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第第4课时空间中的平行关系课时空间中的平行关系第八章立体几何第八章立体几何教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：判定定理：平面外一条直线与平面外一条直线与_平行平行,则该直线则该直线与此平面平行与此平面平行.此平面内的一条直线此平面内的一条直线(2)性质定理：性质定理：一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行,则过这条直则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线线的任一平面与此平面的交线与该直线_.平行平行2.平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：判定定理：一个平面内的一个平面内的_与另一与另一个平面平行个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行.(2)性质定理：性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相如果两个平行平面同时和第三个平面相交交,那么它们的交线那么它们的交线_.两条相交直线两条相交直线平行平行思考探究思考探究能否由线线平行得到面面平行能否由线线平行得到面面平行?提示：提示：可以可以.只要一个平面内的两条相只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线相交直线,这两个平面就平行这两个平面就平行.课前热身课前热身1.若直线若直线m面面,则条件甲：直线则条件甲：直线l,是条件乙：是条件乙：lm的的()A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：D2.下列命题中下列命题中,能判定平面能判定平面的是的是()A.存在两条相交直线分别与存在两条相交直线分别与、成等角成等角B.内有不在同一直线上三点到内有不在同一直线上三点到的距离的距离相等相等C.内有内有ABC与与内内A1B1C1全等且全等且AA1BB1CC1D.,都与异面直线都与异面直线a,b平行平行答案：答案：D其中正确的命题是其中正确的命题是()A. B.C. D.答案：答案：C4.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,E是是DD1的中点的中点,则则BD1与平面与平面ACE的位置关系为的位置关系为_.答案：平行答案：平行5.过三棱柱过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的任意两条棱的中点作直线中点作直线,其中与平面其中与平面ABB1A1平行的平行的直线共有直线共有_条条.答案：答案：6考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定判定直线与平面平行判定直线与平面平行,主要有三种方法：主要有三种方法：(1)利用定义利用定义(常用反证法常用反证法).(2)利用判定定理：关键是找平面内与利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线已知直线平行的直线.可先直观判断平可先直观判断平面内是否已有面内是否已有,若没有若没有,则需作出该直线则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线对边或过已知直线作一平面找其交线.(3)利用面面平行的性质定理：当两平利用面面平行的性质定理：当两平面平行时面平行时,其中一个平面内的任一直线其中一个平面内的任一直线平行于另一平面平行于另一平面.特别提醒：特别提醒：线面平行关系没有传递性线面平行关系没有传递性,即平行线中的一条平行于一平面即平行线中的一条平行于一平面,另一另一条不一定平行于该平面条不一定平行于该平面. 如图如图,正方体正方体ABCDABCD中中,E、F分别是分别是DD、DB的中点的中点,求证：求证：EF平行于平面平行于平面ABCD.例例1【思路分析思路分析】要证直线与平面平行要证直线与平面平行,可转化为证明直线可转化为证明直线EF与平面与平面ABCD内的一条直线平行内的一条直线平行,要找出这条直线要找出这条直线,可可联系条件联系条件E、F分别是分别是DD、DB的中点的中点,利用中位线定理证明利用中位线定理证明.【方法指导方法指导】证明直线与平面平行证明直线与平面平行时时,可先直观判断平面内是否存在一条可先直观判断平面内是否存在一条直线与已知直线平行直线与已知直线平行,如本题利用中位如本题利用中位线的性质可知线的性质可知EFDB,若没有若没有,可以考可以考虑通过面面平行得到线面平行虑通过面面平行得到线面平行.同时注同时注意化归与转化思想的应用意化归与转化思想的应用,如平行问题如平行问题间的转化：间的转化：考点考点2平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定判定平面与平面平行的常用方法有：判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义利用定义(常用反证法常用反证法).(2)利用判定定理：转化为判定一个平面利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平内的两条相交直线分别平行于另一个平面面.客观题中客观题中,也可直接利用一个平面内的也可直接利用一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线来证明两平面平行的两条相交直线来证明两平面平行. 如图所示如图所示,正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1各棱长均为各棱长均为4,E、F、G、H分别分别是是AB、AC、A1C1、A1B1的中点的中点.求证：平面求证：平面A1EF平面平面BCGH.例例2【思路分析思路分析】本题证面面平行本题证面面平行,可证可证明平面明平面A1EF内的两条相交直线分别与平内的两条相交直线分别与平面面BCGH平行平行,然后根据面面平行的判然后根据面面平行的判定定理即可证明定定理即可证明.【名师点评名师点评】利用面面平行的判定定利用面面平行的判定定理证明两个平面平行是常用的方法理证明两个平面平行是常用的方法,即即若若a,b,a,b,abO,则则.互动探究互动探究在本例中在本例中,若若D是是BC上一点上一点,且且A1B平平面面AC1D,D1是是B1C1的中点的中点.求证：平面求证：平面A1BD1平面平面AC1D.考点考点3直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质利用线面平行的性质利用线面平行的性质,可以实现由线面可以实现由线面平行到线线平行的转化平行到线线平行的转化.在平时的解题在平时的解题过程中过程中,若遇到线面平行这一条件若遇到线面平行这一条件,就需就需在图中找在图中找(或作或作)过已知直线与已知平面过已知直线与已知平面相交的平面相交的平面.这样就可以由性质定理实这样就可以由性质定理实现平行转化现平行转化. 如图如图,已知四边形已知四边形ABCD是平行是平行四边形四边形,点点P是平面是平面ABCD外一点外一点,M是是PC的中点的中点,在在DM上取一点上取一点G,过过G和和AP作 平 面 交 平 面作 平 面 交 平 面 B D M 于于 G H . 求 证 ：求 证 ：APGH.【思路分析思路分析】要证要证APGH,只需证只需证PA面面BDM.例例3【名师点评名师点评】利用线面平行的性质定利用线面平行的性质定理证明线线平行理证明线线平行,关键是找出过已知直关键是找出过已知直线的平面与已知平面的交线线的平面与已知平面的交线.考点考点4平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质,同直线同直线与平面平行的判定与性质一样与平面平行的判定与性质一样,体现了体现了转化与化归的思想转化与化归的思想.性质过程的转化实施性质过程的转化实施,关键是作辅助平关键是作辅助平面面,通过作辅助平面得到交线通过作辅助平面得到交线,就可把面就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平面平行化为线面平行并进而化为线线平行行,注意作平面时要有确定平面的依据注意作平面时要有确定平面的依据.例例4【思路分析思路分析】本题是开放性题目本题是开放性题目,是是近年来高考热点近年来高考热点,利用面面平行的性质利用面面平行的性质可逐步推得可逐步推得.【解解】(1)平面平面平面平面,平面平面与与没有公共点没有公共点,但不一定总有但不一定总有ADBE.同理不总有同理不总有BECF,不一定有不一定有ADBECF.【误区警示误区警示】(1)小题易出错小题易出错,其原因其原因是把是把AC、DF主观地认为是相交直线主观地认为是相交直线.方法技巧方法技巧转化思想的体现转化思想的体现平行问题的转化方向如图所示：平行问题的转化方向如图所示：具体方法如下：具体方法如下：(1)证明线线平行：平面几何有关定证明线线平行：平面几何有关定理；公理理；公理4；线面平行的性质定理；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理性质定理.(2)证明线面平行：线面平行的定证明线面平行：线面平行的定义义;线面平行的判定定理线面平行的判定定理;面面平行面面平行的性质定理的性质定理.(3)证明面面平行：面面平行的定证明面面平行：面面平行的定义义;面面平行的判定定理面面平行的判定定理.失误防范失误防范1.在推证线面平行时在推证线面平行时,一定要强调直线一定要强调直线不在平面内不在平面内,否则否则,会出现错误会出现错误.2.可以考虑向量的工具性作用可以考虑向量的工具性作用,能用向能用向量解决的尽可能应用向量解决量解决的尽可能应用向量解决,可使问可使问题简化题简化.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,直线与平面直线与平面平行的判定平行的判定,以及平面与平面平行的判以及平面与平面平行的判定是高考的热点定是高考的热点,题型既有选择题、填题型既有选择题、填空题空题,也有解答题也有解答题,难度为中等偏高难度为中等偏高;本节主要考查线面平行的判定本节主要考查线面平行的判定,考查线考查线线线 线线面面 面面面的转化思想面的转化思想,并并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力理能力.预测预测2013年高考仍将以线面平行的判年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点定为主要考查点,重点考查学生的空间重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力想象能力和逻辑推理能力.规范解答规范解答 (本题满分本题满分12分分)(2010高考陕高考陕西卷西卷)如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中中,底面底面ABCD是矩形是矩形,PA平面平面ABCD,APAB,BPBC2,E,F分别是分别是PB,PC的中的中点点.(1)证明：证明：EF平面平面PAD;(2)求三棱锥求三棱锥EABC的体积的体积V.例例【名师点评名师点评】本题主要考查了空间几本题主要考查了空间几何体中的线面平行关系和三棱锥的体积何体中的线面平行关系和三棱锥的体积公式公式.同时考查空间想象能力同时考查空间想象能力,推理论证推理论证能力和运算求解能力能力和运算求解能力.难度中等难度中等.本题对本题对于考生来说是比较容易入手的于考生来说是比较容易入手的,但第但第(1)问中有的考生一入手就写问中有的考生一入手就写“EFAD”,这是不规范的这是不规范的.
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