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(时间：40分钟满分：60分)1已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若点B的坐标为(3,4)，求点A的坐标解 .设A(a，b)，则由 ，得所以即A(2,3)2(2011扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A(7,10)，点B(2,0)变成了点B(2,4)，求矩阵M.解设M，则 ， ，即解得所以M.3(2011南京模拟)求曲线C：xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解设P(x0，y0)为曲线C：xy1上的任意一点，它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x，y)由 ，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy1上，所以x0y01.所以1，即x2y24.所以所求曲线C1的方程为x2y24.4已知矩阵M的一个特征值为3，求其另一个特征值解矩阵M的特征多项式为 f()(1)(x)4. 因为13为方程f()0的一根，所以x1，由(1)(1)40，得21，所以矩阵M的另一个特征值为1.5求矩阵的特征值及对应的特征向量解特征多项式f()(2)21243.由f()0，解得11，23.将11代入特征方程组，得xy0，可取为属于特征值11的一个特征向量同理，当23时，由xy0，所以可取为属于特征值23的一个特征向量综上所述，矩阵有两个特征值11，23；属于11的一个特征向量为，属于23的一个特征向量为.6在平面直角坐标系xOy中，直线xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求实数a，b的值解法一在直线l：xy20上取两点A(2,0)，B(0，2)A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A、B.因为 ，所以点A的坐标为(2，2b)； ，所以点B的坐标为(2a，8)由题意，点A、B在直线m：xy40上，所以解得a2，b3.法二设P(x，y)为直线xy20上的任意一点，它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x，y)，则，得解得因此20，即(b4)x(a1)y(2ab8)0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40.所以.解得a2，b3.
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