(精编资料推荐)容斥原理公式及运用

容斥原理公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。 这种方法的基本思路是： 先不考虑重叠的情况， 把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，先把 A、B 两个集合的元素个数相加，发现既是 A 类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。【示例 1】 一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数 A，语文得满分人数 B，数学、语文都是满分人数 AB，至少有一门得满分人数 AB。AB=15+12-4=23，共有 23 人至少有一门得满分。二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有 A、B、C三类，那么，将 A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了 1 次，三个集合公共部分被重复计算了 2 次。如下图所示，灰色部分 A B-ABC、BC-ABC、CA-ABC 都被重复计算了 1 次，黑色部分 ABC 被重复计算了 2 次，因此总数 ABC=A+B+C-（ A B-ABC）- （ B C-ABC） - （CA-ABC）-2ABC=A+B+C-A1B-B C-CA+ABC。即得到：【示例 2】某班有学生 45 人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有 25 人，参加排球队的有 22 人，参加游泳队的有 24 人，足球、排球都参加的有 12 人，足球、游泳都参加的有 9 人，排球、游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队 A，参加排球队 B，参加游泳队 C，足球、排球都参加的 AB，足球、游泳都参加的 CA，排球、游泳都参加的 BC，三项都参加的 AB C。三项都参加的有 ABC=ABC-A-B-C+AB+B C+C A=45-25-22-24+12+9+8=3 人。2