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抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 教学目标： 1、掌握抛物线的定义及标准方程 2、能求简单抛物线的方程 教学重点： 1、抛物线的定义及标准方程 2、求简单抛物线的方程 教学难点： 抛物线方程形式的确定平面内与一个平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的距离的比是常数的比是常数e的点的轨迹的点的轨迹.复习：复习：椭圆、双曲线第二定义椭圆、双曲线第二定义MFl0e 1lFMe1(2) 当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(3)当当时，它的轨迹是什么？演示时，它的轨迹是什么？演示(1)当当0e1时时,是椭圆是椭圆;FNe=1Ml平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。一、抛物线的定一、抛物线的定义义定点定点F F：叫做抛物线的：叫做抛物线的焦点。焦点。定直线定直线l:l:叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。的的轨轨迹迹是是抛抛物物线线则则点点即即：若若M),1(1MNMF elFMN注意注意: :定点定点F F在定直线在定直线l l外外化化 简简列列 式式设设 点点建建 系系解：以过解：以过F F且垂直于直线且垂直于直线 l 的直的直线为线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中的中点点O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyOF），设0(ppFK ，dMFMP），准线的方程为，的坐标为（则焦点202pxpFMl（x,y）设设M（x，y）是抛物线上任意一点，）是抛物线上任意一点，H点点M到到l的距离为的距离为dd由抛物线的定义，抛物线就是点的集合由抛物线的定义，抛物线就是点的集合2222pxypx所以）0(22ppxy 三、抛物线的标准方程y2 = 2px（p0）其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: : 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离方程方程 y2 = 2px（p0）表示焦点在表示焦点在x轴正半轴上的轴正半轴上的 抛物线抛物线的方程为），准线，（的坐标为焦点2:02:pxlpFxKyOFMlHd三、抛物线的标准方程抛物线的标准抛物线的标准方程还有哪些方程还有哪些不同形式不同形式?若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？据上述办法求出它的标准方程吗？各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。三、抛物线的标准方程的其他形式三、抛物线的标准方程的其他形式OyxFMlNFMlNHFMlNFMlNxHypxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 如何确定抛物线焦如何确定抛物线焦点位置及开口方向点位置及开口方向?一次变量一次变量定定焦点焦点开口方向开口方向看看正负正负xHFOMlyxyHFOMlxyHFOMlxyHFOMl例例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标准线方程（1 ）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式例例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（0，-2）（3）准线方程）准线方程 是是x = 41（2）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2y2 =xy2 =4x或或y2 = -4x或或x2 =4y或或x2 = -4y x 2 = - - 8y练一练 已知抛物线方程为已知抛物线方程为x= y2（a0)，讨论，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？a12xby0,4byxoyxoyxoyxo2yax( ,0)4a4ax4by 图形 方程 焦点准线由抛物线的定义，由抛物线的定义，点点M的轨迹是以的轨迹是以F（4，0）为）为焦点，焦点，x4为准线的抛物为准线的抛物线线因为因为p/2=4,所以所以p=8,所求方程是所求方程是y216x例例3.点点M与点与点F（4，0）的距离比它到直线）的距离比它到直线l：x50的距离小的距离小1，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程x xlF FO Oy yM M求抛物线标准方程求抛物线标准方程定义法定义法如图可知原条件等价于如图可知原条件等价于M点到点到F（4，0）和）和到到x4距离相等，距离相等，解解:（1）求过点）求过点A（-3，2）的抛物线的标准方的抛物线的标准方程。程。AOyx2294 .23xy yx抛物线的标准方程为或x2=2pyy2=-2px练习练习（2 2）求焦点在直线）求焦点在直线x x2y2y4 40 0上上的抛物线的标的抛物线的标准方程。准方程。22168 .yxxy或（3）M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，）上一点，若点若点M 的横坐标为的横坐标为X0,则点则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM02px 焦半径公式焦半径公式1抛物线的定义抛物线的定义2抛物线的标准方程抛物线的标准方程FMlNdMFd2yax焦点在焦点在x轴上轴上2xby焦点在焦点在y轴上轴上( ,0)4aF(0, )4bF准线准线准线准线4ax4by 小小 结结 课下作业： 学案139页8题、9题、10题
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