数的单调性:(1) y-(1)x(2)ylog2x2(3)y二xInx(4)y=1%2y()11.解(1)对于指数函数2,底数2,故是单调减函数.(2)对于对数函数y耘2x底数2>1故是单调增函数.(3)因为yxInx的定义域为(0,+8)，对手x1,x2(o,+°°),当x1<x2时,有f(x1)f(x2厂x1lnx2x2Inx2x-x1x2In-1x2x1x2：0,1n10J(x1由假设知x2，侍1f(x2)0即f(x1)fx2)所以y=J,“在(0,+00)上是单调增函数.(4)因为yx2在(-oo,0)上是减函数，而在(0,+OO)上是增函数，所以y1x2在(-°0,0)上为增函数，而在(0,+°0)上为减函数.2.指出下列函数的奇偶性： y x3 3xa x_a x y .x(5) y xsin , xx解(1)因为对x.£V u y 1gL 1 x J1 x11 _x, x <0 y -1 +x, x > 0b-(6) y - x cos x sin x.+ oo),均有f(x).(x)33(x)一(x33x)一f(x)所以该函数为奇函数.(2)因为V弓11,1),均有f(x)=lg1,x=_lg1、=_f(x)1x1x所以该函数为奇函数.(3)因为对于Vx(-°°,0)U(0,+oo)，均有ax-axax-axf(一x)f(x)xx所以该函数为偶函数.(4)因为当x>0,即-x,另时，有f(x)=1-Tx)1+x,=+_=而当x<0,即-x>0时，有f(X)-1(x)-1x,1x,x0f(-x)-f(x)-_,于是1x,x0f(x)所以该函数为偶函数.(5)因为xx(-°0,0)U(0,+00),均有f(x)=fx)sin(1)=xsin=f(x)xxf(x)一所以该函数为偶函数.wp(6)因为7x(-00,+°°),均有f(x)一(x)cos(x)sin(x)/+=-r/xcosxsinx(xcosxsinx)f(x)f(x)所以该函数为可函数.(1) f( x) =|sin x |+ f (x) = xcos x3 .下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期.f(xT)f(x)T之最小正值为兀因.解(1)令=,则|sin(x+T)|=|sinx|.而满足上式的此,f(x)',是以兀为周期的周期函数.(2)设f(xF=f(x)，贝u(x褥T)cos(x+T)=xcosx咻当x=0时，由TcosT=0,得Ti=2;匹(T*三)cos(T+三)=。，得T2二霭当x=2时，由22由于f(x)不满足1°D(f),T均为唯一正值,即T随x的变化而变，所以f(X)xc0sx不是周期函数.4 .证明函数彳x)x2x1在(0,'上是单调增函数.证因为干xi,x2亡(0*工)且xi<x2均有f(x)f(x)_(x2+x+1)(x2-x1)121122一(x1x2)(xix21)而xix2<0时,x1+x2+1阻所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)f(x2)故f(x)为单调增函数.5 .f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，若f(x)在(0,1)内是单调增函数，证明在(-1,0)内也单调递增.证对于Vx1,x2(-1,0)，设x1<x2,由已知得f(x1)=f(x1)f(X2)=-f(x2)且frx1户f(/2),其中-X1,-X2e(0,1).则f(X1)-f(X2)=if(X1)+f(X2)=4f(天1)f(X2)<0即f(X1)f(X2)故f(x)在(-1,0)内也单调递增.6 *,证明yxcos不是周期函数.fJP证因为D(/=0,+8),不是以原点为中心的对称集合，所以f(x)Xco-X不是周期函数.f(x)=1.7 .证明函数x22x5在其定义域内是有界的.证因为x2+2财专(x+1)2+4240所以x22x54故由函数有界的定义知，函数f(x)在其定义域内是有界的8.设函数f(x)的定义域为(巴0)U(0,+8)且满足af(x)bf(1x其中ab, c均为常数，|a|半|b| .证明f ( x)为奇函数.在已知等式中，用x代替X,得1 a f(x)b f(x) c xaf (x)解方程组af ( t) bf ( x) xcx(a - bx 2 )c因为f ( x)(ax2 )c f (一x)a2 b2a2 - b222(a b )(a -bx2 ) c一f -f ( x) x( a2 b2 )所以f(x)为奇函数.9.证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函数之和、一f(x)以乂在对称区间i上的任意一个函数,而一、.2f(x)f()-f(x)f(x)一2-fix)_totf(x)-f(X>22f(x)f(x)f(x)f(x).三cB手则令F1(x)2，F2(x)2(xI)因为黑二I，均有一xI,且_f(-x)f(x)_F1(一x)2F1(x)_f(x)f(x)_F2(x)2F2(x)即F1(x)与F2(x)分别是对称区间I上的偶函数与奇函数，且f(x)Fi(x)F2(x)故函数f(X)可表示为偶函数Fi(X)与奇函数F2(X)之和习题13i.1.求下列函数的反函数及其定义域:y二什lg(x+1)24x2V2x2,解(1)由所给函数解出x，得2(y1)x-y-12( x 1)y交换x, y得,反函数(x-1)(2)由已知函数解出 x，得x=10( y/)一1= 交换x, y得,反函数 y 1 0(x 1 )1(-OO+ OO).，y(3)当 0W x0 2 时,由)(0 y 2)得A x4 y一 y2当2< x < 4时，由y 2x1x 一( y 2)2所以原函数的反函数为2 (2 y46)，得y f 1( x)= 1 ( x 24x x0-x - 2其定义域为0,6.(4)由所给函数解出x,得x - 1( y 1)5交换x, y得,反函数1y( x5- 1)(：,：)(1) y*1 -sin x(3) y - ecos2 x解(1)该函数是由窑函数 复合而成的.(2)该函数是由窑函数(3)该函数是指数函数 复合而成的.(4)该函数是由窑函数yu3 ,对数函数u 11g x复合而成(2)y=sin2x媒，3(4)y(11gx)yu,u=1.v,以及正弦函数v=sinxy=u2与正弦函数u二sinx复合而成.y二eu,窑函数u二v2及余弦函数v二cosx3.已知f(x)x2,g(x)4x,求fg(x),gf(x),ff(x),gg(x).解由复合函数定义,得fg(x)二(2x)2=4x,gf(x)=2x2ff(x)-(x2)2-x4,gg(x)-22xf ( x) -4.设 解因为当十2x 1, xx+1<1 ,1,求 f ( x 1).即 x <0 时，/(x+1)= x +2当x+1之1,即x为时，/(x+1)=2x+3所以f(x 1)=x2,x0.2x3,x05,已知f(x)Z,f%7x，且(x)。，求(x)及其定义域.解由已知由(x)(x)9e懑2,.e2(x),f(x)1x,2(x)1x(x)-ln(1一x)20,。一rHq一得(x)1n(1x)，于是1n(1x)0,即x0时，函数(x).、2f ( t) - 1 (t 1)4(x)有意义,故函数''的定义域是(-8,0.6,设f(2x1)-x2,求f(x).2x1=t,则x=1(t+1)解令2，于是f(x)-1(x1)247.函数yf(x)的反函数x=f1(y)的定义域是否可由其反函数X=f1(y)的表达式来确定？试举例说明.答否.例如，函数f(x)=,x+1的定义域为0,+001值域为1,+s.而它的反函数y=(X+1)2的定义域应为原函数的值域1,+oo.但是从反函数的表达式来说其定义域是R,可见不能通过反函数x 71( y)的表达式来确定反函数的定义域.8.求函数的值域.3 3y 2一 4 "一 、jy 2 的定义域为f ( x)-ex -e 诙4x3mJ一解函数yVx-3的反函数D(f1)-0,2(2,)4x干3y一.故函数YxW的值域为0,2U(2,+oo).9.已知函数yf(x)与yg(x)的图形对称于直线求函数g(x)的表达式.解根据题意知yf(x)与yg(x)互为反函数，而f(x)的反函数为f1(x)j4lnx21"x+R且所以g(x)-1In1x(xx4汾1)21一xf(x)-8，求f1(4).10.设x1-8x_f(x).f1解将y=4代入函数x1，求出x的值即为(4).4=8x一1_由x1,解得x1.故f(4)1.习题14(1) 下列函数的定义域：y=Vx2-16%csin2x1(2) yogxi(16x2)X必须满足(3) y=log2log3(log4x)解(1)因为要使函数有意义,x2x6_02x-11_17才士或£ox=3x-2即-3：x4所以函数的定义域D(f)-3,-2一3,4(2)要使函数有意义,x必须满足x10*Nx驾1一116x2.0x隈一11x30即4.x:4所以函数的定义域D(f)=(一一1,0)(0,4)D.(3)要使函数有意义,x必须满足log3log4x0即log4xI从而要求x>4.所以函数的定义域为D(f)(4,)._f(0),f(1),f(三,f(2),f(1)2.设f(x)arcsinx,求22的值解因为f(x)-arcsinx的定义域为-1,1,值域为22所以f(x)-arcsinxf(1)arcsin(一1)一一2f(3)旬csin2二)- 242、f()arcsin(2nf(1)-arcsin1一2.3.已知奇函数y=f(x)在定义域-1,1上是减函数且f(1a)f(1a2),0求实数a的范围.解因为f(1a)+f(1a2)>°,且函数f(x)为奇函数，所以f(1-a)>-f(1a2)=f(a21A°,f(x).由'在-1,1上为减函数,得ja-1:#1-a1_1a号-1a2-11%解之，得a的取值范围为(1,冉.sin&三a,tanp=b%,(Q七,，试心,p4 .已知2222tan( *" 欧3)寸an- b解由于22,于是魂.Tft(三"'22sin(嗯t然)-sin-a,解之,得arcsina,arctanb即一"arcsina,日诞,-arctanb5 .已知函数yf(X)的图形，作出下列各函数的图形:(1)y,f(x)y-f(x)(3)y二f(x).解(1)yf(x)的示意图形见图11所示(2)yf(x)的示意图形见图12所示.Vf(x)的示意图形见图13所示.图116.已知2f(x)J(1)丁,求f(x).将其代入已会叫件2f(1)f(t)1t22 f ( x)12f()xx解方程组f ( x)7.设函数f ( x)试写出其表达式,1)f ( x) 1(2 x2的图形如图并做出函数x2x2yf(x)的图形.解由所给图形知函数的表达式为<1,x,f(x)1,3,8.已知于是f 1(t )f ( x)f ( x)的图形与f二t1 (log册形关于x轴对称,a x)loga ，则 x aa2 t 15所示.loga(y1)习题15141 .将长度为100cm的金属丝分成两段，第一段围成一个正方形，第二段围成一个圆,设第一段长度为a,正方形与圆的面积之和为S,试将S表示成a的函数.解 设正方形的面积为Si,圆的面积为S2,则(a )2 ,(100 a )2 (100 a)2-4SSSa2(100-a)2(cm)2于是12164".2 .某企业拟建一个容积为v的长方形水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，弁确定此函数的定义域.解设四周单位面积的造价为a,总价为y,底边长为x,则2 V24aV二+->y2ax4x2xa2axx(x0).3 .某产品的产量为x吨，固定成本为b(b>0)元，每生产一个单位产品总成本增加a(a>0)元，试将总成本C及平均成本C表示为x的函数.解总成本函数C=b+ax-Cbca平均成本函数xx(x>0).4 .某厂生产的150克袋装方便面，每袋出厂价为0.3元，销量总在一万袋左右徘徊，通过革新，提高效率后，逐步降低价格占领市场。据统计，每袋降低3分钱，市场需求量增加约0.3万袋，试求价格为p时的需求量Qd,弁求出当p=0.21时的需求量.解设线性需求函数为Qdabp(a0,b0为常数)，a0.3b-1由题意得方程组a0.27b1.3得a=4,b=10.故所求线性需求函数为Qd_4-10p于是当p=0.21时，Qd=1.9,即当价格为0.21时，需求量为1.9万袋.5 .已知下列需求函数和供给函数，求相应的市场均衡价格p.1002Qdp,Qs-2010p(1) 33,p22Q2-114,pQ3(2) ds解设市场均衡价格P*,则由等式Qd(p)=QS(p),得_V00_2p_2010p(1)33即P*=5.(2)将Qs=p-3，代入P2+2Qd2=114,解得P*=8.6.设销售商品的总收入R是销售量x的二次函数.已知x=0,2,4时，相应的R=0,6,8.试确定R与x的函数关系.解由题意设总收入R与x的函数关系为R_ax2-bxc将x=0.R=0；x=2,R=6;x=4,R=8分别代入关系式中，得cT06-4a.2bc8-16a4bc工1a-,b4,c-0.即2故所求总收益函数为R=-1x24x2 .7.某产品年产量为x台，每台售价180元，当年产量在300台以内时，可以全部售出；当年产量超过300台时.经广告宣传后可以多售出200台，每台平均广告费20元；生产再多一些，本年内就售不出去，试将本年的销售收入R表示为年产量x的函数.解由题意知当x<300时，收入R=180x(元)当300<x<500时，收入R=300X20+180x-20x=6000+160x(元)当500<x时，收入R=6000+160X500=86000（元）故本年销售收入R为年产量x的函数为180x,0x：300R-6000160x,300x-500J-8 .某种玩具定价5元/件，每月可售出86000,x500.1000件,若每件售价降低0.01元，则可多售出10件.试将总收入表示为多售出件数的函数解设总收入为R,多售出件数为x件，则每件应降低；00.012R干5x)(1000x=)500x04x0.001于是总收入10所以将总收入R表示为多售出件数x的函数关系为2R=5000+4x-0.001x(元)9.某种彩色电视机每台售价为1500元，每月可销售2000台，每台售价降50元时，每月可增销100台，试求该电视机的需求函数.解电视机的需求量为Qd,价格为p则需求函数为Qd=a-bP(a0汕0:坦为常数)将p=1500,Qd=2000;p=1450,Qd=2100分别代入需求函数中,得2000-a_1500bT2100-a-1450b即a=5000,b=2.所以该电视的需求函数为Qd=5000_2p(p<1500).综合习题一1 .选择填空:19(1)函数y=arcsin(lnX)的定义域为(1,ee,e-1,11,+00.,的偶函数,)是奇函数.g( X )是定义在 g f ( X)_ 1(4)设 f ( X) 1 x , g(x) 1+ln( X 2+i)、ex1,则 f g 1(x)=( 1+ex1).1+ 1-2 ln( x21)m11ln(x2" . f( x )=| xsin X |ecos xX G (-oo,+ OO(2)设f(X)是定义在的奇函数，则下列函数中(fg(X)ff(X)gg(X).(3)设函数ygg(x)、16x2的定义域是-4,-兀U0,兀,则g(X)=().sinXcosXtanXcotX.有界函数单调函数周期函数偶函数.(4)；.2.已知y f (x)在R上有定义，且已知在x之0时函数图形如图 1 6所示:(1) y - f ( x)是否为偶函数？如果是， 请写出y = f ( x)的具体表达式，弁作出 x <0 时函数的图形.f ( x) (2) y = ' )是否为奇函数？如果是，请图16写出y =" x)的具体表达式，并作出函数的图形;如果不是请说明理由解(1) yf (x)是偶函数.+ + , k ( x 3) 3-1 X32_xf (x)(k 0)k( x2+3)0- x当x<0时,函数如图 1 7:(2)不是.因为在x = 0已成多值函数.3.根据下列图形判断函数的单调性答(a)图18是减函数；(b)图19是增函数.4.下列各图形是否为以x为自变量的函数图形，若是，找出图形所表示函数的定义域及值域图 1 11图110f)=-2, 2.答(1)图110是函数的图形，D(f)=-3,2,Z(2)图111不是函数的图形，因它是多值对应.5.设:1, f ( x)匚W。， "JII一L： 1,x < 1x -1 , g( x) eI l:>求£ g( x)g f (x)并作出这两个函数的图形.-1 ,f g( x) -01,x-e , 1g f(x ) 一x1 ,x->00-，如图112所示.11113所示.如图111f f ( x)111 -(1f ( x)f f f ( x)1f ( x)1 1所以f ( f f f ( x)f f (x)1f () f ( x) 11 1 - xf (x)1- -xx 17.设f ( x)是奇函数，且当x0时，"x) 2x 1,求"x)，并判断它是否有反函数,若有反函数则求出其反函数27解由"x)是奇函数，有即f ( x) - -f( x)f( x)f ( x)又因为当x 0)时，有 f (x) =2x-l所以当 x<0 时，有 f (x)=-f( -x) =2r。=1 2x2x _1, x 0f ( x)一金一 展：即1 2 x , x 0当x>0时，f ( x)是单调增函数,x<0时f (x)是增函数故f (x)在(产，+、上有反函数log 2 ( x 1)log 2 (1 x),8.解i x2 , x - 0f ( x) 设x2 x, x 0.求 f(-x)f ( x)因为(-x)2 , x - (x)2 - x, 一x的解析式00f (-x)x2所以9.f ( x) = ?, 0,x 1x >1，求 f f ( x).f ( x)-1,0,当x-1" 一 丁/ f ( x)-f (1) - 1 时，f ( x)= 1,于是 L 一时，f ( x) = 0,于是 f f ( x) = f (0) = 1由(1), (2)可知f f ( x)=1Vex R).x2f ( x)一10.设'2, x 0,(x)一x,x L 0,求函数f (x).中f ( x)解因为x(x), 2,<(x)(x)当x0时，(x)x20，有f(x)x22(2)当x"0时，(x)x0，有f9x)=2+xf(x)x22,x0故结合(1)、(2),得x2,x011 .设'(x)是奇函数，f(1)=a且f(x+2)-f(x)=f(2).(1)试用a表示f(2)与f(5);(2)问a取何值时,f ( x)以2为周期解(1)由'(x)是奇函数知，f(x)f(x)且f(1)f(1)因为f(x2)f(x)一,(2),所以令x=-1,得/(2)=2a.又分别令x=3与x=1,有f(5)一f(3)-f(2)f(3)f(1)-f(2)得(5)=5a.(2)由 f ( x2) f ( x) f (2)知，当且仅当 f ( x 2) - f (x)( (2) = 0,即2a = 0时，就恒有故当a=0时，('以2为周期.12 .(最优批量问题)某工厂生产某中产品，年产量为a吨，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均投放市场，且上一批卖完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半.设每年每吨库存费为c元，显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数多，准备费增加.为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系x解设批量为.库存费与生产准备费之和为y(x)aab因为年产量为a,每年就应生产(X)批，所以生产准备费为xx.xxc又因平均库量为2，库存费就为2.a x y( x) - b -c故x 213.某商业机械厂根据市场需要, 每生产100个单位产品，成本增加a(x为整数)生产电梯踏板，固定成本为20000元，50元，销售收入900元，每年最多生产100000个单位产品.如果年产量为x个单位产品，试把一年的总利润L表示为x的函数.L(x)_900X20000509X解10010008.5x20000(0x100000)