82[3]二重积分的计算

18-2 二重积分的计算二重积分的计算21.二重积分在极坐标系下的计算公式二重积分在极坐标系下的计算公式 ( ) 0d( cos , sin ) d .f 2( ) 00d( cos , sin ) d .f xDo1( ) 2( ) xoD( ) Dox( ) Dyxyxfdd),( cos , sin ) d dDf 21( )( )d( cos ,sin ) d .f 复习复习32.何时用极坐标？何时用极坐标？22()()xf xyfy 0 01 .1 .当当被被积积函函数数中中含含或或者者时时；D0 02 2 . .积积分分区区域域 为为圆圆域域或或者者为为圆圆域域的的一一部部分分时时；30 0. .在在直直角角坐坐标标系系下下积积不不出出来来时时；( , )d dDf x yx y 3.二重积分二重积分 的限制条件的限制条件1. 积分区域积分区域D为有界区域为有界区域2. 被积函数被积函数f(x,y)为有界函数为有界函数4第二节一、在直角坐标系计算二重积分一、在直角坐标系计算二重积分 二、在极坐标系下计算二重积分二、在极坐标系下计算二重积分 二重积分的计算法三、无界区域上的反常二重积分三、无界区域上的反常二重积分四、二重积分在几何上的应用四、二重积分在几何上的应用5三、三、 无界区域上的反常二重积分无界区域上的反常二重积分引例引例 设设D为整个为整个xoy平面，计算平面，计算22dxyDe 解解oxyRR设设DR为中心在原点为中心在原点,半径为半径为R的圆域的圆域,22dRDxye 22dxyDe 2lim(1)RRe 2(1)Re limR 222200dRDRxyeded 而而故，故， 原式原式=显然显然,当当R+时时,有有DRD,因此有因此有 DR6三、三、 无界区域上的反常二重积分无界区域上的反常二重积分定义定义 设设D是平面上一无界区域是平面上一无界区域,函函数数f(x,y)在其上有定义在其上有定义,用任意光滑用任意光滑曲线曲线在在D中划出有界区域中划出有界区域D . 设设f(x,y)在在D 上可积，当曲线上可积，当曲线 连续变连续变动，使动，使D 无限扩展趋于区域无限扩展趋于区域D时时,不不论论 的形状如何，也不论扩展的过的形状如何，也不论扩展的过程怎样，若极限程怎样，若极限 DDDyxf d),(lim存在且取相同的值存在且取相同的值I,则称则称I为为f(x,y)在无界区域在无界区域D上的反常二重积分上的反常二重积分.oxyD D( , )dDf x y 7记作记作 此时也称反常二重积分此时也称反常二重积分 收敛收敛,否则称反常否则称反常二重积分二重积分 发散发散 IyxfyxfDDDD d),(limd),( Dyxf d),( Dyxf d),(注意：注意：1.1.由定义知由定义知: :要求反常二重积分要求反常二重积分, ,只需仿照一元反只需仿照一元反再求极限即可再求极限即可. .常积分常积分, , 先求有界区域上的二重积分先求有界区域上的二重积分, ,三、三、 无界区域上的反常二重积分无界区域上的反常二重积分8三、三、 无界区域上的反常二重积分无界区域上的反常二重积分2.2. D 无限扩展趋于区域无限扩展趋于区域D的一般方法的一般方法oxyoxyoxyRDRAADDADDAD( , )dDf x y ( , )dRDf x y limR ( , )dADf x y limA ( , )dADf x y limA 3.3.选择计算方法的原则：选择计算方法的原则：( , )dDf x y 容易计算容易计算924yx 和和在第一象限所构成的无界区域在第一象限所构成的无界区域解解 22limdyydDDxedxdyxedxdy 例例1而区域而区域Dd为为 ( , ) 0,32dyyDx yydx oxy24yx 29yx Ddd 102/20/3limdyyydxedx dy 20lim818dydyyedy 25lim(1)144dde 5.144 22limdyydDDxedxdyxedxdy 11例例2计算计算 ( , ) 0,0dDx yydxy(),xyDedxdy 解解ddDxye dx yDe 21111lim222ddRee 211122ddee limd 00ddDdyx yx yedyedx 而而故，故， 原式原式=而而其中其中oxyDdd ( , ) 0Dx yxyy=x12结论结论设设D为整个为整个xoy平面，则平面，则22dxyDe 例例3计算计算2xIedx 2xIedx 2xIedx 22xyedxdy 2yedy 222xyIedxedy 故故故故解解 因因 的原函数不能用初等函数表示的原函数不能用初等函数表示, ,故故2xe用一元用一元反常积分的方法不能求出该积分的值反常积分的方法不能求出该积分的值. .注意：注意： 概率论中很重概率论中很重要的泊松积分要的泊松积分2.xedx 13注意注意若在泊松积分若在泊松积分 2xedx 令令221.2xedx 1,2xy 221( )2xxe 2211.2xedx 故故则则中，中，此式中的被积函数此式中的被积函数是统计学中常用的标准是统计学中常用的标准正态分布的密度函数正态分布的密度函数. .-3-2-11230.10.20.30.414D1. 1. 利利用用二二重重积积分分求求平平面面图图形形 的的面面积积. .2 2、利利用用二二重重积积分分求求立立体体的的体体积积四、二重积分在几何上的应用四、二重积分在几何上的应用 性质：性质： D dD的面积的面积),(yxfz xozyD由二重积分的几何意义，由二重积分的几何意义，) 0),( yxf立体的体积立体的体积V ( , )Df x y d 152 2、利利用用二二重重积积分分求求立立体体的的体体积积四、二重积分在几何上的应用四、二重积分在几何上的应用 ),(yxfz xozyD若立体由空间曲面若立体由空间曲面z=f(x,y)和和z=g(x,y)所围成，所围成，V 12VV ( , )zg x y ( , )Df x y d ( , )Dg x y d 16 .)0(25. 12围成图形的面积围成图形的面积及及计算计算 aayxaxyex解解. xyo)2,2(aa)2 ,2(aa aadx22 xaxady252 aadxxaxa222)25(.)2ln2815(2a 例例425( , ),22aaDx yxayaxxdDS 所围图形的面积为所围图形的面积为所求面积所求面积2ayx 52yax17例例5求由抛物线求由抛物线 2( , )12,2+Dx yyyxy2xy 解解dDS 92 221(2)yy dy 222+-1yydydx 所求面积所求面积=所围图形的面积为所围图形的面积为和直线和直线2xy所围成所围成图形的面积图形的面积.x=y2oyxx-y=2-121418例例6.计算计算2222Rzyx 的体积的体积.解解222yxRz 由二重积分的几何意义及由二重积分的几何意义及对称性知对称性知:yxyxRVD dd2222其中其中D为圆域：为圆域：，222Ryx 在极坐标系中，在极坐标系中，可表示为：可表示为：,0R 02 ,于是于是yxyxRVD dd2222 2 22 0 02ddRR .343R 19解解 oxyz0,0,1,10 xyxyz 求求由由四四个个平平面面围围成成的的柱柱体体被被平平面面例例7 7236xyz 及及截截得得的的立立体体的的体体积积. .11 6 23d dxyDVxyx y 1100d6 23dyxyx1120063dxxxyy 106 1 3dyy 120375.22yy20例例8 计算由平面计算由平面和三个坐标面所围成的和三个坐标面所围成的四面体的体积四面体的体积.ABxyo3x/3+y/2=1xozy AB236xy z 236xy z 632由二重积分的几何意义，所求立体由二重积分的几何意义，所求立体的体积为的体积为(6 23 )DVxy d 6 03:02(1/3)xDyx 32(1)3 0 0d(6 23 )dxxxy y 13 底面积底面积高高2122222.zxyzxy 例例9 9 计计算算曲曲面面及及所所围围成成的的立立体体的的体体积积xyoz22zxy 222zxy 221xy 22222zxyxoyzxy 交交线线在在面面上上的的投投影影为为：221xy ，所求立体的体积为所求立体的体积为12VVV 2222(2)dDxyxy 22Dd d 56 212 0 0d(2) d 22例例1022224azyx 解解由二重积分的几何意义及对称性知由二重积分的几何意义及对称性知:yxyxaVD dd44222求球体求球体axyx222 与圆柱面与圆柱面的公共部分的体积的公共部分的体积.其中其中D为半圆周为半圆周22xaxy 及及x轴所围成的区域轴所围成的区域.在极坐标系中，在极坐标系中，可表示为：可表示为：2302 cos ,a于是于是2244d dDVa 2 cos222 0 04d4daa 332032(1sin)d3a ).322(3323 a2 cosa 0,2 在极坐标系中，在极坐标系中，可表示为：可表示为：xyoD 24221 d dDxyx y ( , )|01,01Dx yxy 例例11 计算二重积分计算二重积分 其中积分区域为其中积分区域为111D2D解解 如图，记如图，记 221( , )|1,( , )Dx yxyx yD 222( , )|1,( , )Dx yxyx yD 于是于是 1222221 d d1 d dDDxyx yxyx y 原原式式 112222221 d d1 d d1 d dDDDxyx yxyx yxyx y 1.43 1222221 d d1 d dDDxyx yxyx y 2522max,d d ,( , ) 01,01.xyDexy Dx yxy 例例12. 计算二重积分计算二重积分解解1( ,) 01,0,Dx yxyx 记记oxy1D2D2( ,) 01,1,Dx yxxy 22max,ddxyDexy 则则221max,ddxyDexy 222max,ddxyDexy 21ddxDexy 22ddyDexy 2100ddyyyex 2100ddxxxey 210dxxex 210dyyey 2102dxxex 210 xe 1.e 26作业：作业：P355,9(1)(2),10(1),11(2)P355,9(1)(2),10(1),11(2)预习：从预习：从338338到到345345页页x27例例1. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.思考与练习思考与练习28例例2. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(22429 . 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A例例330D= +1D2D:1D:2D, 10 x, 21 x Dyxdd xxyx2 2 1 0 dd 1ddDyx 2ddDyx xxyx3 2 2 1 dd 1 0 d)22(xxx 2 1 d)23(xxx23 1D2D,dd Dyxyxxy2,2 3 yx；xyx22 .32xyx (1)区域区域D能不分割就不分割能不分割就不分割.(2)看被积函数，不分割不行看被积函数，不分割不行.注意注意31备用题备用题1.1.解解2d .:11, 01.DyxDxy 计计算算其其中中1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图123222d()d()dDDDDyxxyyx 2211122101d()dd()dxxxxyyxyxy.1511 322. 交换积分顺序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf33 . 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A例例334222226 2.zxyzxy 例例8 8 计计算算曲曲面面及及所所围围成成的的立立体体的的体体积积22226zxyxoyzxy 交交线线在在面面上上的的投投影影为为：222xy ，所求立体的体积为所求立体的体积为12VVV 2222(2) ()dDxyxy 2222(6 2) (2)dDxyxy 223(2)dDxy 6 2 22 0 03d(2) d 35例例9 求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积.解解 设这两个圆柱面的方程为设这两个圆柱面的方程为222Ryx 及及.222Rzx 所求体积是第一卦限的所求体积是第一卦限的8倍倍.而第一卦限部分可以看作而第一卦限部分可以看作,0 0 22 xRyRx曲顶函数为：曲顶函数为：.22xRz 则则 d221 DxRVyxRxxRRdd2 2 0 2 2 0 RxxR 0 2 2 d)(.323R 于是于是所求体积为所求体积为.316 83 1RVV 一个曲顶柱体一个曲顶柱体.其底其底D为：为：xoyRD2 2 xRy xoxyzR222Ryx 222Rzx