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(时间:40分钟满分:60分)1已知点A在变换T:作用后,再绕原点逆时针旋转90,得到点B.若点B的坐标为(3,4),求点A的坐标解 .设A(a,b),则由 ,得所以即A(2,3)2(2011扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下,点A(1,2)变成了点A(7,10),点B(2,0)变成了点B(2,4),求矩阵M.解设M,则 , ,即解得所以M.3(2011南京模拟)求曲线C:xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解设P(x0,y0)为曲线C:xy1上的任意一点,它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x,y)由 ,得解得因为P(x0,y0)在曲线C:xy1上,所以x0y01.所以1,即x2y24.所以所求曲线C1的方程为x2y24.4已知矩阵M的一个特征值为3,求其另一个特征值解矩阵M的特征多项式为 f()(1)(x)4. 因为13为方程f()0的一根,所以x1,由(1)(1)40,得21,所以矩阵M的另一个特征值为1.5求矩阵的特征值及对应的特征向量解特征多项式f()(2)21243.由f()0,解得11,23.将11代入特征方程组,得xy0,可取为属于特征值11的一个特征向量同理,当23时,由xy0,所以可取为属于特征值23的一个特征向量综上所述,矩阵有两个特征值11,23;属于11的一个特征向量为,属于23的一个特征向量为.6在平面直角坐标系xOy中,直线xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m:xy40,求实数a,b的值解法一在直线l:xy20上取两点A(2,0),B(0,2)A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A、B.因为 ,所以点A的坐标为(2,2b); ,所以点B的坐标为(2a,8)由题意,点A、B在直线m:xy40上,所以解得a2,b3.法二设P(x,y)为直线xy20上的任意一点,它在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(x,y),则,得解得因此20,即(b4)x(a1)y(2ab8)0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m:xy40.所以.解得a2,b3.
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