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直线的一般式方程 教学目的教学目的 使学生知道什么是直线的一般式方程，会将直线的一般式方程化为点斜式、斜截式、两点式方程，反之亦然，理解二元一次方程与直线的关系。 教学重点教学重点：直线的一般式方程、点斜式方程、斜截式方程的互化。 教学难点教学难点：理解二元一次方程与直线的关系。 复习提问：复习提问：直线方程有几种形式？直线方程有几种形式？点斜式点斜式：已知直线上一点：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，）的坐标，和直线的斜率和直线的斜率k，则直线的方程是，则直线的方程是斜截式斜截式：已知直线的斜率：已知直线的斜率k，和直线在，和直线在y轴上的轴上的截距截距b则直线方程是则直线方程是两点式两点式：已知直线上两点：已知直线上两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2）则直线的方程是：）则直线的方程是：截距式截距式：已知直线在：已知直线在X轴轴Y轴上的截距为轴上的截距为a，b，则直线的方程是则直线的方程是121121xxxxyyyy 1 byax)(11xxkyy bkxy 上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？? x+ ? y+ ? =0)(11xxkyy bkxy 121121xxxxyyyy 1 byax0) 1(11 kxyykx0) 1( bykx0)()()()(1212112112 xxyyyxyxxxyy0)( abaybx上述四式都可以写成直线方程的上述四式都可以写成直线方程的一般一般形式：形式：Ax+By+C=0, A、B不同时为不同时为0。讲解新课：讲解新课：直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一的一次方程。次方程。直线和直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角轴相交时：此时倾斜斜角/2，直线的斜，直线的斜率率k存在，直线可表示成存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）（是否是二元一次方程？）直线和直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角轴平行（包括重合）时：此时倾斜角=/2，直线的斜率直线的斜率k不存在，不能用不存在，不能用y =表示，而只能表表示，而只能表示成（是否是二元一次方程？）示成（是否是二元一次方程？）结论：任何一条直线的方程都是关于，的二元一次方程。结论：任何一条直线的方程都是关于，的二元一次方程。任何关于任何关于x，y的一次方程的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）不同时为零）的图象是一条直线的图象是一条直线B0时时，方程化成，方程化成 这是直线的斜截这是直线的斜截 式，式，它表示为斜率为它表示为斜率为 A/B，纵截距为，纵截距为- C/B的直线。的直线。BCxBAy B0时，由于时，由于A，B不同时为零所以不同时为零所以A0，此时，此时，Ax+By+C=0可化为可化为x= -C / A，它表示为与，它表示为与Y轴平行（当轴平行（当C=0时）或重合时）或重合（当（当C=0时）的直线。时）的直线。思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？结论结论:(1)直线方程都是关于直线方程都是关于x,y的二元一次方程的二元一次方程 （2）关于）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）不同时为零）叫做叫做直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是一一对应。一一对应。例例1：已知直线经过点：已知直线经过点A（6，- 4），斜率），斜率为为 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。式方程。解：经过点解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x 6）143 yx化成一般式，得化成一般式，得 4x+3y 12=0巩固训练（一）巩固训练（一）若直线若直线l在在x轴上的截距轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值时，倾斜角的余弦值是是-3/5，则直线则直线l的点斜式方程是的点斜式方程是_ 直线直线l的斜截式方程是的斜截式方程是_ 直线直线l的一般式方程是的一般式方程是_4x+3y+16=0)4(34 xy31634 xy例例2：把直线：把直线L的方程的方程x 2y+6= 0化成斜截式，化成斜截式，求出直线求出直线L的斜率和它在的斜率和它在x轴与轴与y轴上的截距，轴上的截距，并画图。并画图。解：将原方程移项，得解：将原方程移项，得2y = x+6， 两边除以两边除以2，得斜截式，得斜截式321 xy因此，直线因此，直线L的斜率的斜率k=1/2，它在，它在y轴上的截距是轴上的截距是3 ，令令y=0，可得，可得 x= -6即直线即直线L在在x轴上的截距是轴上的截距是- 6xyo3-6巩固训练（二）巩固训练（二）设直线设直线l的方程为的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为不同时为零）零）根据下列各位置特征，写出根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的应满足的关系：关系：直线直线l过原点过原点:_直线直线l过点过点(1,1):_直线直线l平行于平行于 轴轴:_直线直线l平行于轴平行于轴:_C=0A+B+C=0A=0,B=0,C=0A=0,B=0,C=0例例3：设直线：设直线l的方程为（的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件确定根据下列条件确定m的值（的值（1）l在在x轴上的轴上的截距是截距是-3；（；（2）斜率是）斜率是-1。解解：（：（1）由题意得）由题意得332622 mmm 623322 mmm353 mm或或解解得得032,32 mmm时时而而当当35,3 mm2)由题意得由题意得1323222 mmmm0) 12(3222 mmmm341 mm或或解解得得巩固训练（三）巩固训练（三）1、若直线（、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾的倾斜角为斜角为450，则，则m的值是的值是 （ ）（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与与32、若直线、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在在x轴上的截轴上的截距为距为3，则，则m的值是的值是_B-6例例4：利用直线方程的一般式，求过点（：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围并且与坐标轴围 成三角形面积是成三角形面积是6的直线方程。的直线方程。解：设直线为解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（直线过点（0，3）代入直线方程）代入直线方程得得3B= -C， B= C/3A=C/4又直线与又直线与x，y轴的截距分别为轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B由三角形面积为由三角形面积为6得得122 ABC方程方程为034 CyCxC所求直线方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或或3x+4y-12=0 xOy3巩固训练（四）：巩固训练（四）：根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：斜率斜率是是 0.5，经过点，经过点A（8，-2）；）；经过点经过点B（4，2），平行于），平行于X轴；轴；在在x轴和轴和y轴上的截距分别是轴上的截距分别是3/2，- 3；经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；y+2= - 0.5（x-8），），x+2y-4=0，y=2，y-2=0=y+2-2x-32，x+y-1=0， 32,1323 yxyx2已知直线已知直线Ax+By+C=0 当当B0时，斜率是多少？当时，斜率是多少？当B=0呢？呢？ 系数取什么值时，方程表示通过原点的直系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？线？答：B0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；答：答：C=0时，表示直线过原点。时，表示直线过原点。求下列直线的斜率和在求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并轴上的截距，并画出图形：画出图形： 3x+y-5=0 x/4 y/5 =1 x+2y=0 7x6y+4=0 2y7=0k= - 3，B=5；k=5/4，b= -5 ；k= -1/2，b=0；k=7/6，b=2/3k=0，b=7/2。1、直线方程的一般式、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）不同时为零）的两的两方面含义：方面含义： (1)直线方程都是关于直线方程都是关于x,y的二元一次方程的二元一次方程 （2）关于）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线的二元一次图象又都是一条直线2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
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