高三数学一轮复习 第三章数列 数列求和与递推数列课件

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列求和与递推数列 考点考纲解读1数列求和的几种常规方法考查错位相减法、裂项求和法、分组求和法等常用方法.2递推公式,由递推公式求解通项公式掌握由递推公式求通项公式的一些常用技巧,如将其转化为等差数列、等比数列来解决问题等. 本节内容是高考中的重点与难点,要求学生有较强的应用变通能力和综合能力,常出现在解答题中,也是拉开分数的关键.复习过程中,要强调常规方法的应用,解题的逻辑性,步骤的完整性、细节的把握,从而提高观察、分析、归纳探索的能力,重点注意高考中对数列求和基础上的不等式证明. 1.递推公式(1)已知数列an的前n项和Sn,则an= (2)已知数列an前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=.(3)已知an-an-1=f(n)(n2),且f(n)成等差(比)数列,则求an可用累加法.(4)已知=f(n)(n2),求an用累乘法.(5)已知数列an的递推关系,研究an与an-1的关系式的特点,可以通过变形构造,得出新数列f(an)为等差或等比数列.11,1,2.nnS nSSn1nnTT1nnaa(6)已知an与Sn的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2).转化为只含an或Sn的递推关系,再利用上述方法求出an.2.数列求和(1)基本公式法等差数列求和公式:Sn= =na1+ d.等比数列求和公式:1()2nn aa(1)2n nSn= +=2n.(2)错位相减法对于求一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错位相减法,如:an=bncn,其中bn是等差数列,cn是等比数列,记Sn=b1c1+b2c2+bn-1cn-1+bncn,则qSn=b1c2+bn-1cn+bncn+1,两式相减整理即得.111(1),(1)(1).11nnna qaa qaqqqq0Cn1Cn2CnCnn(3)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和.(4)拆项(裂项)求和把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有:若an是公差为d的等差数列,则 =(-).11nna a1d1na11na = ( - ). = - . = ( - ). =( - ). = - .1(21)(21)nn12121n121n1(1)(2)n nn121(1)n n1(1)(2)nn1ab1abab1nkn1knkn1Cmn1CmnCmnnn!=(n+1)!-n!,an= (5)倒序相加法根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的.(6)并项求和把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.(7)其他求和法如:归纳猜想法,奇偶法等.数列求和的方法多种多样,要视具体情形11,1,2.nnS nSSn选用合适的方法.1.若下面的流程图输出的S是126,则应为( )(A)n5?. (B)n6?. (C)n7?. (D)n8?.【解析】S=21+22+23+24+25+26= =126,由程序框图知,要输出S=126,应填的条件为n6?.【答案】B62(21)2 12.已知数列an中,a1=1,an+1an=an-(-1)n(nN*),则的值为( )(A). (B). (C). (D).【解析】由已知得a2=1+1=2,a3=1-=,a4=1+2=3,a5=1-=,故 =.【答案】D35aa151615838341212132335aa343.数列an中,an= ,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为( )(A)-10. (B)-9. (C)10. (D)9.【解析】数列an的前n项和为 + + =1- + - + - =1- = = ,所以n=9,于是直线(n+1)x+y+n=0.即为10 x+y+9=0,所以其在y轴上的截距为-9.【答案】B1(1)n n91011 212 31(1)n n1212131n11n11n1nn9104.已知数列an中,a1=-1,an+1an=an+1-an,则数列通项an= .【解析】 - =1, - =-1,是以为首项,以-1为公差的等差数列,=-1+(n-1)(-1)=-n,an=-.【答案】- 1na11na11na1na1na11a1na1n1n 题型1裂项求和与拆项分组求和 例1 (1)数列 , , , ,的前n项和Sn= .121231234 1234(1)k (2)求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+n,的前n项和Sn.【分析】(1)此数列的第n项应为an= (注意不是an= ),裂项求和时注意项数.2(3)n n2(1)n n(2)先找到通项公式,再用分组求和法求和.【解析】(1)此数列的第n项an= = ( - ),数列- 的前n和Tn=(1-)+(-)+(-)+(- )=(1+)-(+ )=1+ - - - = - - - ,2(3)n n231n13n1n13n14121513161n13n12131n14151613n121311n12n13n11611n12n13nSn=Tn= -( + + ).231192311n12n13n(2)1+2+3+n=n(n+1)=n2+n.Sn=(12+22+32+n2)+(1+2+3+n)=n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=n(n+1)(n+2).12121212121216121216【答案】(1)-( + + )1192311n12n13n变式训练1 (1)数列an的通项公式an= (nN*),若前n项和为Sn,则Sn= .12nn(2)数列5,55,555,的前项和等于( )(A)(10n-1). (B)(10n-1)+n.(C) . (D) .595950(101)4581nn50(101)8181nn= (+ - -1).122n1n2【解析】(1)an= ,an= .Sn= ( -1+ - + - + - )= (-1- + + )12nn22nn123421n1n2nn1221n2n(2)an=(10n-1)=10n-.Sn=(10+102+103+10n)-n= -n=.59595959595910(101)9n50(101)4581nn【答案】(1)( + - -1) (2)C122n1n2 例2 (河南省周口市2011届高三期中考试)已知数列an是等差数列,a2=6,a5=18;数列bn的前n项和是Tn,且Tn+bn=1.12 题型2错位相减法与倒序相加法求和(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列bn是等比数列;(3)记cn=anbn,求cn的前n项和Sn.【分析】利用等差数列的性质求等差数列的通项公式,并利用和Tn与项bn的关系与等比数列的定义即可证明数列bn是等比数列,由cn=anbn,可知cn的通项公式是由一个等差数列和等比数列的积,选用错位相减法求数列cn的和.【解析】(1)设an的公差为d,则:a2=a1+d,a5=a1+4d.a2=6,a5=18, a1=2,d=4.an=2+4(n-1)=4n-2.116,418,adad(2)当n=1时,b1=T1,由T1+b1=1,得b1=.当n2时,Tn=1-bn,Tn-1=1-bn-1,Tn-Tn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).bn=bn-1.bn是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可知:bn=()n-1=2()n.122312121212132313231313cn=anbn=(4n-2)2()n=4(2n-1)()n.Sn=4()+12()2+(8n-12)()n+(8n-4)()n,Sn=4()2+12()3+(8n-12)()n+(8n-4)()n+1.Sn-Sn=Sn=4+8()2+8()3+8()n-(8n-4)()n+1=+8 -(8n-4)()n+1 131313131313131313131313231313131313432111( ) 1 ( )33113n13=-4()n-(8n-4)()n+1.Sn=4-4(n+1)()n.83131313【点评】错位相减法实质上是将数列转化为特殊的等比数列,若数列的每一项都可视为由两部分组成,其中第一个因数部分形成等差数列,第二个因数部分形成等比数列,当通项公式是由这样构成的可用这种方法.变式训练2求和:Sn=(x+)2+(x2+)2+(xn+)2.【解析】Sn=(x+)2+(x2+)2+(xn+)2 =(x2+x4+x2n)+(+)+2n,当x=1时,Sn=2n+2n=4n;当x1时,Sn= + +2n= +2n.综上可知,当x=1时,Sn=4n;1x21x1nx1x21x1nx21x41x21nx222(1)1nxxx22211(1)11nxxx22222(1)(1)(1)nnnxxxx当x1时,Sn = +2n.22222(1)(1)(1)nnnxxxx例3已知lg x+lg y=1,且Sn=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lg(xyn-1)+lg yn,求Sn.【分析】结合对数的性质和条件,可考虑倒序相加法.【解析】因为lg x+lg y=1,所以lg(xy)=1.Sn=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lg(xyn-1)+lg yn,Sn=lg yn+lg(yn-1x)+lg(yn-2x2)+lg(yxn-1)+lg xn,两式相加得:2Sn=(lg xn+lg yn)+lg(xn-1y)+lg(xyn-1)+(lg yn+lg xn)=lg(xnyn)+lg(xn-1yxyn-1)+lg(ynxn)=n =n2lg(xy)=n2.所以Sn=.【点评】倒序相加法主要适用于前后具有“对称性”的数列,即距首、末两端等距离的两项之和相等的形式.lg()lg()lg()nxyxyxy个22n变式训练3 (江西省“八校”2011年4月高三联合考试)数列an满足a1=1,an+1= (nN*).122nnnnaa(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列an的通项公式an;(3)设bn=n(n+1)an,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由已知可得 = ,即 = +1,即 - =1.数列 是公差为1的等差数列.2nna112nna2nnnaa 112nna2nna112nna2nna2nna(2)由(1)知 = +(n-1)1=n+1,an= .(3)由(2)知bn=n2n,Sn=12+222+323+n2n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,相减得:-Sn=2+22+23+2n-n2n+1 = -n2n+1 =2n+1-2-n2n+1.Sn=(n-1)2n+1+2.2nna12a21nn2(12 )12n 例4 (1)(2011年石景山期末14)已知数列an满足a1=22,an+1-an=2n,则数列an的通项公式为 . 题型3利用累加法、累乘法求通项(2)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,Sn=n2an,数列an的通项公式an= .【分析】(1)已知a1且an-an-1=f(n),用“累加法”求出an=a1+f(2)+f(3)+f(n-1)+f(n)(n2),但要注意对n=1时进行验证.(2)由已知可以变形为 =f(n),用“累乘法”求出an=a1 ,但要注意对n=1时进行验证.【解析】(1)an+1-an=2n(nN*),当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=22+21+22+2(n-1)=22+2=n2-n+22,当n=1时,符合上式,an=n2-n+22.1nnaa21aa32aa1nnaa(1)2nn(2)a1=1,Sn=n2an,当n2时,Sn-1=(n-1)2an-1,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,可得 = .an= a1= 1= .当n=1时,显然成立.1nnaa11nn1nnaa12nnaa23nnaa32aa21aa11nn2nn31nn24132(1)n n【答案】(1)an=n2-n+22 (2) 2(1)n n【点评】累加法与累乘法其实在等差数列与等比数列通项公式的推导过程中都有体现,一定要领会公式的内在的本质要求,不要出现把变量当成常量的错误. 例5 (1)(2011年朝阳二模理12)已知数列an满足a1=2,且an+1an+an+1-2an=0,nN*,则a2= ;求出数列an的通项公式an= . 题型4转化为等差数列、等比数列求通项(2)(福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)在数列an中,若a1=1,an+1=2an+3(n1),则该数列的通项an= .(3)(湖北省襄樊四校2011届高三期中考试理)已知数列an的首项为a1=,an+1= (nN*),则an= .2322nnaa 【分析】(1)由an+1an+an+1-2an=0,两边同时除以an+1an,可得2 - =1,又可化为 -1=( -1),转化为等比数列求通项公式.11na1na11na121na(2)an+1=2an+3可化为an+1+3=2(an+3),转化为等比数列求通项公式.(3)an+1= 可化为 - = ,转化为等差数列求通项公式.【解析】(1)由递推公式an+1an+an+1-2an=0,且a1=2,可得a2=.an+1an+an+1-2an=0,两边同时除以an+1an,可得2 - =1,即 -1=( -1), 是以- 为首项,以为公比的等比数列,-1=(-)()n-1,整理得:an=.22nnaa 11na1na124311na1na11na121na11na12121na1212221nn(2)由an+1=2an+3可化为an+1+3=2(an+3), 是以4为首项以2为公比的等比数列.an+3=42n-1,an=42n-1-3=2n+1-3.(3)an+1= 两边取倒数,可得 - = , 是以为首项,以为公差的等差数列,=+(n-1)d=+(n-1)= ,an= .3na 22nnaa 11na1na121na32121na11a321222n22n【答案】(1) (2)2n+1-3 (3) 【点评】已知数列的首项和递推公式,可直接写出数列中的各项,其通项公式可以用累加法,累乘法,还可采用换元思想转化成等差数列或等比数列进一步求得.43221nn22n变式训练5 (1)对于数列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若a1=2,an的“差数列”的通项为2n,则数列an的前n项和Sn= .(2)设an是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(nN*),则数列的通项an= .(3)已知数列an满足a1=1,an-an-1= (n2),则an= .21na2na11nn 【解析】(1)an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+22+2+2= +2=2n-2+2=2n.2212nSn= =2n+1-2.12212n(2)由(n+1) -n +an+1an=0可得(an+1+an)(an+1- an)=0.又an是首项为1的正项数列,an+1+an0,an+1=an, = ,即 = , = , = , = , = ,将这n-1个式子相乘得=,an=(n2),显然n=1时也成立.综上可知,an=.(3)an-an-1= - ,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)= - +1.21na2na1nn1nn1nnaa1nn1nnaa1nn12nnaa21nn23nnaa32nn32aa2321aa121naa1n1n1n1nn1n2【答案】(1)2n+1-2 (2) (3) -+11n1n2 例6 (福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=(1-cos2 )an+2sin2 (n=1,2,3,).132n2n 题型5数列求和的综合应用(1)求a3,a4及数列an的通项公式;(2)设Sn=a1+a2+an,求S2n.【分析】分为奇数或偶数,求出在不同的情形下的递推关系,并加以解决.【解析】(1)a3=(1-cos2)a1+2sin2=a1+2=1+2=3,a4=(1-cos2 )a2+2sin2 =(1-)a2=2=,一般地,a2n+1=(1-cos2 )a2n-1+2sin2 =a2n-1+2.即a2n+1-a2n-1=2,即数列a2n-1是以首项为1,公差为2的等差数列.132213222213234313212n212na2n-1=2n-1.又a2n+2=(1-cos2)a2n+2sin2=a2n.即数列a2n是首项为2,公比为的等比数列,a2n=a2()n-1=2()n-1.综上可知an= 1322n22n23232323*n 2*2(21,N ),22( )(2 ,N ).3n nmmnm m(2)S2n=a1+a2+a2n-1+a2n =(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=1+3+(2n-1)+2+2()n-1=n2+6-6()n.432323【点评】在解题时要学会观察,归纳数列的特点和规律,在分析数列的前几项以及通项的基础上,将数列分解或转化为基本数列求和.在遇到分奇,偶项不同的数列或正,负相间(an中含(-1)n或(-1)n+1)的数列求和时,应讨论n的奇偶性并分类求和.变式训练6已知函数f(x)= (x-1,xR),数列an满足a1=a(a-1,aR),an+1=f(an)(nN*).421xx(1)若数列an是常数列,求a的值;(2)当a1=4时,记bn= (nN*),证明数列bn是等比数列,并求出通项公式an.【解析】(1)f(x)= ,a1=a,an+1=f(an)(nN*),数列an是常数列,an+1=an=a,a= ,解得a=2,或a=1.所求实数a的值是1或2.21nnaa421xx421aa 1.直接用公式求和时,一定要注意公式的应用范围和公式的推导过程.2.求数列前n项和的方法主要是变换通项,即对通项公式进行一些有目的的处理,转化为等差、等比数列的求和.3.求一般数列的前n项和无通法可循,要掌握某些特殊数列(等差数列、等比数列等)前n项和的求法,学会举一反三,触类旁通.4.已知数列的递推公式求数列的通项公式,此类题型求数列通项的方法主要是将已知递推关系,用代数法、累加法、累乘法、换元法等转化成基本数列(即等差数列或等比数列)的方法求通项.