罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

中道定理与导数的应用内容概要名称主要内容(3.1、3.2)3.1中值定理名称条件结论罗尔中值定理yf(x)：(i)在a,b上连续;(2)在(a,b)内可导；f(a)f(b)至少存在一点E(a,b)使得f/(90拉格朗日中值定理yf(x)：(i)在a,b上连续；(2)在(a,b)内可导至少存在一点(a,b)使得f/f(b)f(a)ba柯西中值定理f(x)、g(x)：(1)在a,b上连续，在(a,b)内可导；(2)在(a,b)内每点处g/(x)0至少存在一点七(a,b)使得f/of(b)f(a)g/()ba3.2洛必达法则基本形式0型与一型未定式0通分或取倒数化为基本形式1) 型：常用通分的手段化为_0型或一型；02) 0型：常用取倒数的手段化为9型或一型，即：000f0或0,取对数化为基本形式1)0型：取对数得00e0ln,其中01n00-0-1/0或01n00；1/02) 1型：取对数得1e1n1,00其中1n101/0或1n10；1/0一、0一001n3) 型：取对数得e,其中01n01/0或01n0。1/0课后习题全解习题3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。(1)f(x)2x2x31,1.5；(2)f(x)XV3-x0,3o知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程fl90,得到的根己便为所求。解：(1)f(x)2x2x3在11.5上连续，在(1,1.5)内可导，且f(1)f(1.5)0,2f(x)2xx3在1,1.5上满足罗尔定理的条件。令f(9410得1，、士一(1,1.5)即为所求。4.f(x)x“3x在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(3)0,f(x)xj3x在0,3上满足罗尔定理的条件。令fOJ3I一0,得22(0,3)即为所求。2J3己2.验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间0,1上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f(9f1f-(0)-,若得到的根士0,1则10可验证定理的正确性。解：yf(x)4x35x2x2在0,1连续，在(0,1)内可导，y4x35x2x2在;要使f ()f(1) f(0)0,只要:区间0,1上满足拉格朗日中值定理的条件。又f(1)2,f(0)2,f(x)12x210x1,513(0,1)，5 , 1312 3.已知函数f(x)12一、f(1)f(0)(0,1)，使f(0，验证完毕。104.(1,2)即为满足定理x在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的解：要使f工(2一灿，只要4己315214.试证明又函数 y px2 qx r应用拉格朗日中值定理时所求得的点已总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为a,b,则函数ypx2qx r在a,b上连续，在 (a,b) 内可导，从f(b) f(a),即2222、q (pb qb r) (pa qa r) b ab a A,结论成立。23. 5.函数 f (x) x 与 g(x)1在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论,f-(b)一3 ,得到的根己便为所求。 g(b) g(a)解：: f(x)x3 及 g(x) x21在1,2上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有g (x) 2x0,所以满足柯西中值定理的条件。要使 -f(2)f(1),只要匹gOg(2) g(1)14一(1,2),已即为满足定理的数值。9求证:6.设f(x)在0,1上连续，在(01)内可导，且f(1)0。存在 2 (0,1)，使 f ( 9f(9知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从f / (士)结论出发，变形为f / (9 E f ( a 0,构造辅助函数使其导函数为f/(x)x f(x),然后再利用罗尔中值定理,便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数F(x) xf(x), F (x)f (x) xf (x)根据题意F(x)xf(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(1)1f(1)0,F(0)0f(0)0,从而由罗尔中值定理得：存在士(0,1),使9)注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如:要使 f(x)f (x)1发-ln f(x) ln x f(x)xln xf (x)* 0 xf(x) 0;只要设辅助函数F(x) xf (x)7.若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且 f(x1)f区)fd)F(9f(Mf(00,即f(9(axix2x3b),证明：在(制改)内至少有一点知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明：:f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，：f(x)在x1,x2、x2,x3内连续,在(“内)、(x2,x3)内可导，又f(xi)f(x2)f(x3),:由罗尔定理，至少有一点&(x1,x2)、&(x2,x3),使得f(&)0、f(&)0；又f(x)在a,&上连续，在(&,&)内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点己(自,&)(x1,x3)，使得f(90。4328.右4次万桂a0xaxa?xa3xa40有4个不同的实根，证明：4a0x33a1x22a2xa30的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令f(x)&x4aix3a2x2a3xa4则由题意，f(x)有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4,f(x)在为出、区内、风后上连续，在便见)、02K)、的心)上可导,又f(xjfd)fj)fM)0,:由罗尔中值定理，至少有一点&(x1,x2)、&(x2,x3)、&(x3,x4)3_2使信f(5)f(&)f(&)0，即万程4a0x3a1x2a2xa30至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。9.证明：方程x5X10只有一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。5解：令f(x)xx1,.f(x)在01上连续，且f10,f(0)10,;由零点定理，至少有一点士(0,1),使得f3)甘210;假设x5x10有两个正根，分别设为自、&),则f(x)在在&,&上连续，在(&,&)内可导，且f(&)f(&)0,从而由罗尔定理，至少有一点七(自，&),使得f(5e10,这不可能。:方程x5x10只有一个正根。10.不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根,并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：.f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)在1,2、2,3、3,4上连续,在(1,2)、(2,3)、(3,4)内可导，且f(1)f(2)f(3)f(4)0,:由罗尔中值定理，至少有一点自(1,2)、&(2,3)、%(3,4),使得f(a)f(&)f(8)0,即方程f(x)0至少有三个实根,又方程f(x)0为三次方程，至多有三个实根,f(x)0有3个实根，分别为盲(1,2)、&(23)、&(3,4)。11.证明下列不等式：(1)arctanaarctanbab；(2)当x1时，exex；(3)设 x 0,证明 ln (1 x) x ；知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程:,11(4)当 x0时，ln(1 -)x 1 x寻找函数yf(b) f(a)(或f(b)f(a)f(9(ba)证明的不等式。证明：(1)令f(x)arctanx,f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,;由拉格朗日中值定理，得 arctana arctanbf ( ?(b a)y-2 ba ba。令 f(x) ex (x 1),f(x)在1,x上连续，在(1,x)内可导,:由拉格朗日中值定理，得 ex e1 Ex,ex e e(x 1) e(x 1) ex e,从而当 x 1 时，ex ex(3)令 f(x) ln(1x) (x 0), f(x)在0,x上连续，在(0,x)内可导,:由拉格朗日中值定理，得.1ln(1 x) ln(1 x) ln(1 0) f ( 9(x 0)x, 1 E1x，: x x ,即 x 0 , ln(1 x) x1 E(4)令 f (x) ln x (x 0),f (x)在x,1 x上连续，在(x,1 x)内可导,:由拉格朗日中值定理，得1.1ln(1 -) ln(1 x) ln x f ( 9(1 0)一, xE,1111x 1 x,-,即当 x 0 时，ln(1 )士 1 xx 1 x一,一.2x , 八12.证明等式： 2arctanx arcsin了 Kx 1).1 x2知识点：f (x) 0 f (x) C (C为常数)。思路：证明一个函数表达式 f (x)恒等于一个常数，只要证 f (x) 02x ,、证明：令 f (x) 2 arctan x arcsin2 (x 1),1 x当 x 1 时，有 2arctan1 arcsin 1/；当 x 1 时，有f (x)21 x212(1 x2) 2x 2x 22小2)-葭1 x12 2x21 x2 (1 x2)22上方(上r)0，f(x)cf(1)1x1x1)成立。2arctanxarcsin-2xyMx1x13.证明：若函数f(x)在(-,)内满足关系式f(x)f(x),且f(0)1,则f(x)exo知识点：f(x)0f(x)C思路：因为f(x)exexf(x)1,所以当设F(x)exf(x)时，只要证F(x)0即可证明：构造辅助函数F(x)exf(x)，则F(x)exf(x)exf(x)0；F(x)exf(x)CF(0)1f(x)exo14.设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有f(a)f(b)0,f(c)0(acb),试证在(a,b)内至少存在一点巳使f(90。知识点：拉格朗日中值定理的应用。思路：关于导函数f(n)(Q在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。证明：f(x)在a,c、c,b上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，;由拉格朗日中值定理，至少有一点自(a,c)、&(c,b)，使得f ( &)f(a) f(c)a c0;又f(x)在a,&上连续，在(自，&)内可导，从而至少有一点己(&,&),使得f(0f(=-0。 15.设 f (x)在a,b上可微，且 f (a)0, f (b) 0, f (a) f (b) A,试证明 f/(x)在(a,b)内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在a,b上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明： f (a) limx af(x) f (a)0,由极限的保号性知,(a, 1)(不妨设百xb-a2),对于 x(a, 均有 f(x) f(a) 0,x a特别地，x1(a,皆)，使得f(xi) f(a)x1a0,得 f(x1)f(a) A;同理，由f (b)0,得 x2(b,今)(心b-a),使得2fM) f(b) n0 ，x2b从而得f (x2)f(b) A;七(Xi%)使得 f(0 A;又丁f(x)在”M2上连续，：由介值定理知，至少有一点f(x)在a,小2,b上连续，在(a,E)、(2,b内可导，且f(a)f(Qf(b)A,:由罗尔中值定理知，至少有一点&(a,%&Qb使得f(。f(&)0,结论成立。16.设f(x)在闭区间a,b上满足f(x)0,试证明存在唯一的c,acb,使得f(c)“知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证明：存在性。f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,:由拉格朗日中值定理知，至少有一点c (a,b),使得f(c)f(b)f)ba唯一性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点df(b)f(a)(a,b),使得f(d)-ba(c,d)(或(d,c)内可导,又f(x)在c,d(或d,c)上连续，在:由罗尔中值定理知，至少存在一点E(c,d)(a,b)(或2(d,c)(a,b),使得f(90,这与f(x)在闭区间a,b上满足f(x)0矛盾。从而结论成立。方法二：f(x)在闭区间a,b上满足f(x)0,.f(x)在a,b单调递增,从而存在存在唯一的c(a,b),使得f(c)fb一Ua)。结论成立。ba17.设函数yf(x)在x0的某个邻域内具有n阶导数，且f(0)f(0)f（n1）（0）0,试用柯西中值定理证明:知识点：柯西中值定理。思路:对f(x)、g(x)证明:f(x)、g(x)且在（0,x）每一点处，g（nf(x)nxf(n)(8)n!(081)。xn在0,x上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。xn及其各阶导数在0,x上连续,1)(x)n!x0,又f(0);连续使用n次柯西中值定理得,f(x)nxf(x)f(0)xng(0)f(1)f(8f(0)ng(0)在（0,x）上可导,(0)f(n1)(0)0,f(n1)on1)f(n1)(0)n!1g(n1)(0)f(n)(n!以(081),从而结论成立。习题3-21.用洛必达法则求下列极限:（1）xxeelimx0sinx（2）sinxsinalimxax-a（3）limlnsinxx2(兀2x)1ln(1-)(4)lim-xarccotx(5)!im0lntan7x(6)(9)(13)(17)lntan2x12mlimxex0lim(1xaxa)xxlxm0(11sinx)x知识点：洛必达法则。3.xlimx11lnxxee(7)tanxxlim0x-sinx(8)limxcot2x；x01(10)limx(exx(14)limx0;(18)limx0思路：注意洛必达法则的适用范围。1);1(11)lim(x0xx(12)lim(x1x-1)；lnxxsinx；(15)limx0/1xtanx(一)x(16)x.elimx0ln(1x-arctanx1x、(ln-)x;(19)lim(20)12lim(ntan)nnn该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为:0型与一型未定0式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、1型与0型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；止匕外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解:xx(1)lim-ex0sinxxxeelim2;x0cosx1)sinxsina(2)limxaxalimxacosx1cosa；cosxlnsinxtcosxsii(3)lim2limsinxlimlim一xJ(兀2x)2xg4(2x力xg4(2x昉xg8iln(1-)(4)limx-limxarccotxx12x(x1)1x.lim1;1xx(x1)1x2lntan7x(5)limx0lntan2xi2=7sec7xlimanx02sec2xtan2xr2-7cos2xtan2x/lim2-1;x0tan7x2cos7x33xx1lnx.x(6)limlim-xx1e11(8)lim xcot 2x lim lim 2 x 0x 0 tan 2xx 0 2sec 2x2ex1ex，一2tanxxsecx1limlimx0xsinxx01cosx4;e22tanxsecx2limlim32;x0sinxx0cosx1一2二2(9)limxexx0lxm0lim012三-ex1limexx011uT2u.2.2e(或斛为：limxexlim一x0uu.elimu11二(e1)(10)limx(ex1)limlimxx1x1limexx1;（或解为：;当x11时，e1x1.limx(exx1)limx1/x,e11/xlimSx1/x,、1(11)Iim(-x0xlimex1x(exx(ex1)1)xxIimIimJ2x(12)Iim(x1xInxlimxInxxlimIn(x1)InxInx乎1InxInx2（或解为：Iimx，(13)Iim(1x(14)Iimx0(15)(16)(17)(18)(19)(20)xIn(xsinxx1XtanxIim(-)x0x1)Inxuim0In(uIimxIn(1xeIimsinxInxex0Iimx0Iimex01)2ua)xex(u1)In(Iim0InxcotxuIn(uIn(1IimxInxcscxIimx0exIim0Iimex01)uIn(u1)exIn(1x)arctanxIimxexcotxcscxxcsc2x_ae;Iimx0Iim一x01(11)uIimu0Iimex0Iimex0(utanxsinxsin2xx2)(xex(x1)In(u1)u1)1)x2/x.(xeIimx0xe1)xxe2xxm0(1Iim(InIim(xx令f(x)sinx)xsinx)IimexcosxIim01sinxe；1x一)xIimx0InInx1x2)xIim：0Inx-)xxIimx0InxIim：01/x1；In(xIim1x2)exIimxe1.1x2Iimxe1;,2,tsecttantIim八t02t2tante12(xtan广x,2.tsectIimct02t3etant1、x2Iim(xtan)tsintcostIim-八t02t3cos2te1xtantIim()1tsin2tIim2小02t3eIimet0IntantIntt2limet02X1cos2t(1cosx)_6?2t21lim27062-3eelimn1n：(ntan-)n2.验证极限limXxsinxsx存在,但不能用洛必达法则求出。X知识点：洛必达法则。思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。X,xsinx一sinx.斛：limlim(1)101,xxxxxsinx1cosx若使用洛必达法则，得limlimxxx1:极限limxsinx存在;xx1limcosx,x而limcosx不存在，所以不能用洛必达法则求出x(x)-h)2h2x)f(xh)知识点：导数定义和洛必达法则。思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论证明：.limf(xh)2f2x)f(xh)limf(xh)f(xh)h0hh02hlimf(xh)f(x)f(x)f(xh)h02h1.f(xh)f(x)1f(xh)f(x).线/求一lim-limf(x),结论成乂。2h0h2h0h(1x)1x1xx04.讨论函数f(x)Le,在点x0处的连续性。e12,x0知识点：函数在一点连续的概念。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念(1 x)-1x 1/ lim Iln (1 x)解：lim f (x) lim-) xex 0 xex ox 0 elimex 0ln(1 x) xx2_L 1 lim 1 x x o 2 x elim2e2f(0),.f(x)在x0处右连续;从而可知，f(x)(1x)1x1xxee12,5.设g(x)在X0处二阶可导，且f(0),其中f(x)0在点x0处连续。g(0)0。试确定a的值使f(x)在x0处可导，并求知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使f(x)在x0处可导，则必有f(x)在x0处连续,又g(x)在x0处g(0)0,alim0f(x)lim典x0xlim0g(x)g(0)g/(0)；由导数定义，f(0)li”x0f(x)f(0)g(x)g(0)lim-x0x0g(x)g(0)xlimx02xg(0)1取1g(0)。内容概要名称主要内容(3.3)3.3泰勒公式泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n1阶的导数，则对任一/f”(X0)2X(a,b),有f(x)f(Xo)f(Xo)(xXo)(xx)2!f(X0)/、nc,、一人士屹(xx0)Rn(x),此公式称为n阶泰勒公式；n!f(n1)()其中Rn(X)(XXo)n1(介于Xo于X之间)，称为拉格朗日型余项；或(n1)!Rn(x)o(xx0)n,称为皮亚诺型余项。n阶麦克劳林公式：/f”(0)2产nf(x)f(0)f(0)X，xxRn(x)2!n!f(n1)(x)一c其中Rn(x)(-)Xn1(01)或Rn(x)O(xn)。(n1)!2n常用的初等函数的麦克劳林公式：Dex1xo(xn)2!n!352n1c、XXn_X/2n2、2)sinxx(1)o(x)3!5!(2n1)!2462n.XXX,.nX,2n1、3)COSX1(1)O(X)2!4!6!(2n)!23n11 /x、xx/nx/n1、4)ln(1x)x(1),o(x)23n1_、1/2n/n、5) 1XXXO(X)1 X小、m.m(m1)2m(m1)(mn1)n/n、6)(1x)1mxxxo(x)2!n!习题3-31.按(x1)的嘉展开多项式f(x)X43x24。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求f(x)按(xX0)的嘉展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n1阶的导数在xxo处的值，然后带代入公式即可。解：f (x)212x6, f (1) 18；一34x6x,f(1)10；f(x)f (x) 24x, f (1) 24； f(4)(x)24； f (4) (1) 24； f (x) 0；将以上结果代入泰勒公式，得f(x)f(1)L(x1)22x1)*21!2!3!(x1)3(1)4!(x1)42810(x1)9(x1)344(x1)(x1)。2.求函数f(x)jx按(x4)的嘉展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。.1f (x) x432知识点：泰勒公式。思路：同1。f(x)256(4),f(x)15一x16将以上结果代入泰勒公式，得f(x)f(4)*x4)(4)2!(x4)2(4)3!(x4)34!(x4)412(x4)41(x644)2一(x5124)37(x128E24)4,(士介于x与4之间)。3.把f(x)2x-2在xx0点展开到含4x项，并求f(0)。xn o(xn)。知识点：麦克劳林公式。1思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论1x斛：f(x)1x2cx2x2x2x、1112x(1x)飞23x1x12x(1x)(1o(x3)2x2x2又由泰勒公式知x3前的系数f(0)3!2x4o(x4)；4.求函数f(x)lnx按(x2)的嘉展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法,f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论2xln(1x)x2nxn1)一n/n1、o(x)。方法一：(直接展开)(x)f(x)f(2)x将以上结果代入泰勒公式，得,f(x)(1)n1(n1)!nx,f(n)(2)1)n1(n1)!2nlnxf(2)f(2)1!(x2)9(x2!2)2fQ)3!(x2)3巴4!(x2)4f(2)n!(x2)no(x2)n)ln212(x2)，x2)2(1)nn2n(x2)no(x2)n)。方法f(x)Inxln(2x2)In2ln(1)In23c12)31)n3(x2)31)n/)1n*)n)In22(xx21x2、2222122)2r(x2)5.求函数f(x)工按(xx知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同方法f(x)n2n(x2)no(x2)n)。1)的嘉展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论(11),、2.,、6(x)=,f(1)2;f(x)xxf(1)6,f(n)(x)(nn!1)-n-j，xf(n)(1)(1)nn!rv1将以上结果代入泰勒公式，得1)f(1)1!(x1)f(1)2!(x1)2”x1)3f(n)(n!1)(x1)nf(n(9(n1)!(x1)n方法1(x1)(x1)2(x1)3(x1)n(1)n521-(x1)n士介于x与1之间)。1(x1)1(x1)(x1)2(x1)3(x1)n(1)n“n21-(x1)n11(x1)(x1)2(x1)3(x1)n以(x1)m士介于x与1之间)。6.求函数yxex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。思路：直接展开法，解法同1;间接展开法。f(x)中含有ex时,通常利用已知结论2!n!o(xn)o方法一：y(x1)ex(0)1；y(x2)ey(0)2；(n),y(xn)ex,y(n)(0)n,将以上结果代入麦克劳林公式，得xxef(0)U0)xx1!f(0)2f(0)3xx2!3!f(0)nxn!o(xn)方法2!(n1)!o(xn)。xxex(12!(n1)!o(xn)。(n1)!o(xn1)x2!3x ，x ,， j , 一计算e的近似值时，所产生的误差小于61x2x.x7.验证当0x时，按公式e1x220.01,并求je的近似值，使误差小于0.01。知识点：泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。解：|R3(x)e4!214!2410.01；Je19211c0.646。848并估计其误差。8.用泰勒公式取n5,求ln1.2的近似值,知识点：泰勒公式的应用。解：设f(x)ln(1x),则f(x)f(0)41!f(0)2!f55!2xx一2,从而In1.2f(0.2)0.20.220.230.24应01823；其5误差为：R5(x)16(10.2660.0000107。9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:(1) lim (vx3 3x Vx2x);x(2)lxm01 1x221 x2/x22(cosx e ) sin x知识点：泰勒展开式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：(1)lim (Vx33x Vx2 xx)lim x(1 x1 lim (x 2x(11 o(J2) xlim x(1 x1 - x(1 1)21232)398x1o)x1221 -x 1 x(2)lim 22x 0 (cosx ex )sinx2 (1x2 (cosx e )x1 2a2lxm01(111 21 22 21 x (1 x2221)一)x4 o(x4)2(1 x2o(x2) (1 x2o(x2)x21 4 x .8 lim4x 0 3x4Fo(x4)o(x4)1 o 12210.设 X0,证明:xxln(1x)o2知识点：泰勒公式。思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其寨级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。解：ln(1x) x3x3(1 Q3士介于0与x之间)，; x3x0，33(193从而ln(1x) x3x3(1 a32x，结论成立。2(也可用3.4函数单调性的判定定理证明之)11.证明函数“*)是门次多项式的充要条件是f(n1)(x)0。知识点：麦克劳林公式。思路：将f(x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。0。解：必要性。易知，若f(x)是n次多项式，则有f(n1)(x)充分性。: f(n1) (x)0 , f (x)的n阶麦克劳林公式为:f(x)f(0) f (0)x-_2f (0)x2!f (0)x33!f (n)(0)xnf(n 1)( axn 1n!(n 1)!f(0)f (0)xf (0)x22!f (0)x33!f (n)(0)xnn!,即f (x)是n次多项式,结论成立。12.若 f(x)在a,b上有 n 阶导数，且 f(a) f (b)f (b)(b)f(n1)(b) 0证明在(a,b)内至少存在一点巳使f(E)0(aEb)。知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。f(n 1)(x)在a,b上满足思路：证明f(Q0(a七b),可连续使用拉格朗日中值定理，验证罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据f(x)在xb处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一：二f(x)在a,b上可导，且f(a)f(b),:由罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点&,使得f(&)0；f(x)在&,ba,b上可导，且f(b)0,:由罗尔中值定理知，在(&,b)(a,b)内至少存在一点使得f(&)0；依次类推可知，f(n1)(x)在占i,ba,b上可导，且f(n1)(幻1)f(n1)(b)0,:由罗尔中值定理知，在(力,b)(a,b)内至少存在一点巳使得f(n)(90(n 1) /f (b) n 1-(x b)(n 1)!0,结论成立。方法二：根据已知条件，f(x)在xb处的泰勒展开式为:f(x)f(b)f(b)(xb)詈(xb)2f(n)(n(xb)n(x2b),n!f(n)(af(a)()(ab)n0,从而得f(E)n!内容概要名称主要内容(3.4)3.4函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判别法：设yf(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则(1)若在(a,b)内f(x)0,则yf(x)在a,b上单调增加；(2)若在(a,b)内f(x)0,则yf(x)在a,b上单调减少。1)曲线凹凸性的概念：设f(x)在区间I内连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有f(力_x二)UxJ_fix2),则称f(x)在i上的图形是凹的；如果恒有22f(jx_x2_)fixtlx2),则称f(x)在I上的图形是凸的。222)拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则(D若在(a,b)内f(x)0,则yf(x)在a,b上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f(x)0,则yf(x)在a,b上的图形是凸的。习题3-41.证明函数yxln(1x2)单调增加。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，f(x)0(f(x)0),则f(x)在I单调增加(减少)。证明：y1-2x2(1x20(仅在x1处y0),1x1xyxln(1x2)在(，)内是单调增加的。2.判定函数f(x)xsinx(0x2力的单调性。解：f(x)1cosx0(仅在x九处f(x)0),f(x)xsinx(0x2力是单调增加的。3.求下列函数的单调区间：“、132823：；一2(1)y-xx3x1；y2x(x0)；(3)yxxx；3x3(4)yln(x41x2)；(5)y(1Vx)x；y2x2Inx知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些1，由上表可知,(2)在(0,斛：(1)y-xx3x1的定义域为(，)；令yx2x30,3x23。列表讨论如下:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)0一0f(x)132y-x3x23x1在(，1)、(3,)内严格单增，而在(1,3)内严格单减。、，一8)内，令丫220,得x2；x当x(0,2)时，有y0；当x(2,)时，有y0；）内严格单减。(3)Vx2的定义域为（)；令 y - 2x33 32(3 X 1)33 x0,由上表可知,x(,0)0(01)1(1,)f (x)0一0f(x)0为不可导点。列表讨论如下:）内严格单增，而在（0,1）内严格单减。232-x Vx 在(，0)、(1, 3(4)y ln(x,1 x2）的定义域为（),(5)(6)ln(x(1(1v1 x2)在(JX）x的定义域为0,11 x20,）内严格单增。(x3x2)Jx）x在0,）上严格单增。22x lnx的定义域为（0,），令y4x4x2小 1、， c ,1、，（0,-） 时，y 0 ；当 x （一，）时,220;c 2. 一 1、，12x ln x在（0,一）内严格单增，在（一,22）内严格单减。4.证明下列不等式:(1)当 x 0时，1v1x ；(2)当4时，2x(3)当 x 0 时，(1x)ln(1 x) arctan x；(4) 0 x.一时，tan x 28，一2x（x0）在（0,2）内严格单增，在（2,x知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3方法。1解：(1)万法一：令f(x)1-xJ1x1111则当x0时，f(x)(10,22,1x2.1xf (x) 1 -x 卡x 在0, 2)上严格单增；从而f (x) f (0) 0,r-1即1一x小x,结论成立。2方法二：由泰勒公式，得f (x) 1 x , 1 x 1 x 222xf(x) 30,从而得18(1铲“1 x2、x2c(1 2x 3) 3(o8(1/8(1寸1-x1 x ,结论成立。2x),(2)方法一:令f(x)2x x2 ,则当 x 4 时，f (x) 2xln2 2x ,f (x) 2xln22 2_2 _2 2f (4) 161n 2 2 (ln4 )-2 2_2 (Ine) 2 0,f (x) 2xln 2 2x在(4,)内严格单增,从而 f (x) 2x In 2 2xf (4) 16ln2 4 4(ln161) 0,f (x) 2x x2 在(4,)内严格单增，在(4,)内口)2x x2 f (4) 8 0,_x 22 x ,结论成立注：利用f (x)的符号判断f (x)的单调性，利用f (x)的单调性判断其在某区间上的符号,从而得出f(x)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二：令f(x)xln22Inx,2111_当x4时，f(x)In2-In2In4一0,x222f(x)xIn22Inx在(4,)内严格单增，f(x)xIn22Inxf(4)4In22In40,从而有，xIn22Inx,.xIn22Inxx2八、人ee，即2x,结论成立。(3)令f(x)(1x)In(1x)arctanx,1则当x0时有f(x)In(1x)120(仅在x0时，f(x)0),1xf(x)在0,)上严格单增，从而有f(x) f(0) 0,即(1 x)ln(1 x) arctanx,结论成立人 , 、，一，.Tt. .9.9_(4)令 g(x) tanx x,则当 0 x 时，有 g(x) sec x 1 tan x 02r .,、，一冗、从而g(x) tanx x在(0,一)内严格单增，：g(x) 21 3再令 f (x) tan x x -x , 3，八、八r ，八冗、，g(0) 0 ,即在(0-)内 tanx 2x； _冗则当0 x 时，2从而 f (x) tan x即在(0,)内tan x22222f (x) sec x 1 x tan x x 0,13 ,冗、，x -x3在(0, 一 )内严格单增,321 3x - x ,结论成立。3f(x) f(0)5.试证方程sin xx只有一个实根。知识点：导数的应用思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。解：易知，sin00,即x0是方程的一个根；令f(x)xsinx,贝Uf(x)1cosx0(仅在x2kMkZ)处f(x)0),f(x)xsinx在(，)内严格单增，从而f(x)只有一个零点,即方程sinxx只有一个实根。f (x) x sin x 06.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子:知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不一定为单调函数。f (x)1 cosx 0 (仅在 x (2k 1) XkZ)处 f (x) 0),f(x)xsinx在(，)内严格单增;而 f (x)1cosx在(2kR(2k1)冗)内严格单减，在(2k1)/,2k内严格单增，从而在(,)上不单调7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间:1 ,(1) y x (x 0)； x(2) yxx2 1(3) y x arctan x ；(4)y (x 1)4 ex;2(5) y ln(x 1)；(6) yar