第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换和线性方程组 讲授内容 3.1 矩阵的初等变换； 3.2 初等矩阵 教学目的和要求： 了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念 教学重点：矩阵的初等变换、初等矩阵 教学难点：矩阵的初等变换 教学方法和手段：传统教学，教练结合 课时安排：2 课时 教学过程 1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时， 我们对其行（列）作过三种变换一一“初等变换” 定义 1 对矩阵的行（列）施以下述三种变换，称为矩阵的行 （列）初等变换. 初等变换 行变换 列变换 对调 c 数乘（k = 0） k r kc 倍加 n k rj G k G 矩阵的行初等变换和列初等变换统称为矩阵的初等变换 Am n经过初等变换得到Bmn，记作Am n Bm n 有限次 疋义2等价矩阵：右 代.“ Bm n，称Am n和Bm n等价，记作Am n三Bm n 矩阵之间的等价关系有下列性质 ： (1 自反性： A三A 对称性： Am n 三 Bm n = Bm n 三 Am n 传递性： Am n 二 Bm n , Bm n 二 Cm n Am n 二 Cm n 定义 3 在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为 0,每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元 素为非零元，也就是非零行的第一个非零元 若非零行的第一个非零元为 1 , 且这些非零元所在的列的其他元素都为 0,则称矩阵为行最简形矩阵 _2 2 0 0 J -3 12 21 2 4 12 ,利用初等行变换化为行最简形矩阵 4一 -61 4 1 0 ：0 1 4 4 1. 行- 1 3 1 行最简形： AT 0 1 2/3 - 0 0 0 行与列 _1 0 0 0 | 标准形： A T 0 1 0 0 0 0 0 0_ 定义 4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 2. 4 1 行- 1 0 3 2 1 2/3 T 0 1 -2/3 23 =B 0 10 0 0 0 二 H _O1 一。 O 2 初等矩阵 称为初等矩阵. ri.rj E 3. _E ri krj E 311 aii2 设Am n a21 322 性质 1 _3m1 3m2 Em(i,j)A 二 1 (i) A = E(i,j) (j) (i) A = Ei,j(k) (j) 31n a2n 3mn ：i La r1 E Am n = ,Emi(k)A 二 L = Ei(k) (kO) 直及艮p 1， ) M ) j ) ) n ,Emi,j(k)A = 由此可得：对 A进行一次初等行变换,相当于给 A左乘一个同类型的初等矩阵 性质 2 AEn(i, j)二 I，,，J AEni(k)二匚，k - , 1j, , 1 A AEni, j(k)二匚，二,-j k： , J=B3 Cj -kci 注意：A B3 因此可得：对 A进行一次初等 列变换,相当于给A右乘一个同类型的初等矩阵. 性质 3 detE(i,j)=1, E(i,j)亠二E(i,j) 1 1 detEi(k) =k = 0, E(i(k) =Ei() k 1 detEi, j(k) =1, E(i, j(k)L =Ei,j(-k) 定理 1 An n可逆二A可以表示为有限个初等矩阵的乘积. 证 必要性 已知detA = 0,则A满秩=A二En,故存在初等矩阵 P，Ps及QQt,使得 1 1 1 _1 Ps RAQ1 Qt 二 E n, A 二 P PS QQ1 十 丄 亠 而P和Qj都是初等矩阵. 充分性 设A = RP2P，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆， 故A可逆. 定理 2 设Amn, Bmn,则Am n二Bm n =存在可逆矩阵Pm m和Qn n ,使得PAQ二B . 证 必要性 已知Amn三Bmn,则存在口阶初等矩阵R ,PS和门阶Q!，,Qt , 使得 Ps P1AQ1 Q B ,令 P =匕Ps,Q = Q1 Qs ,则有 PAQ = B . 充分性 已知PAQ = B，则由定理 1 知，P和Q都可以表示为有限个初等矩阵的乘积 ， 即 P - - Ps, = Q Qs , 故 Ps - P1AQ1 Qt = B ,也就是 Am n 二 Bm n . 由此可得矩阵求逆方法之二(初等行变换法) detAn对工0= A = RP2Ps ( P都是初等矩阵) 由此可得：对n 2n矩阵A E】施行“初等行变换”，当前n列(A的位置)成为E时, 则后门列(E的位置)为A. 2 3 例 2 设 A = 2 1 2 . 用初等变换法求A psp2”A = E Ps * P2 P E =A J Ps， P2PA EJ_E AI 1 3 4丿 1 2 3 ； 1 0 0 行 1 2 3 ； 10 01 2 1 2 : 0 1 0 T 0 -3 -4 -2 1 0 3 4 0 0 d 0 1 1 -1 0 d 2 3 ； 0 0- 1 行 1 0 1 1 3 - 0 -21 1 1 -1 0 1 T 0 1 1 -1 0 1 -3 -4 -2 1 0 卫 0 1 -5 1 3 解 A E I - 1 0 1 0 0 -2 1 4 1 0 -2 -1 -5 -1 -3 -2 6 1 4 . 一3 解 A E I- a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 _a _1 0 0 0 1 U | E 0 1 0 0 i ( 0 1 0 0 0 C 0 1 0 1 a 1 故A -a 1 _a 1 (1 1 1 2 51 ，试用初等变换法求 01 0 0 0 0 1 0 0 -a 1 0 0 a 1一 A， 1 T 丿 依次作初等行变换 -a3, R 例 4 判断方阵A = -ar1可得 -ar2, 1 1 1 ： 0 0 0、 r 2r 3 1 1 1 1 : 1 0 0 0、 - 1 -2 -2 -仁 1 0 0 0 -3 -3 2匸1 1 0 0 (A :E )= 2 5 -1 4 ；0 0 1 0 r 4r 4 - 1 0 3 -3 22 0 1 0 4 1 1 2 ；0 0 0 1 0 -3 -3 _2 0 0 1 教学难点：矩阵的秩的定义及计算. 教学方法和手段：传统教学，教练结合 课时安排：2 课时 矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用 . 一、矩阵的秩的基本概念 2 定义 4.子式：在Am n中，选取k行和k列，位于交叉处的k个数按照原来的相对位置构成 k阶行列式，称为A的一个k阶子式，记作Dk 对于给定的 k,不同的k阶子式总共有教学目的和要求： 理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的 思考和作业: 讲授内容 习题三 P79:1(1)(4)4, 5 矩阵的秩 教学重点：矩阵的秩. 1 1 1 1 0 -3 -3 -2 0 3 -3 2 0 -3 -3 -2 所以| A |=0,故A不可逆，即 1 - A不存在. 注此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩 阵是否存在，而不必 解: 先去判断. 解矩阵方程AX二B，其中 Z1 0 1、 q -2 -1、 A 2 1 0 B = 4 -5 2 r3 2 _5J 1 I -4 一1丿 / 5 1、 5 0 1 1 0 0 1 0 0 _2 1 2 a T 0 1 0 5 -1 1 2 1 0 0 1 0 7 1 -5 0 0 0 1 - -1 推论 若人.满秩，则A三En . 01 0 ,称为A的等价标准形. 推论 1 2 2 1、 q 1 2 2 1、 1 1 2 2 1 r3 上1 0 2 1 5 -1 3卡2 0 2 1 5 -1 0 2 1 5 -1 A T i 4上 0 -2 -1 -5 1 0 0 0 0 0 0 0 -2 2 -2 0 -2 2 一2 0 -2 2 一2 0 0 0 0 (阶梯形)，有此可看出 R(A) =3. 2 进一步，再进行列初等变换， A可化为标准型I 在例 7 中， 1 1 2 2 1 “ 1 0 0 0 0、 0 2 1 5 -1 0 1 0 0 0 0 0 -2 2 -2 T 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0丿 e 0 0 0 0丿 I的特点：左上角为一个 R(A)阶单位矩阵，其它元素为 0. 在具体的解题过程中， 如果A经过几次初等变换后即可看出 R(A)的秩时，就不必再继续将 A化为阶梯形 例 8 求R(A)其中 2、 1 0 -1 -1 0 - 2 3 1 A = 1 - 1 2 3 Q2 -5 -7 0丿 解 广1 0 -1 -1 2、 3 J 0 -1 2 3 1 AT =B 4 J 0 -1 2 3 1 e 2 -4 -6 一2 至此，易知R(B) =2( B不是阶梯矩阵)所以 R(A) =2 . 例 9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答 ” 1 2 丄 已知A = ，求A 1-3 5, 错误解答 2 1 0) 广 0 1 0、 IT ! -3 5 0 1J _3 11 0 1丿 Z1 0 1 0 q 0 1 0A T 0 11 -3 1 、0 1 -3 11 丄 广1 即A -3 11 丿 错误原因：没有注意到利用 (A、E)T (E A)来求A丄时,要使用初等行变换才可以 而在解法中第 1、3 步却使用了列变换. 正确答案 斗 A* 1 5 -2 1 A = r = |A| 11 3 1 一 思考和作业：习题三 P79:6,7,10 讲授内容 3.4 线性方程组的解 教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的 充分必要条件 教学重点：线性方程组的解 教学难点：线性方程组有解的条件及使用 教学方法和手段：传统教学，教练结合 课时安排：2 课时 设有n个未知数m个方程的线性方程组 QiXi +32X2 + +amXn =bi . (1) 321 Xl 322 x a2nXn = b2量X为未知元的向量方程 I . am1 X1 am2X2 * amn Xn bm 解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程 (3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下: 2 -1 3 ； 1 行 2 -1 3； | b】= 4 2 5 ： 4 T 0 4 -1：2 2 0 2 6一 1 卫 1 -1 5一 行- 行 2-13 们 行- 行 10 0 1 91 T 0 1 -1 5 T 0 1 0 | - 1 0 0 3 ； i0 0 1 -6一 (1)式可以写成以向 Ax = b 引 例 2人 一 x2 +3x3 =1 4x2X2 5X3 = 4 2人 2x3 = 6 2x1 - (2) -2(1) (3)-(1) J 2x!- -4(6) (5)(6) (1) (2) (3) X2 3x3 =1 (4) 4x2 - X3 = 2 (5) X2 - X3 =5 (6) X2 3X3 =1 (7) X2X3 =5 (8) 3x3= T8 (9) X1 = 9 叫 X2 = -1 Z = -6 增广矩阵：A Ax二b的同解方程组为 二 d X2 =d2,Xn =dn 是其唯一解 :n 时，方程组(3.4)成为 X1 = d1 一 b,r *Xr十一bnXn X2 =d2 一匕订以十-b2nXn Xr 二 dr -br,r X 1 - - bm Xp 般解为方程组: an a12 a21 a22 _a(m1 am2 或者Ax = b 设 rankA 二 r , 且A的左上角 r阶子式 Dr =0,贝U 0 b1 ,r 1 0 b2,r 1 bm b2n d1 d2 1 br,r 1 brn dr 行最简形 dr 1 Xi X2 b1,r X 1 b1nXn b2,r X 1 b2nXn =d1 d2 (3.4) Xr br,r 1人-bm Xn 二 dr 0 二 dr 1 若dr i =0,则方程组(3.4)无解: rankA = 1 r = rankA 若dr 0 ,则方程组(3.4)有解: rankA 二 =rankA (1) r 二n时，方程组(3.4)成为 Xi Xi 二 di - bi,r iki - -binkn 丄 X2 - d2 - b2,r 1ki - - b2n kn 丄 “ Xr = dr br,r 丰匕一brnkn_r Xr卑= kn r 其中ki,k2 / ,kn丄为任意常数. 定理5 Am n , A = lA bl (增广矩阵) (1) Ax = b 有解=rankA = rankA; (2) Ax = b有解时，若rankA = n,则有唯一解； 若rankA cn,则有无穷多组解. X2 b2,r 必 i ki 设 rankA =r,且A的左上角 j 0 0 I Sr 十 1 bin 0 *i 0 : b2,r + a 3 a W- u b2n a 0 0 | i br,r + brn 0 0 0 ； 0 : : 0 a 卫 0 0 i 0 0 Dr = 0,则 (行最简形) Xr br,r lXi bm Xn -dr 0 = dr i (i )若dr i = 0 ,则方程组(2)无解， (2 )若dri.n0,则方程组有解， ran kA = r 1 r = 当r二n时, 当r ： ran kA = r = rankA = d2, ,Xn =dn， 方程组成为X = di, X2 方程组(2)成为 洛=di bi,r*Xr+一 binXn X2 = d2 - b2,r i 人 i - - b2nXn rankA 故有唯一解 r阶子式 dr dr 1 di d2 Ax =b的同解方程组为 Xi 必 i * binXn Xr =dr -br,r iXr i - - brn Xn 其一般解为 -X4X1 =d X2 =d2 必 =dr Xr. + = 定理 6 (1) br,r K -bm kn 丄 -b ,r 1k1 - - b1n kn 丄 -b2,r 1匕- -b2n kn 丄 （其中k1,k2, kn.为任意常数） kn丄 Am nX =0有非零解= Am n X二0有非零解二 （2） 例 10 用初等行变换法解引例方程的解 2人 一 x2 +3x3 =1 4x1 2x2 5x3 二 4 2X1 解法二 R(A) : n.； det A = 0 . 2x3 = 6 （初等行变换法） -1 A|b 2 0 2 -1 (1) 0 1 0 0 -1 3 1 11 4 -1 2 1 -1 5 0 9 1 0 -1 1 一6一 0 1 0 2 5 4 2 6 |0 - 1 2 3 41 - -51 例11求解Ax =b, A = 2 4 4 6 ,b = 8 -1 -2 -1 2_ -_3_ 1 1 2 3 4 : 51 行 刁 2 3 4 5 1 解A = 2 4 4 6 8 T 0 0 2 -2 -2 -1 -2 -1 -2 ； -3一 1 0 0 2 2 1 2 行 1 1 2 3 4 5 1 行 1 2 0 1 1 T 0 0 1 1 1 T 0 0 1 1 1 得 】0 0 0 0 0 0 0 0 0 X2 - -1 X3 - -6 ran A = ra nA=2 4 = Ax = b有无穷多解 同解方程组: 广 Xi = 2 2x2 x4 X = k X2 =1 +k 一般解： |X3 =(九 +1) +k X4 ( 1) - ( 2)k (2)1 同解方程组：人=1-（X2 X3 X ,人们 1 2X 1 ,b = 4 岸 1 1 14 计算可得detA（1 - J 0且=1 时，根据 Cramer 法则，方程组有唯一解. =0 时，Xi 二 2 - 2ki - k2 般解: ki （ki, k2为任意常数） -2 1 1 1 1 例 12 求解Ax=b, A = 1 九 1 1 ,b 扎 1 1 1 1 i 2 扎 - 抚1 1 1 1 11 行- 行 1 1仁 1 1 解 A = 1 丸1 1 T 1 丸-1 0 0 r 1 1 1 人1 -2 扎 I 1 一九 0 k - .2 -1 0 ； 九 -1 X2 二 X3 = 1 X4 二 -k2 k2 行 T -1100 1 行 T -1 0 1 0 九+1 -1 0 1 0 人 +1_ 1 -1 1 0 0 1 一 1 1 1 0 0 (1).：. v 1 X2 1 1 2 =1 Xt =(匚：1) X! X4 - 1) 一 2)x1 般解: X1 X2 X3 X4 =1 -匕-k2 - k3 =k1 二 k2 （k1 ,k2 ,k3为任意常数） 例 13 讨论方程组 Ax =b何时有唯一解 无穷多解，无解？其中 同解方程组: （k为任意常数） 解 (1) 1 1 0 仁 3 A = 1 0 1 ! 4 |_4 1 1 4_ 因为 R(A) =2,R(AA) =3 J =1且=0时， 1 0 1 3 行 T 0 0 0 1 0 1 1 4 4 34 故方程组无解. 1 3 0 | 1 T ! 1 4 1时， 2 =时， 2 思考和作业：习题三 教学后记： 1 2 0 1 1 0 1 0 R(A) =2, R(A) =3, 1 0 2 1他 0 2-1 故方程组无解. R(A)二R(A) =2 : 3 ,故方程组有无穷多解. P80:11,12