设有两曲面S1S2它们方程依次为

设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为:S1: F (x, y, z) = 0S2: G (x, y, z) = 0S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.(2)x y zo S1S2C二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程1. 空间曲线的一般方程 x2+y2=1 x+y+z=2.yxz0例例5: 柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2的交线是一个圆, 它的一般方程是2. 空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.x = x (t)y = y (t) (3)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程. 解解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).xyzhAOMtM(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而x = |OM | cosAOM = acos ty = |OM | sinAOM = asin t(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋线的参数方程x = acos ty = asin tz = vt 注注: 还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:x = acos y = asin z = b .vb 这里当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, h在工程上称 h = 2 b为螺距.3. 空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0(4)由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5)方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.xyzooC空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线必定包含于:投影H (x, y) = 0z = 0注注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例例7: 已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解: 联立两个方程消去 z ,得01)21(4222zyx1)21(4222yx两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为椭圆柱面设一个立体由上半球面和锥面224yxz)(322yxz所围成, 求它在xoy面上的投影.解解: 半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1yxzOx2 + y2 1于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0这是xoy面上的一个圆.所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1例例8:圆柱面)(研究方法是采用平面截痕法.6 6 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程1.定义定义 由x, y, z的二次方程:ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, , i, j 为常数且a, b, 不全为零.c, d,e, fzoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆kzckbyax2222221当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.2. 几种常见二次曲面几种常见二次曲面.(1) 椭球面1 用平面z = 0去截割, 得椭圆012222zbyax1222222Czbyax3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.(2) 椭圆抛物面: zbyax22221 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.kzkbyax2222k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.zyxo2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线,2222kyzbkax. ,022axzk为时当3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.kxzbyak2222. ,022byzk为时当一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：22211211aaaa副对角线主对角线1.定义定义1a12a21a2221122211aaaa()()1 n 1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义当 a11 a22a12 a21 0时，,211222111222211aaaaababx211222112111122aaaaababx得唯一解对于a11 x1+ a12 x2 = b1a21 x1+ a22 x2 = b22、二元一次 方程组的求解公式记1D2DD方程组(1)的解可以表示为：,DDx11DDx22克莱姆(Gramer)法则,122221abab,211112abab22211211aaaa时02212aa21bb2111aa21bb,211222111222211aaaaababx211222112111122aaaaababxa11 x1+ a12 x2 = b1a21 x1+ a22 x2 = b2引进记号：333231232221131211aaaaaaaaa(+)(+)(+)()()()312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa称为对应于数表(3)的三阶行列式D332211aaa二、三阶行列式二、三阶行列式1.定义定义2设有数表333231232221131211aaaaaaaaa主对角线副对角线例例 如：如：315214132511753125)2()3(14134)3(1)2(2易证：易证：对于线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa(4)当333231232221131211aaaaaaaaaD 时0方程组有唯一解，记则方程组(4)的解为：,DDx11,DDx22DDx33,3332232213121aaaaaaD 321bbb,3331232113112aaaaaaD 321bbb3231222112113aaaaaaD 321bbb克莱姆法则三、排列与逆序数三、排列与逆序数 由自然数1, 2, , n 组成的一个有序数组i1, i2, , in称为一个n级排列。例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!6个，它们是n级排列的总数为n!个。定义定义33 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1, i2, in)，简记为 。1 3 2(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,例如：例如：2 1 33 1 2(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。6 5 3 1 2 46 2 3 1 5 4( =11)( = 8)1 2 3 41 4 3 2例如：例如：( =0)( = 3)定理定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性每一个对换改变排列的奇偶性结论：在结论：在 n ( 2) 级排列中，奇偶排列各有个。级排列中，奇偶排列各有个。2! n四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义分析：分析：333231232221131211aaaaaaaaaD 312312322113332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa =0 =2 =2 =3 =1 =1)(321) 1(jjj321321jjjaaa类似地：类似地：22211211aaaaD 21122211aaaa2121211jj)j(jaa)(nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnjjjjjjaaa212121)() 1(n阶行列式定义定义4例例1 计算下列n阶行列式nnaaaD2211100nnaaa2211nnnnaaaaaaD2122211120nnaaa2211nnnnnnnnaaaaaaD11212130) 1() 1 21 (nn1121nnnaaa12)2() 1(nn) 1(2) 11(nnnnnnnnnnaaaaaaD11212130) 1()1 21 (nn1121nnnaaa11212)1() 1(nnnnnaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa322113aaa312312aaa312213aaa322311aaa332112aaa行排列列排列2 1 3( =1)1 3 2( =1)( = 0)1 2 3( = 2)3 1 2考察：2113aa1321aa3232aa定理定理2 n阶行列式的定义也可写成D)(21) 1(niiiniiinaaa2121nnjijijiaaa2211) 1()(21niii)(21njjj推论：D例例2： 选择 i 和 k ，使53254321 aaaaaki成为5阶行列式中一个带负号的项解:其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3若取 i = 1，k 4，故 i = 4，k = 1 时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即53432251 aaaaaki则 (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列，该项则带正号， 对换1，4的位置，则 4 5 2 1 3是奇排列。一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：,DD = DT行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。2 2 行列式的性质行列式的性质则naaa11211naaa22221nnnnaaa21naaa11211TDnaaa22221nnnnaaa21证：证：显然有 bij = aji (i, j=1, 2, ; n)则nnnjjjjjjTbbbD212121)() 1(njjjjjjnnaaa21)(2121) 1(D设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号,2111211nnnnnaaaaaaMqnqqaaa21pnppaaa21则 D=M,2111211nnnnnaaaaaaDqnqqaaa21pnppaaa21证：证：在 M 中第 p 行元素,aajqjp第 q 行元素,jpjqaan.,j21nnnjjjjaaM111)()1(pjqjppjaqjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqa= D推论推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。证明证明:交换行列式这两行，有D = D，故D = 0性质性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：kDnnnniniinaaaaaaaaa212111211 knnnnnaaaaaa2111211iniikakaka211D证明：证明：推论推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。ninnjijjjjjakaaD)() 1(1211)(1kninnjijjjjjaaak1211)() 1(kkD k性质性质4 若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。21DD 即:nnnnnaaaaaa2111211nnnnnaaaaaa2111211iniiaaa21iniiaaa21nnnnnaaaaaa2111211ininiiiiaaaaaa2211D证明：证明：21DD nnnjjjjjaaD1211)() 1()(iijijiaannnjjjjjaa1211)() 1(nnnjjjjjaa1211)() 1(ijia+ijia性质性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。即：nnnnnaaaaaa2111211iniiaaa21jnjjaaa21nnnnnaaaaaa2111211iniiaaa21iniikakaka211 ja2jajna用 ri 表示 D 的第 i 行cj 表示 D 的第 j 列ri rj表示交换 i、j 两行ri k 表示第 i 行乘以 kri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行ri k 表示第 i 行提出公因子 k记号：记号：例例1 计算行列式203222973430231D解：解：320022330034230031D322334231200223003430031505例例2 计算行列式3351110243152113D解：Dc1 c233151120435121313315112064802131r2 r172160112064802131r4 5r1r2 r372160648011202131r3 + 4 r21510001080011202131r4 8 r22500010800112021313445rr 4025821例例3 3：计算.321321321321nxnxnxnxD解解：xxxxxxnxD000000321xxxn00000032 nx21x+ xx+ xx+ x).2) 1(1nnxxnxxxnnnx000000000322) 1( 在n阶行列式余下的元素按原来顺序构成的一个n1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，中，划去元素 aij 所在的行和列，nnnjnininjaaaaaaaaD111111ijaijjiijMA) 1(1)i+j 称为 aij 的代数余子式，记作余子式带上符号3 3行列式按行行列式按行( (列列) )的展开的展开 与克莱姆法则与克莱姆法则1.定义定义1一一.拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理例如：例如： 在四阶行列式2014365103107223D中，a23 的余子式 M23和代数余子式 A23，,21435172323M233223) 1(MA214351723分别为：考察三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa3332232211aaaaa)(3331232112aaaaa3231222113aaaaa,131312121111AaAaAa其中：A11, A12，A13 分别为a11, a12, a13 的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。考察三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa3332232211aaaaa)(3331232112aaaaa3231222113aaaaa,131312121111AaAaAa其中：A11, A12，A13 分别为a11, a12, a13 的代数余子式.11A12A13A三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。再考察二阶行列式2112121122211211aaaaaaaa12121111AaAa二阶行列式也可由其子式的组合表示. 例例3.3. 计算三阶行列式542303241D解解：54301)4(523324203123624.72D =还可看出232322222121AaAaAa3542405221)3(4241+ 0= 8412 =72 =D,333332323131AaAaAa230244332150341+36= 24+60=72 =D,542303241D313121211111AaAaAa154303542423024+84= 1224=72 =D .以及542303241D定理定理1 (Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。), 2, 1( 1niAankkiki或), 2, 1( 1njAankjkjk即：ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAaD2211证明步骤：证明步骤： 证nnnnnnaaaaaaaaa112112222111211nnnnnnAaa00 证nnnjnjnjnnjjjaaaaaaaaaa11111111111ijijijAaa0000ininiiiiAaAaAa2211nkikikAa1nnnnnaaaaaaD2111211iniiaaa000000021nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121112112111211002iaina00001ia解：3351110243152113r2 r1r4 + 5 r172016110264082113按 c2 展开7216112648) 1(121r1 + 4 r2r3 8 r2151001121080例例4 用Laplace展开定理求例22按 c1 展开1510108) 1()2(12)100120(240151001121080例例5 证明四阶范德蒙行列式3433323124232221432141111xxxxxxxxxxxxD )()()()()(342414231312xxxxxxxxxxxx)(41jiijxx 证：证：D4r4x1r3r3x1r2r2x1r11243412333122321424132312221413120001111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx按c1展开)()()()()()(142413231222144133122141312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx242322432141312111)()(xxxxxxxxxxxxr3x2r2r2x2r124242323242314131200111)()(xxxxxxxxxxxxxxxx按c1展开)()()()(2442332423141312xxxxxxxxxxxxxxxx43242314131211)()()()(xxxxxxxxxxxx)()()()()(342414231312xxxxxxxxxxxx)(41jiijxx 推论：推论：n阶范德蒙(Vandermonde)行列式112112222121111nnnnnnnxxxxxxxxxD)(1jinijxx 定理定理2 行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。nkkjkijiAa1)( 0或nkjkikjiAa1)( 0即：综合定理1和定理2，得：ji , 0nkkjkiAa1nkjkikAa1或 ,Dji ji , 0 ,Dji 定理定理3 (克莱姆法则克莱姆法则)11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannnnnnnnbxaxaxa2211的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD设线性方程组二二. 克莱姆法则克莱姆法则其中Di(i=1, 2, , n)是用常数项b1, b2;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：,11DDx ,22DDx ,DDxnn(2)则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：,11121212211111111nnnininniiniiaaaaaaaaaaaa(i=1, 2,n)iDnbbb21例例3 解线性方程组82 32421xxx2254321xxxx734321xxxx122244321xxxx解：2214111312512032D06 方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。又：,18221121117125220381D, 0221241173122120822D82 32421xxx2254321xxxx734321xxxx122244321xxxx, 6212141713125128323D6122147113225180824D所以：所以：, 311DDx, 022DDx, 133DDx144DDxD=6, D118, D2= 0, D3= 6, D4=6注：注：在方程组(4.1)中，若所有的常数项b1= b2 = = bn = 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。01212111nnxaxaxa02222121nnxaxaxa02211nnnnnxaxaxa(3)显然有零解 x1 = x2 = = xn = 0结论结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D 0，则方程组只有零解。平凡解结论结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D = 0。非平凡解